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第三章静电场边值问题

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第三章 静电场 第三章静电场
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边值问题的分类和解的唯一性定理 镜像法 复变函数法 分离变量法 点电荷密度的delta函数表示 格林函数法 第三章 静电场边值问题的解析解 为什么说第二类 边界条件 与导体上给定电荷分 布或边界是电力线的条 件是等价的? 3.1.1 静电场的边值问题 已知场域边界 上各点电位值 图3.1.1 边值问题框图 自然 边界条件 参考点电位 有限值 边值问题 微分方程 边界条件 场域 边界条件 分界面 衔接条件 第一类 边界条件 第二类 边界条件 第三类 边界条件 已知场域边界 上各点电位 的法向导数 一、二类边界 条件的线性组 合,即 3.1 边值问题的分类和解的唯一性定理 边值问题 研究方法 计算法 实验法 作图法 解析法 数值法 实测法 模拟法 定性 定量 积分法 分离变量法 镜像法、电轴法 微分方程法 保角变换法 有限差分法 有限元法 边界元法 矩量法 模拟电荷法 数学模拟法 物理模拟法 图3.1.2 边值问题研究方法框图 例3.1.1 图示长直同轴电缆横截面。已知缆芯截面是一边长为2b的正方形, 铅皮半径为a,内外导体之间电介质的介电常数为 ,并且在两导体之间接有电源 U0,试写出该电缆中静电场的边值问题。 解:根据场分布对称性,确定场域。 (阴影区域) 场的边值问题 图3.1.3 缆心为正方形的同轴电缆横截面 边界条件 积分之,得通解 例3.1.2 设有电荷均匀分布在半径为a的介质球型区域中,电荷体密度 为 ,试用解微分方程的方法求球体内、外的电位及电场。 解: 采用球坐标系,分区域建立方程 参考点电位 图3.1.4 体电荷分布的球形域电场 解得 电场强度(球坐标梯度公式): 对于一维场(场量仅仅是一个坐标变量的函数),只要对二阶常系数微分 方程积分两次,得到通解;然后利用边界条件求得积分常数,得到电位的解; 再由 得到电场强度E的分布。 电位: 2. 唯一性定理的重要意义  唯一性定理为静电场问题的多种解法(镜像法、试探解、数值解、解析解等)提供 了思路及理论根据。 3.1.2 静电场中解的唯一性定理 证明: (反证法) 3.2.1 点电荷对无限大接地导体平面的镜像 边值问题: (导板及无穷远处) (除 q 所在点外的区域) (S 为包围 q 的闭合面) 1.平面导体的镜像 镜像法: 用虚设的电荷分布等效替代媒质分界面上复杂电荷分布,虚设电荷的 个数、大小与位置使场的解答满足唯一性定理。 图3.2.1 平面导体的镜像 上半场域边值问题: (除 q 所在点外的区域 ) (导板及无穷远处 ) (S 为包围q 的闭合面) 3.2 镜像法 (方向指向地面) 整个地面上感应电荷的总量为 例3.2.1 求空气中一个点电荷 在地面引起的感应电荷分布情况。 解: 设点电荷 离地面高度为h,则 图3.2.2 点电荷 在地面引起的感应电荷的分布 例 两个相交成直角的半无限大导体平面间有一个点电荷q,与两平面的距离分 d1和d2,求平面上的感应电荷作用在电荷q上的力。 d1 d2 q x o y d1d1 d2 d2 d2 d2 d1d1 qq2 q3q1 解: 利用镜像法得 3.2.2 点电荷对导体球面的镜像 设在点电荷附近有一接地导体球,求导体球外空间的电位及电场分布。 1) 边值问题: (除q点外的导体球外空间) 图3.2.3 点电荷对接地导体球面的镜像 由叠加原理,接地导体球外任一点P的电位与电场分别为 图3.2.5 点电荷位于接地导体球附近的场图 镜像电荷不能放在当前求解的 场域内。 镜像电荷等于负的感应电荷 图3.2.4 接地导体球外的电场计算 在接地球的基础上判断镜像电荷的个数、大小与位置 解: 边值问题: ( 除 q 点外的导体球外空间) ( S 为球面面积 ) 例3.2.2 试计算不接地金属球附近放置一点电荷 时的电场分布。 任一点电位及电场强度为: 图3.2.6 点电荷对不接地金属 球的镜像 感应电荷分布及球对称性,在球内有两个等效电荷。 正负镜像电荷绝对值相等。 正镜像电荷只能位于球心。 试确定用镜像法求解下列问题时,其镜像电荷的个数,大小与位置 ? 补充题: 图3.2.8 点电荷对导体球面的镜像 图3.2.7 点电荷位于不接地导体球附近的场图 不接地导体球面上的正负感应电荷 的绝对值等于镜像电荷 吗? 为什么? 3.2.3 线电荷对导体圆柱面的镜像 边值问题 : (导线以外的空间 ) 根据唯一性定理,寻找等效线电荷——电轴。 1.问题提出 3.2.9 长直平行圆柱导体传输线 能否用高斯定理求解? 2. 两根细导线产生的电场 以y轴为参考点, C=0, 则 当K取不同数值时,就得到一族偏心圆。 图3.2.10 两根细导线的电场计算 a、h、b三者之间的关系满足 等位线方程为: 圆心坐标圆半径 p bb +t -t y x o r1 r2 应该注意到,线电荷所在的两个点,对每一个等位圆的圆心来说,互为反演。即 根据 及E线的微分方程 , 得E线方程为 图3.2.11 两细导线的场图 3. 电轴法 例3.2.3 试求图示两带电长直平行圆柱导体传输线的电场及电位分布。 ( 以 轴为电位为参考点 ) 用置于电轴上的等效线电荷,来代替圆柱导体面上分布电荷,从而求得电场 的方法,称为电轴法。 解: 图3.2.12 平行圆柱导体传输线电场的计算 例3.2.4 已知两根不同半径,相互平行,轴线距离为d 的带电长直圆柱 导体。试决定电轴位置。 注意:1)参考电位的位置;2)适用区域。 例3.2.5 试确定图示偏心电缆的电轴位置。 解: 确定 图3.2.13 不同半径传输线的电轴位置 图3.2.14 偏心电缆电轴位置 例3.2.6 已知一对半径为a,相距为d的长直圆柱导体传输线之间电压为 , 试求圆柱导体间电位的分布。 解得 图3.2.15 电压为U0的传输线电场的计算 a)确定电轴的位置 3.2.4 点电荷对无限大介质平面的镜像 边值问题: (下半空间)(除 q点外的上半空间) 图3.2.16 点电荷对无限大介质分界面的镜像 和 • 中的电场是由 决定,其有效区在下半空间, 是等效替代自由电荷与极化 电荷的作用。 即 图3.2.17 点电荷 位于不同介质平 面上方的场图 • 中的电场是由 与 共同产生,其有效区在上半空间, 是等效替代极化电 荷的影响。 图3.2.18 点电荷 与 分别置于 与 区域中 为求解图示 与 区域的电 场,试确定镜像电荷的个数、大小 与位置。 镜像法(电轴法)小结 镜像法(电轴法)的理论基础是静电场唯一性定理; 镜像法(电轴法)的实质是用虚设的镜像电荷(电轴)替代未知电荷 的分布,使计算场域为无限大均匀介质; 镜像法(电轴法)的关键是确定镜像电荷(电轴)的个数(根数), 大小及位置; 应用镜像法(电轴法)解题时,注意:镜像电荷(电轴)只能放在 待求场域以外的区域。叠加时,要注意场的适用区域。 3.3 复变函数法 3.3.1 复位函数 在复变函数中,函数可导(解析函数)要求增量比在可导点的邻域的极限 在复平面上沿任意方向趋近均存在唯一确定的值,因此解析函数的实部和虚部 之间受到严格的制约,此即科希-里曼必要条件,由此导致实部和虚部都必须 满足拉普拉斯方程。然而,静电场在无界区域的电势同样满足拉普拉斯方程。 因此,若可以找到(如何根据边界情况,寻找相应的函数,只能根据经验 而没有一定的方法)一在所研究的区域满足拉普拉斯方程的所谓调和函数,该 调和函数在边界上的值又和边界条件吻合,则根据解的存在和唯一性条件可以 判定,该调和函数是待求解的静电场的电位函数。相应地,可以通过如下关系 式求出与该调和函数共轭的另一调和函数(解析函数是由一对共轭调和函数分 别作为其实部和虚部构成)。 由于两调和函数的梯度是正交的,因此两调和函数之间的物理意义是明确 的。 求等势线。 例:已知平面静电场的电力线为抛物线簇 3.3.2 保角变换 函数实际上对应一种映射关系,即将一个域映射到另一个域中。对于复变 函数: 可以看成将Z平面上的一个点(x,y)映射或者变换到W平面上(u,v)点。当变换函 数是解析函数时,这种变换具有保角性质,即变换前后两曲线交点处的夹角保 持不变,只要该复变函数在该点的导数不等于零。 保角变换法的出发点就是将一个边界形状较为复杂的二维位场变换为新的 坐标平面上边界形状较为简单的位场进行求解,然后再反变换到原平面上。 进行保角变换后,1、在Z平面上满足拉普拉斯方程的函数变换到W平面上的 函数仍然满足拉普拉斯方程;2、变换前后对应点的电场强度会发生变化,场源 电荷密度也会发生变换,不过总电荷保持不变;3、保角变换后,变换前后两导 体之间的电容量不变。 例3-3 分离变量法是一种最经典的微分方程法,它适用于求解一类具有理想边界条 件的典型边值问题 。一般情况下,采用正交坐标系可用分离变量法得出拉普拉斯 方程或波动方程的通解,而只有当场域边界与正交坐标面重合或平行时,才可确 定积分常数,得到边值问题的解。 3.4.1 解题的一般步骤:  根据边界的几何形状和场的分布特征选定坐标系,写出对应的边值 问题(微分方程和边界条件);  分离变量,将一个偏微分方程,分离成几个常微分方程;  解常微分方程,并叠加各特解得到通解;  利用给定的边界条件确定积分常数,最终得到电位函数的解。 3.4.2 应用实例 1. 直角坐标系中的分离变量法(二维场) 3.4 分离变量法 例3.4.1 图示一无限长金属槽,其三壁接地,另一壁与三壁绝缘且保持电位 为 ,金属槽截面为正方形(边长为a),试求金属槽内电位的分布。 解:选定直角坐标系 (D域内)(1) (2) (3) (4) (5) 定解问题 图3.4.1 接地金属槽的截面 2) 分离变量 代入式(1)有 根据 可能的取值,可有6个常微分方程: 设 称为分离常数,可以取值 3)解常微分方程,将各特解线性叠加得通解。 4)利用给定边界条件确定积分常数,最终得到电位函数的解。 图3.4.2 双曲函数 d) 比较系数法: 当 时, (D域内) 当 时,  满足拉普拉斯方程的通解有无数个,但满足给定边界条件的解是唯一的。  若 , 2、圆柱坐标系中的分离变量法(二维场) 利用 sin 函数的正交性来确定 。等式两端同乘 ,然后从 0到 a对 x积分 图3.4.3 接地金属槽内 的等位线分布 1)选定圆柱坐标,列出定解问题 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 例1.5.2 在均匀电场 中,放置一根 半径为a,介电常数为 的无限长均匀介质 圆柱棒,它的轴线与 垂直。柱外是自由 空间 。试求圆柱内外电位函数 和电 场强度 的分布。 根据场分布的对称性 图3.4.4 均匀电场中的介质圆柱棒 3)解常微分方程,将各特解线性叠加得通解。 当 时, 当 时, 2)分离变量, 设 代入式(1)得 或 根据 根据 , 比较系数得 当 时, 4)利用给定边界条件确定积分常数。 根据场分布对称性 当 时, 通解中不含 的奇函数项, 解之,得 比较系数法: 当 时,得 当 时, , 则最终解 c)由分界面 的衔接条件,得  介质柱内的电场是均匀的,且与外加电场E0平行。 因 , ,所以 。  介质柱外的电场非均匀变化,但远离介质柱的区域,其电场趋近于均匀电 场 。 图3.4.5 均匀外电场中介质 圆柱内外的电场 3.5点电荷密度的delta函数表示 3.5.1 delta 函数 Delta函数的定义 Delta的空间表示 图3.5.1 单位点电荷的密度分布 点电荷是电荷体分布的极限情况,可以把它看成是一个体积很小,电荷密度 很大,总电量不变的带电小球体。 3.5.2 点源的delta函数表示 当 时,电荷密度趋近于无穷大,通常用冲击函数 表示点电荷的密度分布。对于位于空间r’带电量为q的点电 荷,其电荷密度分布可以用Delta函数表示为: 根据真空中的泊松方程,该点电荷在空间激发的位场可 以表示为: 3.6格林函数法 3.6.1 泊松方程的积分形式 对于体积V内具有连续二阶导数的任意标量函数 ,有: 取 为待求电荷分布的电势分布,满足 取任意标量函数 代入格林公式可以得到: 当体积分包括场点,可以得到: 上式表明: 1、当积分区域趋于无穷时(这时区域包含所有可能的电荷分布),第二项的通 量积分为零 ; 2、当积分区域仅包含部分电荷时,第一项表示区域内的电荷的贡献,第二项表 示区域外的电荷激发的场,通过在边界上的行为影响区域内的电位分布; 3、当积分区域不包括电荷时,第一项为零,区域内的场完全区域外的电荷通过 在边界上的行为影响区域内的电位分布。此即得到拉普拉斯方程的积分形式: 例3-11 求证球外一点电荷q在一球半径为a的球面上所产生的电位平均值等 于此点电荷在球心处所产生的点位值(球内无电荷) q d o a 证明过程: q在球心处所产生的电位 取V为半径为a的球面所包围的体积,球心O处的电位表达式为 因 有 因R=a,所以 因上式可简化为: 球面上的电位的平均值 3.6.2 格林函数法 利用上式求解位场需要已知待求场在边界上的值及梯度,因此上式并不实用。令 待解场及格林公式中另一任意函数分别满足如下方程: 代入格林公式: 可以得到: (1)对于第一类边界条件,我们可要求任意函数G满足第一类齐次边界条件。 可以得到: (2)对于第二类边界条件,我们可要求任意函数G满足第二类齐次边界条件。 可以得到: (3)对于第三类边界条件,我们可要求任意函数G满足相应的第三类齐次边界条件。 即: 可以得到: 根据待求位场的边界条件,我们可以对任意函数G在边界上的值提出相应要求 上述三式给出了利用格林函数求解位场的关系式,其中要求给出点电荷在三 类齐次边界条件下的解,即事先寻找相应边界条件的格林函数。 简单边界条件下的格林函数 (1)无界空间的格林函数为 (2)球内、外空间的格林函数为 p r’ a o r R1 R2 球外 p r’ a o r R1 R2 球内 解: 球内问题,且球内无自由电荷 p r’ a o r R1 R2 球内 #唯一性定理证 明 电力电缆 单芯电力电缆 三相电力电缆(中间地线、右侧测量线) 电力电缆
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