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平面向量试题及解析-2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅱ专版)

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专题03 平面向量【母题来源一】【2019年高考全国II卷理数】已知=(2,3),=(3,t),=1,则=A.−3B.−2C.2D.3【答案】C【解析】由,,得,则,.故选C.【名师点睛】本题考点为平面向量的数量积,侧重基础知识和基本技能,难度不大.【母题来源二】【2018年高考全国II卷理数】已知向量,满足,,则A.4B.3C.2D.0【答案】B【解析】因为,所以选B.【名师点睛】已知非零向量,:几何表示坐标表示模|a|=夹角【母题来源三】【2017年高考全国II卷理数】已知是边长为2的等边三角形,为平面内一点,则的最小值是A.B.C.D.【答案】B【解析】如图,以为轴,的垂直平分线为轴,为坐标原点建立平面直角坐标系,则,,,设,所以,,,所以,,当时,所求的最小值为,故选B.【名师点睛】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路:①“形化”,即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题,然后根据平面图形的特征直接进行判断;②“数化”,即利用平面向量的坐标运算,把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题,然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决.【命题意图】高考对本部分内容的考查以运算求解和数形结合为主,重点考查平面向量数量积定义和坐标运算以及相关的参数取值问题.【命题规律】主要以选择或者填空的形式,考查平面向量数量积的定义、转化法、坐标运算等内容.【答题模板】解答本类题目,以2017年高考真题为例,一般考虑如下三步:第一步:根据已知条件建立平面直角坐标系第二步:用坐标表示向量;第三步:利用坐标表示平面数量积进而求范围.【方法总结】(一)平面向量的概念及线性运算1. 解决向量的概念问题应关注六点:(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键.(2)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性.(3)共线向量即平行向量,它们均与起点无关.相等向量不仅模相等,而且方向要相同,所以相等向量一定是平行向量,而平行向量则未必是相等向量.(4)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.解题时,不要把它与函数图象移动混为一谈.(5)非零向量a与的关系:是a方向上的单位向量.(6)向量与数量不同,数量可以比较大小,向量则不能,但向量的模是非负实数,故可以比较大小.2. 平面向量线性运算问题的求解策略.(1)进行向量运算时,要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中,充分利用相等向量、相反向量,三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质,把未知向量用已知向量表示出来.(2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用.(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧:①观察各向量的位置;②寻找相应的三角形或多边形;③运用法则找关系;④化简结果.3. 共线向量定理的应用(1)证明向量共线:对于向量a,b,若存在实数λ,使a=λb,则a与b共线.(2)证明三点共线:若存在实数λ,使=λ,则A,B,C三点共线.(3)求参数的值:利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值.(4)对于三点共线有以下结论:对于平面上的任一点O,、不共线,满足=x+y(x,y∈R),则P、A、B共线⇔x+y=1.(二)平面向量基本定理及坐标表示1. 对平面向量基本定理的理解(1)平面向量基本定理实际上是向量的分解定理,并且是平面向量正交分解的理论依据,也是向量的坐标表示的基础.(2)平面向量一组基底是两个不共线向量,平面向量基底可以有无穷多组.(3)用平面向量基本定理可将任一向量分解成形如a=λ1e1+λ2e2的形式,是向量线性运算知识的延伸.2. 平面向量共线的坐标表示(1)两向量平行的充要条件若a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a∥b的充要条件是a=λb,这与x1y2-x2y1=0在本质上是没有差异的,只是形式上不同.(2)三点共线的判断方法判断三点是否共线,先求由三点组成的任两个向量,然后再按两向量共线进行判定.(三)平面向量的数量积1. 计算数量积的三种方法:定义、坐标运算、数量积的几何意义,要灵活选用,和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用.2. 求向量模的常用方法:利用公式|a|2=a2,将模的运算转化为向量的数量积的运算.3. 利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧.4. 在解题时,注意数形结合、方程思想及转化与化归数学思想的运用.(四)平面向量的应用1. 向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来,这就为向量与函数的结合提供了前提,运用向量的有关知识可以解决某些函数问题.2. 以向量为载体求相关变量的取值范围,是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算,将问题转化为解不等式或求函数值域,是解决这类问题的一般方法.3. 向量的两个作用:(1)载体作用:关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”,转化为我们熟悉的数学问题;(2)工具作用:利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.4. 向量中有关最值问题的求解思路:一是“形化”,利用向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题;二是“数化”,利用平面向量的坐标运算,把问题转化为代数中的函数最值、不等式的解集、方程有解等问题.1.【陕西省2019年高三第三次教学质量检测数学试题】若向量,,满足,则A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】由题意,向量,,,则向量,所以,解得,故选A.【名师点睛】本题主要考查了向量的坐标运算,及向量的数量积的坐标运算的应用,其中解答中熟记向量的数量积的坐标运算公式,准确运算是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.2.【重庆南开中学2019届高三第四次教学检测考试数学试题】已知为内一点且满足,若的面积为且,则A.B.C.D.【答案】A【解析】,∴O为重心,故 ,,故 ,则.故选:A.【名师点睛】本题考查向量的简单应用,面积公式,向量的数量积,考查基本公式是基础题.3.【西南名校联盟重庆市第八中学2019届高三5月高考适应性月考卷(六)数学试题】向量,若,则的值是A.4B.-4C.2D.-2【答案】B【解析】,故选B.【名师点睛】本题主要考查了向量的坐标运算,及向量的数量积的坐标运算的应用,其中解答中熟记向量的数量积的坐标运算公式,准确运算是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.4.【四川省宜宾市2019届高三第二次诊断性考试数学试题】等比数列的各项均为正数,已知向量,,且,则A.12B.10C.5D.【答案】C【解析】向量=(,),=(,),且•=4,∴+=4,由等比数列的性质可得:=……===2,则log2(•)=.故选:C.【名师点睛】本题考查数量积运算性质、等比数列的性质及其对数运算性质,考查推理能力与计算能力,属于中档题.5.【东北师大附中、重庆一中、吉大附中、长春十一中等2019届高三联合模拟考试数学试题】已知平面向量,的夹角为,且,,则 A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意,可得,所以,故选B.【名师点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算及应用,其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公式,以及向量的模的运算公式是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.6.【辽宁省朝阳市重点高中2019届高三第四次模拟考试数学试题】已知为等边三角形所在平面内的一个动点,满足,若,则A.B.3C.6D.与有关的数值【答案】C【解析】如图:以中点为坐标原点,以方向为轴正方向,方向为轴正方向,建立平面直角坐标系,因为,则,因为为等边三角形所在平面内的一个动点,满足,所以点在直线,所以在方向上的投影为,因此.故选C.【名师点睛】本题主要考查向量的数量积运算,通常可用坐标系的方法处理,熟记向量数量积的几何意义与运算法则即可,属于常考题型.7.【甘、青、宁2019届高三5月联考数学试题】在中,为上一点,是的中点,若,,则A.B.C.D.【答案】B【解析】,因为是的中点, 所以,,解得 ,.故选B.【名师点睛】本题考查平面向量的线性运算和平面向量的基本定理,考查推理论证的能力,属于中档题.8.【黑龙江省大庆市实验中学2019届高三下学期数学二模考试数学试题】在矩形中,,,点为的中点,点在,若,则的值为A.B.2C.0D.1【答案】A【解析】建立如图所示的坐标系,可得,,,,,,,解得,,,,.故选A.【名师点睛】本题考查通过建立直角坐标系,将向量问题坐标化后解决,考查了向量坐标的线性运算和数量积,属于中档题.9.【宁夏六盘山高级中学2019届高三下学期第二次模拟考试数学试题】已知向量,,若,则实数的值为A.B.C.D.【答案】D【解析】∵,,∴,又,∴,∴故选D.【名师点睛】本题考查了平面向量的坐标表示的应用问题,解题时应熟练地利用向量的坐标表示求平行,垂直以及夹角和模长等问题,是基础题.10.【甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟数学试题】已知非零向量,的夹角为,且满足,则的最大值为A.B.C.D.【答案】B【解析】因为非零向量,的夹角为,且满足,所以,即,即,又因为,当且仅当时,取等号;所以,即;因此,.即的最大值为.故选B【名师点睛】本题主要考查向量的数量积与基本不等式,熟记向量数量积的运算与基本不等式即可,属于常考题型.11.【新疆维吾尔自治区2019年普通高考第二次适应性检测数学】是的外接圆圆心,且,,则在方向上的投影为A.B.C.D.【答案】B【解析】由,得,所以四边形是平行四边形.又O是外接圆圆心,所以,所以四边形是菱形,且,所以BC平分,所以,即与的夹角为,因为,所以在方向上的投影为.故选B.【名师点睛】本题考查数量积的几何意义,考查运算求解能力,属于基础题.12.【内蒙古呼伦贝尔市2019届高三模拟统一考试(一)数学试题】已知菱形的边长为2,,则A.4B.6C.D.【答案】B【解析】如图所示,菱形形的边长为2,,∴,∴,∴,且,∴,故选B.【名师点睛】本题主要考查了平面向量的数量积和余弦定理的应用问题,属于基础题.13.【内蒙古2019届高三高考一模试卷数学试题】已知单位向量,的夹角为,若向量,,且,则A.B.2C.4D.6【答案】C【解析】单位向量,的夹角为,∴.∵向量,,且,∴,∴,解得.则.故选:C.【名师点睛】本题考查了向量数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
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上传时间: 2019-09-07

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