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复数的概念与运算试题及解析-2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅱ专版)

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专题02 复数的概念与运算【母题来源一】【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设z=–3+2i,则在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】由得则对应的点(-3,-2)位于第三象限.故选C.【母题来源二】【2018年高考全国Ⅱ卷理数】A.B.C.D.【答案】D【解析】由题可得,故选D.【母题来源三】【2017年高考全国Ⅱ卷理数】A.B.C.D.【答案】D【解析】由复数除法的运算法则有:,故选D.【名师点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除.除法实际上是分母实数化的过程.在做复数的除法时,要注意利用共轭复数的性质:若z1,z2互为共轭复数,则z1·z2=|z1|2=|z2|2,通过分子、分母同乘以分母的共轭复数将分母实数化.【命题意图】 高考对本部分内容的考查以运算能力为主,重点考查复数的四则运算以及复数的有关概念及复数的几何意义.【命题规律】复数问题每年必考,多以选择题的形式出现,而且是必拿分题,高考试题对该部分内容考查的主要角度有两种:①考查单纯的复数运算求解题;②考查复数的几何意义以及有关概念.【答题模板】解答本类题目,(1)以2019年试题为例,一般考虑如下三步:第一步:首先求出;第二步:然后根据复数的几何意义可得结论.(2)以2018年试题为例,一般考虑如下三步:第一步:首先观察复数的形式;第二步:分母实数化(分子分母同时乘以分母的共轭复数);第三步:得结论.【方法总结】(一)复数的有关概念1.复数的概念形如a+bi(a,b∈R)的数叫复数,其中a,b分别是它的实部和虚部.若b=0,则a+bi为实数;若b≠0,则a+bi为虚数;若a=0且b≠0,则a+bi为纯虚数.2.复数相等a+bi=c+di⇔a=c且b=d(a,b,c,d∈R).3.共轭复数a+bi与c+di共轭⇔a=c,b=-d(a,b,c,d∈R).4.复数的模向量OZ―→的模r叫做复数z=a+bi(a,b∈R)的模,记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=.(二)复数的几何意义1.复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)(a,b∈R).2.复数z=a+bi(a,b∈R) 平面向量.(三)复数的运算1.复数的加、减、乘、除运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;③乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;④除法:.注意:复数除法与作根式除法时的处理类似.在作根式除法时,分子、分母都乘以分母的“有理化因式”,从而使分母“有理化”;复数的除法是分子、分母都乘以分母的“实数化因式”(共轭复数),从而使分母“实数化”.2.复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3∈C,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).(四)复数和、差、积、商的模及共轭复数的相关结论1.利用复数的几何意义很容易理解,2.通过计算复数的模可以得到,;3.,,,.4.虚数单位具有周期性,且最小正周期为4,有如下性质:(1);(2).1.【陕西省2019年高三第三次教学质量检测】已知复数,则复数A.B.C.D.【答案】C【分析】根据复数的除法运算法则,即可求解,得到答案.【解析】由题意,复数,则,故选C.【名师点睛】本题主要考查了复数的运算,其中解答中熟记复数的除法运算的法则是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.2.【甘肃、青海、宁夏2019届高三3月联考】在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【分析】利用复数代数形式的运算化简,再由几何意义确定象限即可.【解析】,对应的点为,位于第二象限,故选B.【名师点睛】本题主要考查复数代数形式运算及几何意义,熟记复数的代数表示法及其几何意义,是基础题.3.【辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三第八次模拟】记复数的虚部为,已知满足,则为A.B.C.D.【答案】A【解析】由得,故选A.【名师点睛】本题考查复数虚部的求解问题,关键是通过复数除法运算得到的形式.4.【新疆乌鲁木齐市2019届高三第二次诊断性测试】设是虚数单位,则复数A.B.C.D.【答案】A【解析】由题可得,故选A.5.【青海省西宁市第四高级中学、第五中学、第十四中学三校2019届高三4月联考】若复数,则的共轭复数A.B.C.D.【答案】B【分析】直接利用复数的运算,化简复数为代数形式,再根据共轭复数的概念,即可求解.【解析】由,由共轭复数的概念,可得,故选B.【名师点睛】本题主要考查了复数的运算,以及共轭复数的应用,其中解答中熟记复数的运算,以及共轭复数的概念是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.6.【河北省省级示范性高中联合体2019届高三3月联考】下列格式的运算结果为实数的是A.B.C.D.【答案】D【解析】对于A,;对于B,;对于C,;对于D,.故选D.7.【黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届高三第二次模拟】已知复数,则A.B.C.D.【答案】D【分析】先计算出,然后对进行化简,得到答案.【解析】,,.故选D.8.【陕西省西安市2019届高三第三次质量检测】为虚数单位,已知复数满足,则A.B.C.D.【答案】D【分析】先化简计算复数,然后计算模长即可.【解析】∵,∴.故选D.9.【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟】复数的虚部为A.B.C.D.【答案】B【解析】,所以的虚部为,故选B.10.【西南名校联盟重庆市第八中学2019届高三5月高考适应性月考】设.若为实数,则实数的值为A.B.C.D.【答案】D【分析】运用复数的除法运算公式,求出,根据复数的分类规则,求出实数的值.【解析】为实数,所以,故选D.【名师点睛】本题考查了复数的除法运算、复数的分类,正确求出是解题的关键.11.【安徽省合肥市2019届高三第二次质量检测】设复数满足,则在复平面内的对应点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【分析】先对复数进行化简,进而可得到它在复平面内对应点的坐标,从而可得到答案.【解析】由题意,,故在复平面内对应点为,在第一象限,故选A.12.【福建省福州市2018-2019学年高三第一学期质量抽测】复数,则A.B.C.D.【答案】D【分析】把代入,再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.【解析】,,故选D.13.【吉林省长春市北京师范大学长春市附属中学2019届高三第四次模拟】设(a,,i是虚数单位),且,则有A.B.C.D.【答案】D【分析】将,再和的实部和虚部对比,得出结果.【解析】因为,所以,,解得或,所以,故选D.14.【内蒙古呼伦贝尔市2019届高三模拟统一考试(一)】复数满足,则复数等于A.B.C.D.【答案】B【解析】复数满足,∴,故选B.15.【陕西省汉中市2019届高三全真模拟】已知,,则的共轭复数为A.B.C.D.【答案】A【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数相等的条件求得,的值,则答案可求.【解析】由,可得,∴,其共轭复数为,故选A.16.【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第二次模拟】如果复数(,为为虚数单位)的实部与虚部相等,则的值为A.B.C.D.【答案】D【分析】由复数的除法运算化简得到实部和虚部,令其相等即可得解.【解析】由题可得,由题意知,解得.故选D.【名师点睛】复数是高考中的必考知识,主要考查复数的模及复数相等的性质.要注意对实部、虚部的理解,掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念,复数的运算主要考查除法运算,通过分母实数化转化为复数的乘法,运算时特别要注意多项式相乘后的化简,防止简单问题出错,造成不必要的失分.
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