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第二章 系统数学模型3

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第二章 系统 系统数学模型
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第二章 系统的数学模型 2-1 模型总论 2-2 微分方程的建立 2-3 传递函数模型 2-4 框图模型 2-5 信号流图模型 2-6 模型总结 第五讲:系统的数学模型 ( 2-5、 2-6 单元, 2 学时) 2-5 信号流图模型 2-6 模型总结 2-5 信号流图模型 一 概念 (1)信号流图是一组联立线性代数方程 变量间关系的表示图。 X1=X1 X2=aX1+dX4 X3=bX1+cX2 X4=eX3+fX4 X5=gX4 X1 X2 X3 X4 X5 a b ce df g 输入节点 只有输出 输出节点 只有输入 混合节点 既有输入, 又有输出 传输及增益 (2)节点:输入节点、输出节点、混合节 点 (3)传输:用连接两个节点的有向弧表示, 标注有传输增益; (4)前向通路: 信号从输入节点到输出节 点传递时,每个节点至多只通过一次的通 路 。 前向通路上各传输弧增益之乘积为该 条前向通路的总增益,一般用Pk表示。如 :aceg,beg。 X1 X2 X3 X4 X5 ace df g b (5)回路:起点和终点在同一个节点,而且 信号通过任一节点不多于一次的闭合通路。 回路中,所有支路增益之乘积叫回路增益, 一般用L表示。例如:ced,f(自回路) (6)不接触回路:不同回路之间没有公共节 点时,它们彼此称为不接触回路 。 框图模型与信号流图之间有什么联系? X1 X2 X3 X4 X5 ace df g b Pk—从R(s)到Y(s)的第k条前向通路传递函数 梅逊公式介绍 R-Y: Y(s) R(s) = ∑Pk△k △ △称为系统特征式 △=1- ∑La+ ∑LbLc-∑LdLeLf+… 其中: —所有单独回路增益之和 ∑La ∑LbLc—所有两两互不接触回路增益乘积之和 ∑LdLeLf—所有三个互不接触回路增益乘积之和 △k称为第k条前向通路的余子式 求法: 去掉△中,涉及到第k条前向通路相接触的回路的 各项 4 个单独回路,2 个回路互不接触 e 1abcd f g h Y(s ) R(s ) Y(s ) R(s) = 1––– –afbgch ehgf+ + afch abcded (1–bg) 前向通路两条 例 2.14 例2.15 R(s ) Y(s ) 1K 1 1 111G1(s)G2(s)G3(s) -1 -1 -1 -1 P1=G1G2G3K; P2=G2G3K; P3=G1G3K 例2.16(直接读框图) R(s) Y(s) L1= –G1 H1L2= – G3 H3L3= – G1G2G3H3H1L4= – G4G3 L5 = – G1G2G3L1L2= (–G1H1) (–G3H3) = G1G3H1H3 L1L4=(–G1H1)(–G4G3)=G1G3G4H1 P1=G1G2G3 △1=1 G4(s) H1(s)H3(s) G1(s) G2(s) G3(s) G1(s) G2(s) G3(s) G1(s) G2(s) G3(s) G1(s) G2(s) G3(s) P2= G4G3 △2=1+G1H1 G4(s) G3(s) G4(s) G3(s) Y(s) R(s) = ? L1L2= (G1H1)(-G 2 H2 )L1= G1H1L2= –G2H2L3= –G1G2H3 G1(s) G3(s) H1(s) G2(s) H3(s) H2(s) R(s) Y(s) N(s) E(S) Y(s)= 1- G1H1+ G2H2+ G1G2H3-G1H1G2 H2 G3G2+G1G2+ G2 (1-G1H1)R(s)[ ] N(s) 例2.17 梅逊公式求Y(s)--双输入系统 (1-G1H1) G1(s) G3(s) H1(s) G2(s) H3(s) H2(s) R(s) Y(s) N(s) E(S) 例2.18 梅逊公式求E(s) E(s)= 1- G1H1+ G2H2+ G1G2H3-G1H1G2 H2 G1(s) G3(s) H1(s) G2(s) H3(s) H2(s) R(s) Y(s) N(s) E(S) 梅逊公式求E(s) E(s)= 1- G1H1+ G2H2+ G1G2H3-G1H1G2 H2 P1=1△1=1+G2H2 (1+G2H2)+ G1(s) H1(s) H2(s) Y(s) 梅逊公式求E(s) E(s)= 1- G1H1+ G2H2+ G1G2H3-G1H1G2 H2 (1+G2H2) G3(s) G2(s) H3(s) R(s) E(S) + G1(s) H1(s) H2(s) Y(s) 梅逊公式求E(s) G3(s) G2(s) H3(s) R(s) E(S) P2= - G3G2H3 △2= 1 (- G3G2H3) R(s)[ ] E(s)= 1- G1H1+ G2H2+ G1G2H3-G1H1G2 H2 (1+G2H2)+ G1(s) H1(s) H2(s) Y(s) 梅逊公式求E(s) E(s)= 1- G1H1+ G2H2+ G1G2H3-G1H1G2 H2 (1+G2H2) G3(s) G2(s) H3(s) R(s) E(S) △2= 1 P2△2=? (- G3G2H3)R(s)[ ] N(s ) P1= –G2H3△1= 1 (–G2H3) + N(s) P2= - G3G2H3 + 回顾:对控制系统的数学描 述 微分方程模型 传递函数模型 方框图模型 信号流图模型 状态空间模型 1、微分方程模型 特点: 最基本, 通常采用机理建模策略、线性化等手 段处理。 线性定常系统微分方程的一般形式: 其中,y(t)为系统的输出,r(t)为系统输入。 2、传递函数模型 在零初始条件下,对微分方程两边取拉氏 变换,则有: 优点: 最方便:便于系统组合,便于求取系统响应。 适合采用试验辨识建模策略。 微分关系的代数化是图示化模型的基础,等 。 不足: 仅仅表示了输入输出关系。 特别提醒:熟知典型环节的传递函数 (1)比例环节 (2)积分环节 (3)惯性环节 (4)微分环节 (5)振荡环节 (6)延迟环节 (7)一阶微分 (8)二阶微分 微分方程与传递函数的转换 传递 函数 模型 微分 方程 模型 拉普拉斯逆算子与 整理(一对多,不 要求) 拉普拉斯变换与整 理(多对一) 3、框图模型 以传递函数和代数关系为基础,反映 了系统内部的信号变换、传递关系,表示 了系统的实现方式。 构图特点: 信号在线上,变换因子在框内。 优点: 图示化模型,直观。 除输入输出外,有新的系统实现信息。 不足: 框图的一致性、等效性需要仔细验证。 基本要求: 读懂框图! 特别提醒:熟知典型形式 G1G2 G2 G1 G H G1G2 G G H1+ 串 联并 联反 馈 G1G2 尤其是反馈形式 G(s) H(s) E(s) R(s) = Y(s) Y(s) R(s) B(s) 以后采用Ф(s)表示闭环传递函数; 称 为开环传递函数; 称 为前向通路传递函数; 称 单位反馈,即有: 4、信号流图模型 以传递函数和代数关系为基础,反映 了系统内部的信号变换、传递关系,表示 了系统的实现方式。与框图模型等效。 构图特点: 信号在节点处,变换因子在弧上。 优点: 图示化模型,直观。 除输入输出外,有新的系统实现信息。 不足: 流图的一致性、等效性需要仔细验证。 要求: 读懂流图!有梅森公式。 梅森公式要点: 通路、回路辨识。 组合公式运用。 扩展应用。 图示化模型与传递函数的转换 传递 函数 模型 框图 模型 一对多 不要求 梅森公式 流图 模型 等效变换 对偶 等效 习题 E2.8,E2.15,E2.22,E2.23,E2.26, E2.28, P2.36,DP2.1,DP2.3
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