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双曲线试题及答案解析-2019年高考数学母题题源系列(江苏专版)

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专题07 双曲线【母题来源一】【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系中,若双曲线经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是 ▲ .【答案】【解析】由已知得,解得或,因为,所以.因为,所以双曲线的渐近线方程为.【名师点睛】双曲线的标准方程与几何性质,往往以小题的形式考查,其难度一般较小,是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的密切相关,事实上,标准方程中化1为0,即得渐近线方程.【母题来源二】【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系中,若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为,则其离心率的值是________________.【答案】【解析】因为双曲线的焦点到渐近线,即的距离为,所以,因此,,.【母题来源三】【2017年高考江苏卷】在平面直角坐标系中,双曲线的右准线与它的两条渐近线分别交于点,,其焦点是,则四边形的面积是_______________.【答案】【解析】右准线方程为,渐近线方程为,设,则,,,所以四边形的面积.【名师点睛】(1)已知双曲线方程求渐近线:;(2)已知渐近线可设双曲线方程为;(3)双曲线的焦点到渐近线的距离为,垂足为对应准线与渐近线的交点.【命题意图】通过了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,结合数形结合的思想考查它的简单几何性质以及双曲线的简单应用.【命题规律】双曲线的定义、方程与性质是每年高考的热点,难度中档,注重对计算能力以及数形结合思想的考查.从近几年江苏的高考试题来看,主要的命题角度有:(1)对双曲线定义与方程的考查;(2)对双曲线简单几何性质的考查,如求双曲线的渐近线、准线、离心率等;(3)双曲线与其他知识的综合,如平面几何、向量、直线与圆等.【方法总结】(一)对双曲线的定义与标准方程必须掌握以下内容:(1)在求解双曲线上的点到焦点的距离d时,一定要注意这一隐含条件.(2)求解双曲线的标准方程时,先确定双曲线的类型,也就是确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴,从而设出相应的标准方程的形式,然后利用待定系数法求出方程中的的值,最后写出双曲线的标准方程.(3)在求双曲线的方程时,若不知道焦点的位置,则进行讨论,或可直接设双曲线的方程为.(4)常见双曲线方程的设法:①与双曲线(a>0,b>0)有共同渐近线的双曲线方程可设为.②若双曲线的渐近线方程为,则双曲线方程可设为或.③与双曲线(a>0,b>0)共焦点的双曲线方程可设为.④过两个已知点的双曲线的标准方程可设为.⑤与椭圆(a>b>0)有共同焦点的双曲线方程可设为.(二)对于双曲线的渐近线,有下面两种考查方式:(1)已知双曲线的方程求其渐近线方程;(2)给出双曲线的渐近线方程求双曲线方程,由渐近线方程可确定a,b的关系,结合已知条件可解.(三)求双曲线的离心率一般有两种方法:(1)由条件寻找满足的等式或不等式,一般利用双曲线中的关系将双曲线的离心率公式变形,即,注意区分双曲线中的关系与椭圆中的关系,在椭圆中,而在双曲线中.(2)根据条件列含的齐次方程,利用双曲线的离心率公式转化为含或的方程,求解可得,注意根据双曲线离心率的范围对解进行取舍.(四)求解双曲线的离心率的范围的方法:一般是根据条件,结合和,得到关于的不等式,求解即得.注意区分双曲线离心率的范围,椭圆离心率的范围.另外,在建立关于的不等式时,注意双曲线上的点到焦点的距离的最值的应用.(1.【江苏省南通市2019届高三年级阶段性学情联合调研数学试题】已知双曲线,则点到的渐近线的距离为_______.【答案】【解析】双曲线的渐近线方程为:y=±x,点(4,0)到C的渐近线的距离为:=.故答案为:.【名师点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用,考查计算能力,属于基础题.求出双曲线的渐近线方程,利用点到直线距离公式得到结果.2.【江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查(二)数学试题】已知双曲线C的方程为,则其离心率为_______.【答案】【解析】由双曲线C的方程可得:,所以,所以.【名师点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质,考查计算能力,属于基础题.求解时,由双曲线C的方程可求得,,问题得解.3.【江苏省2019届高三第二学期联合调研测试数学试题】若双曲线的离心率为,则实数的值为_______.【答案】1【解析】因为代表双曲线,所以,且,,所以,解出,故答案为:1.【名师点睛】本题考查了双曲线的离心率,属于基础题.求解时,先由双曲线方程求出,再利用列方程求解.4.【江苏省徐州市2018-2019学年高三考前模拟检测数学试题】已知双曲线的左准线与轴的交点为点,则点到其中一条渐近线的距离为_______.【答案】【解析】由题意得,左准线方程为,所以,又渐近线方程为:,所以到渐近线的距离为,故填.【名师点睛】本题考查双曲线的几何性质,要求能从标准方程中得到,并计算出准线方程、渐近线方程等,此类问题是基础题.求解时,先求出左准线方程,从而得到的坐标,利用公式可计算它到渐近线的距离.5.【江苏省南通市2019届高三适应性考试数学试题】在平面直角坐标系中,双曲线的离心率为,则该双曲线的焦距为_______.【答案】4【解析】因为双曲线的离心率为,所以,即,解得,所以该双曲线的焦距为.故答案为4.【名师点睛】本题主要考查求双曲线的焦距,熟记双曲线的简单性质即可,属于基础题型.求解时,先由离心率求出,进而可求出焦距.6.【江苏省师大附中2019届高三年级第一学期期中考试数学试题】在平面直角坐标系xOy中,双曲线的一条渐近线方程为,则它的离心率为_______.【答案】【解析】根据题意,双曲线的渐近线方程为y=±x,又由该双曲线的一条渐近线方程为x﹣2y=0,即yx,则有,即a=2b,所以cb,故该双曲线的离心率e.故答案为:.7.【江苏省七市2019届(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)高三第二次调研考试数学试题】在平面直角坐标系中,已知双曲线的右顶点到渐近线的距离为,则b的值为_______.【答案】2【解析】由题意得,右顶点为A( 2,0 ),一条渐近线为bx﹣2y=0,根据点到直线的距离公式得,可得b=2,故答案为2.【名师点睛】本题考查双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,熟记双曲线基本概念,准确计算点线距离是关键,是基础题.8.【江苏省南通市基地学校2019届高三3月联考数学试题】已知双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为3a,则该双曲线的渐近线方程为_______.【答案】【解析】渐近线方程为:,由双曲线对称性可知,两焦点到两渐近线的距离均相等,取渐近线,焦点,,渐近线方程为:,本题正确结果:.【名师点睛】本题考查双曲线的几何性质、点到直线距离公式,关键在于利用点到直线距离公式建立的等量关系,求解得到结果.求解时,由标准方程可得渐近线方程,利用点到直线的距离构造方程,求得的值,从而得到渐近线方程.8.【江苏省前黄高级中学、溧阳中学2018-2019学年上学期第二次阶段检测数学试题】在平面直角坐标系中,已知双曲线的一条渐近线与直线平行,则实数_______.【答案】【解析】在平面直角坐标系xOy中,双曲线的渐近线方程为y=,∵渐近线与直线平行,∴.故答案为: .【名师点睛】本题考查双曲线的渐近线方程、双曲线的标准方程和直线平行的性质等基础知识,属于基础题.9.【江苏省如东中学2019届高三年级第二次学情测试数学试卷】已知倾斜角为的直线l的斜率等于双曲线的离心率,则=_______.【答案】【解析】双曲线的离心率,,为直线的倾斜角,∴,,,∴=sin=2sin=,故答案为:.【名师点睛】本题考查的是利用双曲线的离心率得出tan,再利用三角函数的倍角公式得出结果即可,属于基础题.由题意知,tan=,=sin,利用三角函数关系得出结果即可.10.【江苏省苏北四市2019届高三第一学期期末考试考前模拟数学试题】若抛物线的焦点到双曲线C:的渐近线距离等于,则双曲线C的离心率为_______.【答案】【解析】抛物线x2=4y的焦点坐标为(0,1),双曲线C:(a>0,b>0)的一条渐近线方程为yx,∴,∴e3,故答案为:3.【名师点睛】本题考查了抛物线和双曲线的简单性质,属于基础题.求解时,先求出抛物线x2=4y的焦点坐标为(0,1),和双曲线的一条渐近线方程为yx,根据点到直线的距离公式和离心率公式即可求出.11.【江苏省连云港市2019届高三上学期期中考试数学试题】已知双曲线的一条渐近线被圆C:截得的线段长为,则_______.【答案】2【解析】由于双曲线为等轴双曲线,故渐近线方程为,不妨设渐近线为.圆的圆心为,半径为,圆心到直线的距离为.故弦长为,解得.【名师点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线,考查直线和圆的位置关系,考查直线和圆相交所得弦长公式.对于双曲线,渐近线为,对于双曲线,渐近线为.直线和圆相交所得弦长的弦长公式为,其中为圆心到直线的距离.12.【江苏省镇江市2019届高三考前模拟(三模)数学试题】在平面直角坐标系中,双曲线的右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为,则双曲线的方程为_______.【答案】【解析】双曲线的右顶点为:,渐近线为:,依题意有:,解得:,双曲线的方程为:,本题正确结果:.【名师点睛】本题考查双曲线标准方程的求解,关键是能够熟练应用双曲线的几何性质,利用点到直线距离构造出方程.13.【江苏省扬州中学2019届高三4月考试数学试题】已知双曲线,过原点作一条倾斜角为的直线分别交双曲线左、右两支于两点,以线段为直径的圆过右焦点,则双曲线的离心率为_______.【答案】【解析】过原点的倾斜角为的直线方程为,解方程组:或则,,因为以线段为直径的圆过右焦点,所以,因此有,结合,化简得,所以有,解得.【名师点睛】本题主要考查了求双曲线的离心率,解题的关键是利用已知条件构造向量式,利用求出双曲线的离心,考查了数学运算能力.其实本题也可以根据平面几何图形的性质入手,由双曲线和直线的对称性,以线段为直径的圆过右焦点,显然,直线的倾斜角为,这样可以求出的坐标,代入双曲线方程中,也可以求出双曲线的离心率.14.【江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)2019届高三第三次调研考试数学试题】在平面直角坐标系中,双曲线()的右准线与两条渐近线分别交于A,B两点.若△AOB的面积为,则该双曲线的离心率为_______.【答案】2【解析】由题可得:双曲线()的右准线方程为:,两条渐近线方程分别,,由可得:,由双曲线的对称性可得:,所以△AOB的面积为,整理得:,即,所以该双曲线的离心率为.【名师点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质,还考查了方程思想及三角形面积公式,考查转化能力,属于中档题.求解时,由双曲线的右准线与两条渐近线分别交于A,B两点可求得:,再由△AOB的面积为列方程整理得:,问题得解.15.【江苏省南京市、盐城市2019届高三第二次模拟考试数学试题】在平面直角坐标系中,已知点是抛物线与双曲线的一个交点.若抛物线的焦点为,且,则双曲线的渐近线方程为_______.【答案】【解析】设点A(x,y),因为,所以x−(−1)=5,所以x=4.所以点A(4,±4),由题得即即所以双曲线的渐近线方程为.故答案为:.【名师点睛】本题主要考查抛物线和双曲线的简单几何性质,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.求解时,设点A(x,y),根据求出点A的坐标,再把点A的坐标代入双曲线的方程求出,再求双曲线的渐近线方程.
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