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北师大初中数学

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西安市电建学校 三角形内角和定理的证明 主讲:陈根仓 西安市电建学校 回顾与思考☞☞ w证明命题的一般步骤是什么? w(1)理解题意,分清命题的条件(已知),结论(求证); w(2)根据题意,画出图形; w(4)分析证明思路,运用数学符号和数学语言 有条理、清晰地写出证明过程; w(3)结合图形,用符号、语言写出“已知”和“求证”; w(5)检查表达过程是否正确、完善。 胜者的 “钥匙” 驶向胜利 的彼岸 读一读P209☞☞ w在△ABC中,如果BC不动,把点A“压”向BC,那么当点A越来越接 近BC时, ∠A就越来越大(越来越接近180 ),而∠B和 ∠C,越来 越小(越来越接近0 ).由此你能想到什么? CB A CB A 用运动变化的观点 理解和认识数学 w如果BC不动,把点A“拉离”BC,那么当A越来越远离BC时 ,∠A就越来越小(越来越接近0 ),而∠B和∠C则越来越大,它 们的和越来越接近180 , 当把点A拉到无穷远时,便有 AB∥AC,∠B和∠C成为同旁内角,它们的和等于180 .由此你能 想到什么? o o o o o 回顾与思考☞☞ 胜者的 “钥匙”‘ 驶向胜利 的彼岸 w三角形的内角之间有什么关系? 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 1800. w你能说明其中的道理吗? A B C 实验1: 先将纸片三角形一角折向其对边,使顶点 落在对边上,折线与对边平行(图1),然后把另处 两角相向对折,使其顶点与已折角的顶点相嵌合( 图2)、(图3),最后得到(图4)所示的结果。 A CB 图1 BAC 图2 B A C 图3 B A C 图4 实验2: 将纸片三角形顶角剪下,随意将它们拼 凑在一起。你会得到什么?试用自己的语言说明 这一结论的正确性? 合作 例:已知:如图△ABC. 求证:∠A+∠B+∠C=180 . A B C 2 1 3 D E 这里的 CD,CE称为 辅助线,辅 助线通常画 成虚线. w分析:延长BC到D,过点C作射线 CE∥AB,这样,就相当于把∠A移到 了∠1的位置,把∠B移到了∠2的位 置. w证明:作BC的延长线CD,过点C作CE∥AB, 则 ∠1=∠A (两直线平行,内错角相等) ∠2= ∠B (两直线平行,同位角相等 ) 又∵∠1+∠2+∠3=1800 (平角的定义) ∴ ∠A+∠B+∠ACB=1800 (等量代换) o 在上面对“三角形内角和定理”的证 明过程中,我们运用了一个什么数 学思想? 本题还有其它的证法吗? 答:转换的数学思想,即把“三 角形内角和”转换为“平角”。 ◆ ◆ ◆ 议一议P206 w在证明三角形内角和定理时,小明的想法是把三个角“凑” 到A处,他过点A作直线PQ∥BC(如图),他的想法可以吗? w请你帮小明把想法化为实际行动. A B C PQ 2 3 1 w证明:过点A作PQ∥BC,则 ∠1=∠B (两直线平行,内错角相等) ∠2=∠C (两直线平行,内错角相等) 又∵∠1+∠2+∠3=1800 (平角的定义) ∴ ∠BAC+∠B+∠C=1800 (等量代换) w小明的想法已经变为现实,由此你受到什么 启发?你有新的证法吗? 联系拓广☞☞ 在证明三角形内角和定理时,是否可以把三角形的 三个角“凑”到BC边上的一点P(如图甲)?如果把三个 角“凑”到三角形内一点呢?(如图乙)?“凑”到三角形 外一点呢(如图丙)?你能想出其他证法吗? 甲 A BC P Q R T S N 乙 A BC PQ R M T S N 丙 A BC PQ R M 相信自己☞☞ 1.直角三角形的两锐角之和是多少度?等边三角形 的一个内角是多少度?请证明你的结论. A B C A BC 2.(新疆)如图,已知AB∥DE,∠E=65 ,则 ∠B+∠C的度数是 ( ) A. 135 B. 115 C.65 D.35 o oooo 第2题图 第1题图 C A B C D E F 相信自己☞☞ 3.(2009年常德市)如图1,已知AE∥BD, , ,则∠C=_____ . A B C D E 1 2 图1 析解:∵AE∥BD (已知) ∴∠AEC=∠2=30 ∵∠1+∠AEC+∠C=180 , ∠1=130 ∴∠C=180 –130 –30 =20 。 O O O OOOO o 20 o 30 2 = Ð o 1301=Ð 小明到工厂去进行实践活动时,发 现工人师傅生产了一种如图2所示的零件 。工人师傅告诉他:AB∥CD, O BAE35= Ð ,80AEC , O = Ð 小明马上运用已学的数学 知识得出了∠ECD的度数,聪明的你 一定知道∠ECD的度数吧? A B C D E 图2 A B CD 图2 E 析解: 连接AC。 ∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180 ∴ ∠EAC+∠ECA=180-80=100 ∴AB∥CD ∴∠BAC+∠ACD=180 ∴∠ECD+∠ECA+∠EAC+∠BAE=180 ∴∠ECD=180-∠BAC-(∠EAC+∠ECA) =180-35-100=45 O O OO O O O OOOO 小结 拓展回味无穷 • 掌握几何命题证明的方法,步骤,格 式及注意事项. • 三角形内角和定理. • 探索证明的思路的方法: 由“因 ”导“果”,执“果”索“因”. • 结论: 直角三角形的两个锐角互余. • 与同伴交流,你是如何提高证明命题 能力的. 1、P210习题6.6 1, 2, 3题 2、试求一个五角星的5个角度数之 和。 下课了! 结束寄语 ·严格性之于数学家,犹如道德之于人 . ·由“因”导“果”,执“果”索“因”.是探 索证明思路的基本方法. 感恩的心,感谢有你! 谢谢你的欣赏! 全力打造精品课件,教学资料,感谢你的欣赏 文档有价,知识无价 课件之家精心整理
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