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n阶行列式的定义及性质

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§13 n阶行列式的定义及性质 二、 n阶行列式的性质 一、 n阶行列式的定义 一、n阶行列式的定义 为了给出n阶行列式的定义 我们要先研究三阶行列 式的结构 观察与想考 a11a22a33a12a23a31a13a21a32 a11a23a32a12a21a33a13a22a31 a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 三阶行列式存在什么规律? (1)行列式右边任一项除正负号外可以写成 其中p1p2p3是1、2、3的某个排列 (2)各项所带的正负号可以表示为(1)t 其中t为列指标排 列p1p2p3所决定(称为p1p2p3的逆序数) 三阶行列式可以写成 其中t为排列p1p2p3的逆序数 ∑表示对1、2、3三个数的所有 排列p1p2p3取和 v三阶行列式的结构一: 特别规定一阶行列式|(a)|的值就是a 由n2个数aij (i j1 2    n)构成的代数和 称为n阶行列式 记为 简记为det(aij) 其中p1p2    pn为自然数1 2     n的一个排列 t为这个排列的逆序数 ∑表示对所有排列p1p2    pn取和 在n阶行列式D中 数aij为行列式D的(i j)元 vn阶行列式的传统定义: 为了给出n阶行列式的第二种定义方式 我们再进一 步研究三阶行列式的结构 观察与想考 a11a22a33a12a23a31a13a21a32 a11a23a32a12a21a33a13a22a31 a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 三阶行列式存在什么规律? v三阶行列式的结构二: 其中Aij(1)i jMij Mij是D去掉第i行第j列全部元素后, 按原顺 序排成的n1阶行列式, 称Mij为元素aij的余子式, 称Aij为元素aij的代数余子式. vn阶行列式的递归法定义: 由n2个数aij (i j1 2    n)组成的n阶行列式 是一个算式. 当n =1时 定义D=|(a11)|= a11; 当n≥2时 定义 Da11A11a12A12    a1nA1n  v余子式与代数余子式的一个例子 A23(1)23M23M23 例如 已知 则a23的余子式和代数余子式分别为 v方阵与行列式 设为n阶方阵, 则A的行列式可记为|A|或detA, 即 (3) 只有方阵才有行列式! v矩阵与行列式的区别 (1) 行列式是一个算式, 一个数字行列式经过计算可求得其值. (2) 矩阵仅仅是一个数表, 它的行数和列数可以不同. 例1 证明n阶下三角行列式 证 对n作数学归纳法. 当n=2时 结论成立. 假设结论对n1阶下三角行列式成立, 则由定义得 例2 计算n阶行列式(副对角线以上元素全是0) 解 利用行列式定义, 可得. 递推可得 vn阶行列式的性质: v性质1 设A为方阵,则|AT|=|A|, 即转置不改变方阵的行列式. 由此性质可知 行列式中的行与列具有同等的地位 行 列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立 反之亦然 v性质2(行列式按行展开法则) 行列式等于它的任一行各元素与其对应的代数余子式 乘积的和 即 Dai1Ai1ai2Ai2    ainAin (i=1 2     n)  •推论(行列式按列展开法则) 行列式等于它的任一列各元素与其对应的代数余子式乘 积的和 即 Da1j A1ja2j A2j    anj Anj (j=1 2     n) 例 设 则 (1)A的第3列元素3,2,4,8正好是AT的第3行元素; (2)A的第3列元素的余子式 正好是|AT|的第3行元素的余子式的转置, 故|A|=|AT| = AT的第3行元素与其对应的代数余子式乘积的和 = A的第3列元素与其对应的代数余子式乘积的和 又对应元素的代数余子式的符号关系一致, v性质3(线性性质) (1)行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k 等于用 数k乘此行列式 (2) •推论 (1)行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式 符号的外面 (2)某一行(列)的所有元素全为0的行列式其值为0. v性质4 行列式中如果有两行(列)完全相等 则行列式等于零 •推论 行列式中如果有两行(列)元素成比例 则行列式等于零 v性质5 把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数然后加到另 一行(列)对应的元素上去 行列式不变 即 v性质6(反对称性质) 行列式的两行(列)对换 行列式的值反号 证 即 v初等变换与行列式 •性质3 (1) 设以下A,B都是方阵. 则|B|=k|A|. 则|B|=k|A|. •性质5则|B|=|A|. •性质6 则|B|=|A|. 综上, 我们有 •命题 则|A|与|B|要么同时为0, 要么同时不为0. (2)设n阶方阵A满足|A|≠0, 且A经过有限次初等行变换变 成行简化阶梯矩阵R, 则R=En. 则|B|=|A|. 则|B|=|A|. 注 在计算行列式 中, 经常需要用初等 变换来“打洞”, 可以 看出“打洞”中起主 要作用的是性质5. v性质7 行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代 数余子式乘积之和等于零 即 ai1Aj1ai2Aj2    ainAjn 0 (ij) 或 a1i A1ja2i A2j    ani Anj0 (ij) v综合结论 则A12A22+4A32+2A42= D=57, A21+2A22+4 A23+2 A24 = 0. 例 对于n阶上三角行列式, 有 提示 利用性质1及下三角行列式的结果 上三角形, 下三角形及对角形行列式的值等于主对 角线上n个元素的乘积 例 设则 2 例 设5阶方阵求|A|. 解 从而|A|=0. 注 此题中A是所谓的反对称矩阵, 奇数阶反对称矩阵 的行列式的值必为0(第14页例4).
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