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用空间向量求角本溪市高级中学.ppt

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空间 向量 本溪市 高级中学
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用空间向量处理立体几何的问题,本溪市高级中学,利用向量解决 空间角问题,一、知识再现,,,,,,z,x,y,o,,,A(x,y,z),1、空间直角坐标系,,,,,,,,2.向量的直角坐标运算,3.夹角和距离公式,,,,,,,O,j,i,k,X,Y,Z,,,,A,B,4.平面的法向量如果表示向量 的有向线段所在直线垂直于平面 ,则称这个向量垂直于平面 ,记作 ⊥,如果 ⊥ ,那么向量 叫做平面 的法向量.,,二、用向量处理角的问题,异面直线所成角的范围:,,,,,,,,思考:,结论:,,,,,,,例一:,,,,,,,,例1:,,,,,,,,,,,,,解:以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示,设 则:,,,,,,,,,,,,所以:,所以 与 所成角的余弦值为,练习:,在长方体 中,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2、利用法向量求斜线与平面所成的角;若斜线AB与平面,所成的角为,,点A在平面,内的射影为O点。,是平面,的一个法向量,由图知,,,,均为锐角,,为钝角,且,,,。则,,,例2.正方体,中,,是,的中点,求,与平面,所成的角。,,设正方体的棱长1,则:,,,,解:建立空间直角坐标系,,,设平面,的法向量为,,,,z,x,y,,令,,设,与平面,所成的角为,,则:,练习:在正方体,中,求,与平面,所成的角的余弦值。,3、利用法向量求二面角的平面角;设,的二面角为,,,与,是指向二面角外侧与内侧,,结论:二面角的平面角等于指向二面角内侧与外侧的两个平面的法向量所成的角。即:,(,与,的指向不同),的这两个平面的法向量,由图可知:,,例3.在长方体,中,,E为,的中点,求二面角,的正切值。,,则:,,,设平面,法向量为,,则:,解:建立空间直角坐标系,,,,z,x,y,令,, 由图可知,平面,的法向量为,,设二面角,的平面角为,,,练习:在直三棱柱,中,,为,的中点,,点在,上且,(1)求证:,面,(2)求二面角,的大小。,,;,小结:,1.异面直线所成角:,2.直线与平面所成角:,3.二面角:,关键:观察二面角的范围,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,B,A,O,B`,A`,O`,D,P,,,,X,Y,Z,,,,,,,X,Y,Z,,,,,,,,,X,Y,Z,返回,三、 用向量法求二面角的大小,例2. 在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,∠ABC=90º,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD= 。求面SCD与面SAB所成二面角的正切值。,,,,x,y,z,例3. 四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形,PB⊥平面ABCD。求证:无论四棱锥的高怎样变化,面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90º。,,,,x,y,z,已知三棱柱ABC-A1B1C1在某个空间直角坐标系中, , ,,(1)求异面直线A1B和C1D所成的角的大小。,(2)求二面角D-AC1-C的大小。,练习:,
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