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计算方法 数值计算误差ch01

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计算方法误差
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第一章 数值计算的误差 计算方法 1 主要内容 q 误差的来源 q 几个基本概念 q 误差估计 q 数值稳定性/误差的传播与积累 q 数值计算中的一些注意事项 l 绝对误差、绝对误差限/误差限 l 相对误差、相对误差限 l 有效数字 2 误差 是人们用来描述数值计算中近似解的精确程度,是科 学计算中的一个十分重要的概念 q 误差的来源 数值计算的误差 l 从实际问题中抽象出数学模型 —— 模型误差 l 通过测量和实验得到模型中的各种数据 —— 观测误差 l 数学模型的数值求解 —— 截断误差(方法误差) l 机器字长有限 —— 舍入误差 在数值分析中,我们总假定数学模型是准确的,因而不考 虑模型误差和观测误差,主要研究截断误差和舍入误差 对计算结果的影响 3 误差举例 例:近似计算 解法之一:将 作Taylor展开后再积分 S4R4 取 则 称为 截断误差 4 误差举例 保留小数点后 4 位数字 舍入误差 5 绝对误差: 绝对误差 x — 精确值 x* — 近似值 则称 * 为 绝对误差限/误差限 l 若存在一个正数 *,使得 工程上通常记为:x = x*  * |e*| = |x* - x|  * l 绝对误差 可能取正,也可能取负 l 绝对误差 越小越具有参考价值 l 但 绝对误差 却不能很好地表示近似值的精确程度 6 相对误差 I can tell that this part’s diameter is 20cm0.1cm. Of course mine is more accurate ! The accuracy relates to not only the absolute error, but also to the size of the exact value I can tell that distance between two planets is 1 million light year ±1 light year. 7 相对误差 相对误差: x* - x er* = x l 若存在正数 r*,使得 |er*|  r*, 则称 r*为相对误差限 l 由于真值难以求出,通常也使用下面的定义作为相对误差 x* - x er* = x* l 近似值的精确程度取决于 相对误差 的大小 l 实际计算中我们所能得到的是 误差限 或 相对误差限 8 有效数字 有效数字:若近似值 x* 的误差限是某一位的半个单 位,且该位到 x* 的第一位非零数字共有 n 位,则称 x* 有 n 位有效数字 x* = a1.a2···an10m (a10) 且有 |x - x*|  0.5  10m-n+1 则 x* 有 n 位有效数字 设 x*为 x 的近似值,若 x* 可表示为 l 等价描述 9 有效数字 例: = 3.14159265 ··· ,近似值 x1 = 3.1415,x2 = 3.1416 问:x1, x2 分别有几位有效数字? 例:写出下列各数的具有 5 位有效数字的近似值 187.9325,0.03785551,8.000033 187.93,0.037856,8.0000 4,5 注:数字末尾的 0 不可以随意添加或省略! 10 有效数字 思考:设 x* = a1.a2···an10m (a10),且 |x - x*|  0.5  10k 则 x* 有 m+1-k 位有效数字? 11 有效数字 定理:设近似值 x* 可表示为 x* = a1.a2···al 10m (a10), 若 x* 具有 n 位有效数字,则其相对误差限满足 1 r*  2a1  10-(n-1) 反之,若 x* 的相对误差限满足 则 x* 至少有 n 位有效数字。 1 r*  2(a1+1)  10-(n-1) 有效位数越多, 相对误差限越小 (证:自学) 12 误差估计 误差估计:估计误差限和相对误差限 l 记 (x*) 为 x* 的误差限,则有 (x1* x2*)  (x1*) + (x2*) (x1*x2*)  | x2* |(x1*) + | x1* |(x2*) (x1*/x2*)  | x2* |(x1*) + | x1* |(x2*) | x2* |2 13 误差估计 l 设一元函数 f (x) 可微,x*为 x 的近似值,则有 r( f(x*) ) 条件数 记为 Cp 14 误差估计 l 设多元函数 f (x) 可微, x*=(x1*, x2*, , xn*) 为 x = (x1, x2, , xn) 的近似值,则有 ( f(x*) )  15 数值稳定性 误差的传播与积累:原始数据的误差导致最 终结果也有误差的过程称为误差的传播 例:近似计算 ,其中 n=1, 2, ., 8 解: 此公式精确成立 易知 保留 3 位有效数字 16 数值稳定性 可得 但显然有 ? What happened ?! ???? 17 数值稳定性 考察第 n 步的误差 即有 误差以 5 倍的速度增长! 我们需要改变算法! 说明该计算过程是不稳定的! 18 数值稳定性 解法二 : 具体思路:先估计一个 SN ,再反过来求 Sn ( n N ) 在数值计算中,误差不可避免, 算法的稳定性是一个非常重要的性质。 ex11.m 19 数值稳定性 算法的稳定性:在计算过程中,如果误差不增 长,则称该算法是稳定的,否则为不稳定的。 例:教材第 9 页,例 5 20 数值计算注意事项 q 避免相近的数相减 例:a1 = 0.12345,a2 = 0.12346,各有5位有效数字。 而 a2  a1 = 0.00001,只剩下1位有效数字。 l 几种经验性避免误差危害的方法: 当 | x | 1 时: 例:教材第 11 至 12 页,例 7,8,9,10 21 数值计算注意事项 q 避免数量级相差很大的数相除 可能会产生溢出的情形 q 避免大数吃小数 例:按从小到大、以及从大到小的顺序分别计算 S=1 + 2 + 3 + … + 40 + 108 ex12.m 求和时 从小到大 相加,可使结果的误差减小 22 数值计算注意事项 q 简化计算,避免误差积累 q 选用稳定的算法 例:已知 p(x) = xn + xn-1+ ··· + x + 1, 计算 n = 20 时, p(8) 的值。 如果直接代入计算,则需 n(n-1)/2 次乘法和 n 次加法运算 如果将 p(x) 改写为: p(x) = x (x ( ··· (x (x + 1)+1) + ··· + 1) + 1 则只需 n –1次乘法和 n 次加法运算。 秦九韶算法 或 Horner算法 23 作业 n 教材 P 19:1、2、3、5 n 提示 l 1、2、5 题可利用 Taylor 展开或条件数 24
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