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线面平行、面面平行的判定

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面面平行的判定 平行、线面平行、面面平行的判定 线面、面面平行 线面、面面平行的判定 判定面面平行 面平行的判定 线面平行的判定 线面平行面面平行判定
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思考:怎样判定直线与平面平行呢? 线面平行的判定定理:平面外的一条直线与 此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行. 符号表示为:l ⊄α,m ⊂α,l∥m⇒ l∥α 定理的本质: 面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直 线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行. 思考:1.平面 内有一条直线与平面 平行, , 平行吗? 1.平面 内有两条直线与平面 平行, , 平行吗? 定理的本质: 线面平行的概念 例1:如图1,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,回答下列问题: (1)在图 1中,哪些线段所在的直线与平面 ADD1A1 平行? (2)在图 1中,哪些平面与 AB 所在的直线平行? 图 1 解:(1)在图 2 中,线段 BB1、BC、CC1、 C1B1、BC1 所在的直线与平面 ADD1A1 平行. (2)在图 2 中,平面 A1B1C1D1、CC1D1D 与 AB 所在的直线平行. 已知 P 是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 DD1 上除 D1、D 外任意一点,则在正方体的 12 条棱中,与平面 ABP 平行的是________________. DC、D1C1、A1B1 证线面平行 例 2:已知:空间四边形 ABCD 中,E、F 分别是 AB、AD 的中点,求证:EF∥平面 BCD. 图 2 证明:如图 2,连接 BD. 在△ABD 中, ∵E、F 分别是 AB、AD 的中点, ∴EF∥BD. 又 EF ⊄平面BCD,BD ⊂平面BCD, ∴EF∥平面BCD. 证线面平行的关键是找线线平行(即在平 面内找到一条直线与该直线平行).如果已知中点,则可抓住中 位线得到线线平行. 1.如图 3,P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点,Q 是 PA 的中点.求证:PC∥平面 BDQ. 图 3 证明:连接AC,交BD 于O,连接QO. ∵ABCD为平行四边形, ∴O 为AC 的中点. 又Q 为PA 的中点, ∴QO∥PC. 显然,QO⊂平面BDQ,PC ⊄平面BDQ, ∴PC∥平面BDQ. 证明:如图4, 在△ABC 中,E、F 分别是 AB、BC 的中点, ∴AC∥EF,AC ⊄平面 EFG, EF⊂平面 EFG. 于是 AC∥平面 EFG. 同理可证,BD∥平面 EFG. 图4 2.已知 AB、BC、CD 是不在同一个平面内的三条线段,E、 F、G 分别是 AB、BC、CD 的中点,求证:平面 EFG 和 AC 平行,也和 BD 平行. 证面面平行 例 3:如图 5,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1. 求证:平面 AD1B1∥平面 C1DB. 图 5 证明:∵D1B1∥DB,D1B1⊄平面C1DB,DB⊂平面C1DB, ∴D1B1∥平面C1DB,同理 AB1∥平面C1DB, 又 D1B1∩AB1=B1,AB1、D1B1 同在平面AD1B1 内, ∴平面AD1B1∥平面C1DB. 1.如图 6,在棱长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、 F、G 分别为棱 AA1、A1B1、A1D1 的中点. 求证:平面 EFG∥平面 BC1D. 图 6 证明:如图 7,连接 B1D1, 图 7 则有B1D1∥BD. ∵E、F、G 分别为 A1A、A1B1、A1D1 的中点, ∴FG∥B1D1. 则FG∥BD, ∴FG∥平面BC1D. 同理 EF∥DC1.∴EF∥平面BC1D. 又∵EF∩FG=F, ∴平面 EFG∥平面BC1D. 2.如图 8,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 , E、F、G 分别 是 CC1、BC 和 DC 的中点,M、N、Q 分别是 AA1、A1D1 和 A1B1 的中点. 求证:平面 EFG∥平面 MNQ. 图 8 证明:∵FG∥BD∥B1D1∥NQ, 则 FG∥NQ,∴FG∥平面MNQ. 同理EF∥MN. ∴EF∥平面MNQ. 又∵EF∩FG=F, ∴平面EFG∥平面MNQ. 1.直线 l 与平面α内无数条直线平行,则 l 与α的位置关系 是()D A.平行 C.平行或相交 B.相交 D.以上答案都不对 2.下列说法中错误的个数是()C ①过平面外一点有一条直线和该平面平行 ②过平面外一点只有一条直线和该平面平行 ③过平面外有且只有一条直线和该平面平行 A.0B.1C.2D.3 3.给出下列四个命题: ①若一条直线与一个平面内的一条直线平行, 则这条直线 与这个平面平行; ②若一条直线与一个平面内的两条直线平行, 则这条直线 与这个平面平行; ③若平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行, 那 么这条直线和这个平面平行; ④若两条平行直线中的一条与一个平面平行, 则另一条也 与这个平面平行. 其中正确命题的个数是()B A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个 4.若 a、b 是异面直线,则下列命题中是假命题的是( ) A.过 b 有一个平面与 a 平行 D B.过 b 只有一个平面与 a 平行 C.过 b 有且只有一个平面与 a 平行 D.过 b 不存在与 a 平行的平面 5. P56: 2,P58:1--3 6:下面说法正确的有() ①平面外直线与平面内的一条直线平行,则直线与平面平 行;②直线与平面内的两条直线平行,则直线与平面平行;③ 直线与平面内的任意一条直线平行,则直线与平面平行;④直 线与平面内的无数条直线平行,则直线与平面平行. A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个 错因剖析:没有考虑直线在平面内的情况. 正解:A 如图 9,P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点,E 为 PB 的中点,O 为 AC、BD 的交点. (1)求证:EO∥平面 PCD ; (2)图中 EO 还与哪个平面平行? 图 9 (1)证明:∵在平行四边形ABCD 中,O 为AC、BD 的交点, ∴O 为 BD 的中点. 又∵在△PBD 中,E为PB 的中点, ∴EO∥PD. ∵EO⊄平面PCD,PD⊂平面PCD, ∴EO∥平面PCD. (2)解:图中EO 还与平面 PAD 平行. 1.线面平行的判定定理(文字语言、符号语言、图形语言) 2.面面平行的判定定理(文字语言、符号语言、图形语言) 作业:P23 1--9
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