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谓词逻辑习题课答案

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谓词逻辑习题课 1.将下列命题符号化 (1)在湖南高校学习的学生,未必都是湖南籍的学生 H(x):x是在湖南高校学习的学生; S(x):x是湖南籍的学生 x(H(x)→S(x)) (2)对于每一个实数x,存在一个更大的实数y R(x):x是实数; G(x,y):x比y大 x(R(x)→y (R(y)∧G(y,x)) (3)存在实数x,y和z,使得x与y之和大于x与z之积 f(x,y)=x+y; g(x,y)=x×y xyz(R(x)∧R(y)∧R(z)∧G(f(x,y), g(x,z))) (4)某些汽车比所有的火车都慢,但至少有一列火车比每辆 汽车快 C(x):x是汽车;H(x):x是火车;S(x,y): x比y慢 x(C(x)∧y(H(y)→S(x,y)))∧z(H(z)∧y(C(y) →S(y,z))) (5)对任何整数x和y,x≤y且y≤x是x=y的充要条件 I(x):x是整数;E(x,y):x=y;G(x,y):xy xy(I(x)∧I(y)→(G(x,y)∧G(y,x)↔ E(x,y))) (6)若m是奇数,则 2m 不是奇数 O(x):x是奇数; f(x,y)= x×y O(m) →  O(f(2,m) (7)那位戴眼镜的用功的大学生在看这本大而厚的巨著 A(x):x是戴眼镜的,B(x):x是用功的,C(x):x是大学生,D(x):x是大的 ,E(x):x是厚的,F(x):x是巨著, G(x,y):x在看y,a:那位,b:这本 A(a)∧B(a)∧C(a)∧D(b)∧E(b)∧F(b)∧G(a,b) (8)每个自然数都有唯一的后继数 N(x):x是自然数; L(x,y):x是y的后继数 x(N(x)→(y (N(y)∧L(y,x) ∧z (N(z)∧L(z,x)→ E(y,z))))) (9)没有一个自然数使数1是它的后继数 x (N(x) ∧ L(1,x)) (10)每个不等于1的自然数都有唯一的一个数是它的直接先行者 S(x,y): x是y的先行者 x(N(x)∧ E(x,1)→!y (N(y)∧S(y,x)∧z (N(z)∧S(y,z)∧L(z,x)))) 2.变元的约束 (1)对下列谓词公式中的约束变元换名 x(P(x)→(R(x)∨Q(x)))∧ xR(x)→zS(x,z) y(P(y)→(R(y)∨Q(y)))∧ tR(t)→uS(x,u) (2)对下列谓词公式中的自由变元代入 (yA(x,y)→xB(x,z))∧ xzC(x,y,z) (yA(u,y)→xB(x,v))∧ xzC(x,w,z) 3.讨论在给定解释下谓词公式的真值 (1)x(P→Q(x))∨R(a) D={-2,3,6} , P:21,Q(x):x≤3, R(x):x5,a:5 x(P→Q(x))∨R(a)(P→xQ(x))∨R(a) (P→(Q(-2)∧Q(3)∧Q(6)))∨R(5) (T→(T ∧T ∧F ))∨F(T→F)∨FF∨F F (2)xy(P(x)∧Q(x,y)) D= {1,2}, P(1) P(2) Q(1,1) Q(1,2) Q(2,1) Q(2,2) F T T T F F 真值为F 4.判断下列公式是不是永真式,并加以说明 (1)(xP(x) →xQ(x)) ↔ x(P(x) →Q(x)) 解:不是永真式,取解释如下 D= {1,2} P(1) P(2) Q(1) Q(2) F T F T 在该解释下xP(x) 为T,xQ(x)为F,所以xP(x) →xQ(x) 为F;而(P(1) →Q(1))为T, (P(2) →Q(2))为T,所以 x(P(x) →Q(x))为T;综上该公式不是永真式 (2) x  y(P(x) →Q(y)) →(xP(x) →  y Q(y)) 解:是永真式。 证明:法1,形式证明 法2,量词作用域的收缩与扩张公式 5.用形式推理证明: (1)xP(x)∨xQ(x) x (P(x)∨Q(x)) (1) x (P(x)∨Q(x))P(假设) (2) x(P(x)∨Q(x))T(1)E (3) (P(c)∨Q(c))ES(2) (4) P(c)∧Q(c)T(3)E (5) P(c) T(4)I (6) xP(x)EG(5) (7) x P(x) T(6)E (8) xP(x)∨xQ(x) P (9) xQ(x) T(7)(8)I (10) Q(c)US(9) (11) Q(c)T(4)I (12) Q(c) ∧Q(c)T(10)(11)I (2)xF(x)→y(G(y)→H(y)), xM(x)→yG(y) x(F(x)∧M(x))→yH(y) (1) x(F(x)∧M(x))P(附加) (2) xF(x)→y(G(y)→H(y))P (3) xM(x)→yG(y) P (4) xF(x)∧xM(x) T(1)I (5) xF(x) T(4)I (6) y(G(y)→H(y))T(2)(5)I (7) xM(x)T(4)I (8) yG(y) T(3)(7)I (9) G(c) ES(8) (10) G(c)→H(c)US(6) (11) H(c)T(9)(10)I (12) yH(y)EG(11) (13) x(F(x)∧M(x))→yH(y)CP (3)任何人如果他喜欢步行,他就不喜欢乘汽车; 每个人或者喜欢乘汽车或者喜欢骑自行车。有的 人不爱骑自行车,因此有的人不爱步行 设 A(x):x是人, B(x):x是喜欢步行, C(x):x喜欢乘汽车,D(x):x喜欢骑自行车 x(A(x)→(B(x)→C(x))), x(A(x)→(C(x)∨D(x))), x(A(x)∧D(x))  x(A(x)∧B(x)) ⑴ x(A(x)∧D(x)) P ⑵ A(a)∧D(a)) ES ⑴ ⑶ A(a) T ⑵ I ⑷ D(a)) T ⑵ I ⑸ x(A(x)→(B(x)→C(x))) P ⑹ A(a)→(B(a)→C(a)) US ⑸ ⑺ B(a)→C(a)) T ⑶⑹ I ⑻ x(A(x)→(C(x)∨D(x))) P ⑼ A(a)→(C(a)∨D(a))) US⑻ ⑽ C(a)∨D(a) T ⑶⑼ I ⑾ C(a) T ⑷⑽ I ⑿ B(a) T ⑺⑾ I ⒀ A(a)∧B(a)) T ⑶⑿ I ⒁ x(A(x)∧B(x)) EG ⒀ (4)每个大学生不是文科生就是理工科生,有的大 学生是优等生,小张不是理工科生,但他是优等 生,因此如果小张是大学生,他就是文科生 设 A(x):x是大学生, B(x):x是文科生, C(x):x是理工科生,D(x):x是优等生, a:小张 x(A(x)→(B(x)→C(x))), x(A(x)∧D(x)) C(a)∧D(a)  A(a)→B(a) x(A(x)→(B(x)→C(x))),x(A(x)∧D(x)) C(a)∧D(a)  A(a)→B(A) ⑴ A(a) P(附加前提) ⑵ x(A(x)→(B(x)→C(x))) P ⑶ A(a)→(B(a)→C(a)) US ⑵ ⑷ B(a)→C(a)) T ⑴⑶I ⑸ C(a)∧D(a) P ⑹ C(a) T ⑸I ⑺ B(a) T ⑷⑹ I ⑻ B(a) T ⑺ E ⑼ A(a)→B(a) CP
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