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第六章_时间序列计量经济学模型的理论和方法(1)

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计量经济学 (时间序列分析 ) 第六章 时间序列计量经济学模型的理论与方法 §6.1 时间序列的平稳性及其检验 §6.2 协整分析与误差修正模型 §6.1 时间序列的平稳性及其检验 一、问题的引出:非平稳变量与经典回归 模型 二、时间序列数据的平稳性 三、平稳性的图示判断 四、平稳性的单位根检验 五、单整、趋势平稳与差分平稳随机过程 一、问题的引出:非平稳变量与经典 回归模型 ⒈常见的数据类型 到目前为止,经典计量经济模型常用到的数据有: • 时间序列数据(time-series data); • 截面数据(cross-sectional data) • 平行/面板数据(panel data/time-series cross-section data) ★时间序列数据是最常见,也是最常用到的数据。 ⒉经典回归模型与数据的平稳性 • 经典回归分析暗含着一个重要假设:数据是平稳的 。 • 数据非平稳,大样本下的统计推断基础——“一致性 ”要求——被破怀。 • 经典回归分析的假设之一:解释变量X是非随机变 量 • 放宽该假设:X是随机变量,则需进一步要求: (1)X与随机扰动项  不相关∶Cov(X,)=0 依概率收敛 : (2) 第(2)条是为了满足统计推断中大样本下的“一致性” 特性: 第(1)条是OLS估计的需要 ▲如果X是非平稳数据(如表现出向上的趋势), 则(2)不成立,回归估计量不满足“一致性”,基于 大样本的统计推断也就遇到麻烦。 因此 : 注意:在双变量模型中: 表现在:两个本来没有任何因果关系的变量,却 有很高的相关性(有较高的R2): 例如:如果有两列时间序列数据表现出一致的变 化趋势(非平稳的),即使它们没有任何有意义的 关系,但进行回归也可表现出较高的可决系数。 在现实经济生活中: 情况往往是实际的时间序列数据是非平稳的,而 且主要的经济变量如消费、收入、价格往往表现为 一致的上升或下降。这样,仍然通过经典的因果关 系模型进行分析,一般不会得到有意义的结果。 ⒊ 数据非平稳,往往导致出现“虚假回归 ”问题 时间序列分析模型方法就是在这样的情况下, 以通过揭示时间序列自身的变化规律为主线而发 展起来的全新的计量经济学方法论。 时间序列分析已组成现代计量经济学的重要内 容,并广泛应用于经济分析与预测当中。 二、时间序列数据的平稳性 时间序列分析中首先遇到的问题是关于时间序列 数据的平稳性问题。 假定某个时间序列是由某一随机过程(stochastic process)生成的,即假定时间序列{Xt}(t=1, 2, …) 的每一个数值都是从一个概率分布中随机得到,如果 满足下列条件: 1)均值E(Xt)=是与时间t 无关的常数; 2)方差Var(Xt)=2是与时间t 无关的常数; 3)协方差Cov(Xt,Xt+k)=k 是只与时期间隔k有关, 与时间t 无关的常数; 则称该随机时间序列是平稳的(stationary),而该 随机过程是一平稳随机过程(stationary stochastic process)。 例6.1.1.一个最简单的随机时间序列是一具有零 均值同方差的独立分布序列: Xt=t , t~N(0,2) 例6.1.2.另一个简单的随机时间列序被称为随机 游走(random walk),该序列由如下随机过程生成 : Xt=Xt-1+t 这里, t是一个白噪声。 该序列常被称为是一个白噪声(white noise)。 由于Xt具有相同的均值与方差,且协方差为零,由 定义,一个白噪声序列是平稳的。 为了检验该序列是否具有相同的方差,可假设Xt的 初值为X0,则易知 X1=X0+1 X2=X1+2=X0+1+2 … … Xt=X0+1+2+…+t 由于X0为常数,t是一个白噪声,因此Var(Xt)=t2 即Xt的方差与时间t有关而非常数,它是一非平稳序列 。 容易知道该序列有相同的均值:E(Xt)=E(Xt-1) • 然而,对X取一阶差分(first difference): Xt=Xt-Xt-1=t 由于t是一个白噪声,则序列{Xt}是平稳的。 后面将会看到:如果一个时间序列是非平稳的, 它常常可通过取差分的方法而形成平稳序列。 • 事实上,随机游走过程是下面我们称之为1阶自回 归AR(1)过程的特例 Xt=Xt-1+t 不难验证:1)||1时,该随机过程生成的时间序列是 发散的,表现为持续上升(1)或持续下降(0,样本自相关系数近似地服从 以0为均值,1/n 为方差的正态分布,其中n为样 本数。 也可检验对所有k0,自相关系数都为0的联合假 设,这可通过如下QLB统计量进行: 该统计量近似地服从自由度为m的2分 布(m为滞后长度)。 因此:如果计算的Q值大于显著性水平 为的临界值,则有1-的把握拒绝所有 k(k0)同时为0的假设。 例6.1.3: 表6.1.1序列Random1是通过 一随机过程(随机函数)生成的有19个样 本的随机时间序列。 表 6.1.1 一个纯随机序列与随机游走序列的检验 序号 Random1 自相关系数 k r(k=0,1,…17) LB Q Random2 自相关系数 k r(k=0,1,…17) LB Q 1 -0.031 K=0, 1.000 -0.031 1.000 2 0.188 K=1, -0.051 0.059 0.157 0.480 5.116 3 0.108 K=2, -0.393 3.679 0.264 0.018 5.123 4 -0.455 K=3, -0.147 4.216 -0.191 -0.069 5.241 5 -0.426 K=4, 0.280 6.300 -0.616 0.028 5.261 6 0.387 K=5, 0.187 7.297 -0.229 -0.016 5.269 7 -0.156 K=6, -0.363 11.332 -0.385 -0.219 6.745 8 0.204 K=7, -0.148 12.058 -0.181 -0.063 6.876 9 -0.340 K=8, 0.315 15.646 -0.521 0.126 7.454 10 0.157 K=9, 0.194 17.153 -0.364 0.024 7.477 11 0.228 K=10, -0.139 18.010 -0.136 -0.249 10.229 12 -0.315 K=11, -0.297 22.414 -0.451 -0.404 18.389 13 -0.377 K=12, 0.034 22.481 -0.828 -0.284 22.994 14 -0.056 K=13, 0.165 24.288 -0.884 -0.088 23.514 15 0.478 K=14, -0.105 25.162 -0.406 -0.066 23.866 16 0.244 K=15, -0.094 26.036 -0.162 0.037 24.004 17 -0.215 K=16, 0.039 26.240 -0.377 0.105 25.483 18 0.141 K=17, 0.027 26.381 -0.236 0.093 27.198 19 0.236 0.000 • 容易验证:该样本序列的均值为0,方差为0.0789 。 从图形看:它在其样本均值0附近上下波动,且样本自相关 系数迅速下降到0,随后在0附近波动且逐渐收敛于0。 由于该序列由一随机过程生成,可以认为不存 在序列相关性,因此该序列为一白噪声。 • 根据Bartlett的理论:k~N(0,1/19) 因此任一rk(k0)的95%的置信区间都将是 可以看出:k0时,rk的值确实落在了该区间内 ,因此可以接受k(k0)为0的假设。 同样地,从QLB统计量的计算值看,滞后17期的 计算值为26.38,未超过5%显著性水平的临界值 27.58,因此,可以接受所有的自相关系数k(k0) 都为0的假设。 因此,该随机过程是一个平稳过程。 • 序列Random2是由一随机游走过程 Xt=Xt-1+t 生成的一随机游走时间序列样本。 其中,第0项取值为0, t是由Random1表示的白噪声 。 样本自相关系数显示:r1=0.48,落在 了区间[-0.4497, 0.4497]之外,因此在5% 的显著性水平上拒绝1的真值为0的假设。 该随机游走序列是非平稳的。 图形表示出:该序列具有相同的均值, 但从样本自相关图看,虽然自相关系数迅速 下降到0,但随着时间的推移,则在0附近波 动且呈发散趋势。 例6.1.4 检验中国GDP时间序列的平稳性。 表6.1.2 1978~2000年中国GDP(单位:亿元) 年份 GDP 年份 GDP 年份 GDP 19783605.6198610132.8199446690.7 19794073.9198711784199558510.5 19804551.3198814704199668330.4 19814901.4198916466199774894.2 19825489.2199018319.5199879003.3 19836076.3199121280.4199982673.1 19847164.4199225863.6200089112.5 19858792.1199334500.6 • 图形:表现出了一个持续上升的过程, 可初步判断是非平稳的。 • 样本自相关系数:缓慢下降,再次表明 它的非平稳性。 图 6.1.5 1978~2000 年中国 GDP 时间序列及其样本自相关图 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 246810121416182022 GDPACF 0 20000 40000 60000 80000 100000 788082848688909294969800 GDP 拒绝:该时间序列的自相关系数在滞后1 期之后的值全部为0的假设。 结论: 1978~2000年间中国GDP时间序列是非平稳 序列。 •从滞后18期的QLB统计量看: QLB(18)=57.1828.86=20.05 • 例6.1.5 检验§2.3中关于人均居民消费与人 均国内生产总值这两时间序列的平稳性。 原图 样本自相关图 图8.1.6 1981~1996中国居民人均消费与人均GDP时间序列及其样本自相关图 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 8284868890929496 GDPPCCPC -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 12345678910 11 12 13 14 15 GDPPCCPC • 从图形上看:人均居民消费(CPC)与人均国 内生产总值(GDPPC)是非平稳的。 • 从滞后14期的QLB统计量看: CPC与GDPPC序列的统计量计算值均为57.18 ,超过了显著性水平为5%时的临界值23.68。再 次表明它们的非平稳性。 就此来说,运用传统的回归方法建立它们的 回归方程是无实际意义的。 不过,第三节中将看到,如果两个非平稳时 间序列是协整的,则传统的回归结果却是有意义 的,而这两时间序列恰是协整的。 四、平稳性的单位根检验 对时间序列的平稳性除了通过图形直观判断外 ,运用统计量进行统计检验则是更为准确与重要的 。 单位根检验(unit root test)是统计检验中普遍 应用的一种检验方法。 1、DF检验 我们已知道,随机游走序列 Xt=Xt-1+t 是非平稳的,其中t是白噪声。 而该序列可看成是随机模型 Xt=Xt-1+t 中参数=1时的情形。 也就是说,我们对式 Xt=Xt-1+t (*) 做回归,如果确实发现=1,就说随机变量Xt有 一个单位根。 • (*)式可变形式成差分形式: Xt=(-1)Xt-1+ t =Xt-1+  t (**) 检验(*)式是否存在单位根=1,也可通过( **)式判断是否有 =0。 一般地: • 检验一个时间序列Xt的平稳性,可通过检验 带有截距项的一阶自回归模型 Xt=+Xt-1+t (*) 中的参数是否小于1。 或者:检验其等价变形式 Xt=+Xt-1+t (**) 中的参数是否小于0 。 在第二节中将证明,(*)式中的参数1或=1时, 时间序列是非平稳的; 对应于(**)式,则是0或 =0。 • 因此,针对式 Xt=+Xt-1+t 我们关心的检验为:零假设 H0:=0。 备择假设 H1:500-2.58-2.23-1.95-1.61 25-3.75-3.33-3.00-2.62 50-3.58-3.22-2.93-2.60 100-3.51-3.17-2.89-2.58 250-3.46-3.14-2.88-2.57 500-3.44-3.13-2.87-2.57 d t 500-3.43-3.12-2.86-2.57 253.412.972.612.20 503.282.892.562.18 1003.222.862.542.17 2503.192.842.532.16 5003.182.832.522.16 2 a t 5003.182.832.522.16 25-4.38-3.95-3.60-3.24 50-4.15-3.80-3.50-3.18 100-4.04-3.73-3.45-3.15 250-3.99-3.69-3.43-3.13 500-3.98-3.68-3.42-3.13 d t 500-3.96-3.66-3.41-3.12 254.053.593.202.77 503.873.473.142.75 1003.783.423.112.73 2503.743.393.092.73 5003.723.383.082.72 a t 5003.713.383.082.72 253.743.252.852.39 503.603.182.812.38 1003.533.142.792.38 2503.493.122.792.38 5003.483.112.782.38 3 b t 5003.463.112.782.38 同时估计出上述三个模型的适当形式,然后通过 ADF临界值表检验零假设H0:=0。 1)只要其中有一个模型的检验结果拒绝了零假设, 就可以认为时间序列是平稳的; 2)当三个模型的检验结果都不能拒绝零假设时,则 认为时间序列是非平稳的。 这里所谓模型适当的形式就是在每个模型中选取适 当的滞后差分项,以使模型的残差项是一个白噪声 (主要保证不存在自相关)。 一个简单的检验过程: 例6.1.6 检验1978~2000年间中国GDP时间序列的平稳性。 1)经过偿试,模型3取了2阶滞后: 通过拉格朗日乘数检验(Lagrange multiplier test)对随机误 差项的自相关性进行检验: LM(1)=0.92, LM(2)=4.16, 小于5%显著性水平下自由度分别为1与2的2分布的临界值, 可见不存在自相关性,因此该模型的设定是正确的。 从的系数看,t临界值,不能拒绝存在单位根的零假设。 时间T的t统计量小于ADF分布表中的临界值,因此不能拒绝不 存在趋势项的零假设。需进一步检验模型2 。 2)经试验,模型2中滞后项取2阶: LM检验表明模型残差不存在自相关性,因此该模型 的设定是正确的。 从GDPt-1的参数值看,其t统计量为正值,大于临界值 ,不能拒绝存在单位根的零假设。 常数项的t统计量小于AFD分布表中的临界值,不能拒 绝不存常数项的零假设。需进一步检验模型1。 3)经试验,模型1中滞后项取2阶: LM检验表明模型残差项不存在自相关性,因 此模型的设定是正确的。 从GDPt-1的参数值看,其t统计量为正值,大于 临界值,不能拒绝存在单位根的零假设。 • 可断定中国GDP时间序列是非平稳的。 • 例6.1.7 检验§2.3中关于人均居民消费与人均国 内生产总值这两时间序列的平稳性。 1)对中国人均国内生产总值GDPPC来说,经过偿试,三 个模型的适当形式分别为 • 三个模型中参数的估计值的t统计量均大于各 自的临界值,因此不能拒绝存在单位根的零假设。 • 结论:人均国内生产总值(GDPPC)是非平 稳的。 2)对于人均居民消费CPC时间序列来说,三个 模型的适当形式为 • 三个模型中参数CPCt-1的t统计量的值均比ADF 临界值表中各自的临界值大,不能拒绝该时间序 列存在单位根的假设, • 因此,可判断人均居民消费序列CPC是非平稳的 。 五、单整、趋势平稳与差分平稳随机 过程 随机游走序列 Xt=Xt-1+t 经差分后等价地变形为 Xt=t 由于t是一个白噪声,因此差分后的序列{Xt} 是平稳的。 ⒈单整 一般地,如果一个时间序列经过d次差分后变成平稳序列 ,则称原序列是d 阶单整(integrated of d)序列,记为I(d) 。 显然,I(0)代表一平稳时间序列。 现实经济生活中: 1)只有少数经济指标的时间序列表现为平稳的,如利率等; 2)大多数指标的时间序列是非平稳的,如一些价格指数常常 是2阶单整的,以不变价格表示的消费额、收入等常表现为1 阶单整。 大多数非平稳的时间序列一般可通过一次或多次差分的形式 变为平稳的。 但也有一些时间序列,无论经过多少次差分,都不能变为平 稳的。这种序列被称为非单整的(non-integrated)。 如果一个时间序列经过一次差分变成平稳的,就称原 序列是一阶单整(integrated of 1)序列,记为I(1)。 例6.1.8 中国GDP的单整性。 经过试算,发现中国GDP是1阶单整的,适当 的检验模型为 例6.1.9 中国人均居民消费与人均国内生产总值的 单整性。 经过试算,发现中国人均国内生产总值GDPPC是2阶单 整的,适当的检验模型为 同样地,CPC也是2阶单整的,适当的检验模型为 ⒉ 趋势平稳与差分平稳随机过程 前文已指出,一些非平稳的经济时间序列往往表 现出共同的变化趋势,而这些序列间本身不一定有 直接的关联关系,这时对这些数据进行回归,尽管 有较高的R2,但其结果是没有任何实际意义的。这 种现象我们称之为虚假回归或伪回归(spurious regression)。 如:用中国的劳动力时间序列数据与美国GDP 时间序列作回归,会得到较高的R2 ,但不能认为两 者有直接的关联关系,而只不过它们有共同的趋势 罢了,这种回归结果我们认为是虚假的。 为了避免这种虚假回归的产生,通常的做法是引 入作为趋势变量的时间,这种包含有时间趋势变 量的回归,可以消除这种趋势性的影响。 然而这种做法,只有当趋势性变量是确定性的 (deterministic)而非随机性的(stochastic), 才会是有效的。 换言之,如果一个包含有某种确定性趋势的非 平稳时间序列,可以通过引入表示这一确定性趋 势的趋势变量,而将确定性趋势分离出来。 1)如果=1,=0,则(*)式成为一带位移的随机 游走过程: Xt=+Xt-1+t (**) 根据的正负,Xt表现出明显的上升或下降趋势。 这种趋势称为随机性趋势(stochastic trend)。 2)如果=0,0,则(*)式成为一带时间趋势的 随机变化过程: Xt=+t+t (***) 根据的正负,Xt表现出明显的上升或下降趋势。 这种趋势称为确定性趋势(deterministic trend)。 考虑如下的含有一阶自回归的随机过程: Xt=+t+Xt-1+t (*) 其中:t是一白噪声,t为一时间趋势。 3) 如果=1,0,则Xt包含有确定性与随机性 两种趋势。 判断一个非平稳的时间序列,它的趋势是随机性 的还是确定性的,可通过ADF检验中所用的第3个 模型进行。 该模型中已引入了表示确定性趋势的时间变量t, 即分离出了确定性趋势的影响。 因此,(1)如果检验结果表明所给时间序列有单位 根,且时间变量前的参数显著为零,则该序列显 示出随机性趋势; (2)如果没有单位根,且时间变量前的参数 显著地异于零,则该序列显示出确定性趋势。 随机性趋势可通过差分的方法消除 如:对式 Xt=+Xt-1+t 可通过差分变换为 Xt= +t 该时间序列称为差分平稳过程(difference stationary process); 确定性趋势无法通过差分的方法消除,而只能 通过除去趋势项消除, 如:对式 Xt=+t+t 可通过除去t变换为 Xt - t =+t 该时间序列是平稳的,因此称为趋势平稳过程( trend stationary process)。 最后需要说明的是,趋势平稳过程代表了一 个时间序列长期稳定的变化过程,因而用于进行 长期预测则是更为可靠的。 §6.2 协整与误差修正模型 一、长期均衡关系与协整 二、协整检验 三、误差修正模型 一、长期均衡关系与协整 0、问题的提出 • 经典回归模型(classical regression model)是建立在平稳 数据变量基础上的,对于非平稳变量,不能使用经典回归模 型,否则会出现虚假回归等诸多问题。 • 由于许多经济变量是非平稳的,这就给经典的回归分析方 法带来了很大限制。 • 但是,如果变量之间有着长期的稳定关系,即它们之间是 协整的(cointegration),则是可以使用经典回归模型方法建 立回归模型的。 • 例如,中国居民人均消费水平与人均GDP变量的例子中: 因果关系回归模型要比ARMA模型有更好的预测功能, 其原因在于,从经济理论上说,人均GDP决定着居民人均 消费水平,而且它们之间有着长期的稳定关系,即它们之间 是协整的(cointegration)。 经济理论指出,某些经济变量间确实存在着长期 均衡关系,这种均衡关系意味着经济系统不存在破坏 均衡的内在机制,如果变量在某时期受到干扰后偏离 其长期均衡点,则均衡机制将会在下一期进行调整以 使其重新回到均衡状态。 假设X与Y间的长期“均衡关系”由式描述 1、长期均衡 式中:t是随机扰动项。 该均衡关系意味着:给定X的一个值,Y相应的 均衡值也随之确定为0+1X。 如果Yt=0+1Xt+t正确地提示了X与Y间的 长期稳定的“均衡关系”,则意味着Y对其均衡 点的偏离从本质上说是“临时性”的。 因此,一个重要的假设就是:随机扰动项t必 须是平稳序列。 显然,如果t有随机性趋势(上升或下降) ,则会导致Y对其均衡点的任何偏离都会被长期 累积下来而不能被消除。 式Yt=0+1Xt+t中的随机扰动项也被称为非均衡误差 (disequilibrium error),它是变量X与Y的一个线性组合: (* ) 因此,如果Yt=0+1Xt+t式所示的X与Y间的长期均 衡关系正确的话,(*)式表述的非均衡误差应是一平稳时 间序列,并且具有零期望值,即是具有0均值的I(0)序列。 从这里已看到,非平稳的时间序列,它们的线性组合也可 能成为平稳的。 例如:假设Yt=0+1Xt+t式中的X与Y是I(1)序列,如果 该式所表述的它们间的长期均衡关系成立的话,则意味着由 非均衡误差(*)式给出的线性组合是I(0)序列。这时我们称 变量X与Y是协整的(cointegrated)。 如果序列{X1t,X2t,…,Xkt}都是d阶单整,存在向量 =(1,2,…,k),使得 Zt= XT ~ I(d-b) 其中,b0,X=(X1t,X2t,…,Xkt)T,则认为序列{X1t,X2t,…,Xkt} 是(d,b)阶协整,记为Xt~CI(d,b),为协整向量(cointegrated vector)。 ⒉协整 在中国居民人均消费与人均GDP的例中,该两序列都是2阶 单整序列,而且可以证明它们有一个线性组合构成的新序列为0 阶单整序列,于是认为该两序列是(2,2)阶协整。 由此可见:如果两个变量都是单整变量,只有当它们的单整 阶数相同时,才可能协整;如果它们的单整阶数不相同,就不 可能协整。 三个以上的变量,如果具有不同的单整阶数,有可 能经过线性组合构成低阶单整变量。 例如,如果存在: 并且 那么认为 : (d,d)阶协整是一类非常重要的协整关系,它的经济意义 在于:两个变量,虽然它们具有各自的长期波动规律,但 是如果它们是(d,d)阶协整的,则它们之间存在着一个长 期稳定的比例关系。 例如:前面提到的中国CPC和GDPPC,它们各自都是2阶 单整,并且将会看到,它们是(2,2)阶协整,说明它们之间 存在着一个长期稳定的比例关系,从计量经济学模型的意 义上讲,建立如下居民人均消费函数模型 从协整的定义可以看出: 变量选择是合理的,随机误差项一定是“白噪声”(即均 值为0,方差不变的稳定随机序列),模型参数有合理的经 济解释。 这也解释了尽管这两时间序列是非稳定的,但却可以用 经典的回归分析方法建立回归模型的原因。 • 从这里,我们已经初步认识到:检验变 量之间的协整关系,在建立计量经济学模 型中是非常重要的。 而且,从变量之间是否具有协整关系 出发选择模型的变量,其数据基础是牢固 的,其统计性质是优良的。 二、协整检验 1、两变量的Engle-Granger检验 为了检验两变量Yt,Xt是否为协整,Engle和Granger于 1987年提出两步检验法,也称为EG检验。 第一步,用OLS方法估计方程 Yt=0+1Xt+t 并计算非均衡误差,得到: 称为协整回归(cointegrating)或静态回归(static regression) 。 第二步,检验 $ et的单整性。如果 $ et为平稳序列,则认为变量Y X tt , 为(1,1)阶协整;如果 $ e t为1阶单整,则认为变量 Y X tt , 为(2,1)阶协整;…。 的单整性的检验方法仍然是DF检验或者ADF检验。 由于协整回归中已含有截距项,则检验模型中无需 再用截距项。如使用模型1 进行检验时,拒绝零假设H0:=0,意味着误差项et是 平稳序列,从而说明X与Y间是协整的。 需要注意是,这里的DF或ADF检验是针对协整回 归计算出的误差项 而非真正的非均衡误差t进行的 。 而OLS法采用了残差平方和最小原理,因此估计量 是向下偏倚的,这样将导致拒绝零假设的机会比实际 情形大。 于是对et平稳性检验的DF与ADF临界值应该比正常 的DF与ADF临界值还要小。 • MacKinnon(1991)通过模拟试验给出了协整检 验的临界值,表6.2.1是双变量情形下不同样本容 量的临界值。 表6.2.1 双变量协整ADF检验临界值 显 著 性 水 平 样本容量 0.01 0.05 0.10 25 -4.37 -3.59 -3.22 50 -4.12 -3.46 -3.13 100 -4.01 -3.39 -3.09 ∝ -3.90 -3.33 -3.05 • 例6.2.1 检验中国居民人均消费水平CPC与人均国内生 产总值GDPPC的协整关系。 在前文已知CPC与GDPPC都是I(2)序列,而§2.3中已 给出了它们的回归式 R2=0.9981 通过对该式计算的残差序列作ADF检验,得适当检验 模型 (-4.47) (3.93) (3.05) LM(1)=0.00 LM(2)=0.00 t=-4.47-3.75=ADF0.05,拒绝存在单位根的假设,残差项 是平稳的,因此中国居民人均消费水平与人均GDP是(2,2) 阶协整的,说明了该两变量间存在长期稳定的“均衡”关 系。 2、多变量协整关系的检验—扩展的E-G检验 多变量协整关系的检验要比双变量复杂一些,主要在 于协整变量间可能存在多种稳定的线性组合。 假设有4个I(1)变量Z、X、Y、W,它们有如下的长期 均衡关系: (*) 其中,非均衡误差项t应是I(0)序列: (** ) • 然而,如果Z与W,X与Y间分别存在长期均衡关系: 则非均衡误差项v1t、v2t一定是平稳序列I(0)。于是它 们的任意线性组合也是平稳的。例如 (***) 由于vt象(**)式中的t一样,也是Z、X、Y、W 四个变量的线性组合,由此(***)式也成为该四变量的 另一平稳线性组合。 (1, -0,-1,-2,-3)是对应于(**)式的协整 向量,(1,-0-0,-1,1,-1)是对应于(***)式的协 整向量。 一定是I(0)序列。 对于多变量的协整检验过程,基本与双变量情形相同, 即需检验变量是否具有同阶单整性,以及是否存在稳定的线 性组合。 在检验是否存在稳定的线性组合时,需通过设置一个变 量为被解释变量,其他变量为解释变量,进行OLS估计并检 验残差序列是否平稳。 如果不平稳,则需更换被解释变量,进行同样的OLS估计 及相应的残差项检验。 当所有的变量都被作为被解释变量检验之后,仍不能得 到平稳的残差项序列,则认为这些变量间不存在(d,d)阶 协整。 检验程序: 同样地,检验残差项是否平稳的DF与ADF检验临界值 要比通常的DF与ADF检验临界值小,而且该临界值还受 到所检验的变量个数的影响。 表6.2.2给出了MacKinnon(1991)通过模拟试验得到的不 同变量协整检验的临界值。 表6.2.2 多变量协整检验ADF临界值 变量数=3变量数=4变量数=6 样本显著性水平显著性水平显著性水平 容量0.010.050.10.010.050.10.010.050.1 25-4.92-4.1-3.71 -5.43-4.56 -4.15 -6.36-5.41 -4.96 50-4.59 -3.92-3.58 -5.02-4.32 -3.98 -5.78-5.05 -4.69 100-4.44 -3.83-3.51 -4.83-4.21 -3.89 -5.51-4.88 -4.56 ∝-4.30 -3.74-3.45 -4.65-4.1 -3.81 -5.24-4.7 -4.42 2、多变量协整关系的检验—JJ检验 • Johansen于1988年,以及与Juselius于1990年提出 了一种用极大或然法进行检验的方法,通常称为JJ 检验。 • 《高等计量经济学》(清华大学出版社,2000年9 月)P279-282. • Eviews中有JJ检验的功能。 三、误差修正模型 前文已经提到,对于非稳定时间序列,可通过差分的方 法将其化为稳定序列,然后才可建立经典的回归分析模型。 如:建立人均消费水平(Y)与人均可支配收入(X) 之间的回归模型: 1、误差修正模型 式中, vt= t- t-1 差分 X,Y 成为 平稳 序列 建立差分回归模型 如果Y与X 具有共同的 向上或向下 的变化趋势 (1)如果X与Y间存在着长期稳定的均衡关系 Yt=0+1Xt+t 且误差项t不存在序列相关,则差分式 Yt=1Xt+t 中的t是一个一阶移动平均时间序列,因而是序列相关的; 然而,这种做法会引起两个问题: (2)如果采用差分形式进行估计,则关于变量水平值的重要 信息将被忽略,这时模型只表达了X与Y间的短期关系,而没 有揭示它们间的长期关系。 因为,从长期均衡的观点看,Y在第t期的变化不仅取决于 X本身的变化,还取决于X与Y在t-1期末的状态,尤其是X与Y 在t-1期的不平衡程度。 另外,使用差分变量也往往会得出不能令人满意回归方程。 例如,使用Yt=1Xt+t回归时,很少出现截距项显著 为零的情况,即我们常常会得到如下形式的方程: 在X保持不变时,如果模型存在静态均衡(static equilibrium),Y也会保持它的长期均衡值不变。 但如果使用(*)式,即使X保持不变,Y也会处于长期 上升或下降的过程中(Why?),这意味着X与Y间不存在静态 均衡。 这与大多数具有静态均衡的经济理论假说不相符。 可见,简单差分不一定能解决非平稳时间序列所遇到的 全部问题,因此,误差修正模型便应运而生。 (*) 误差修正模型(Error Correction Model,简记为ECM )是一种具有特定形式的计量经济学模型,它的主要形式是 由Davidson、 Hendry、Srba和Yeo于1978年提出的,称为 DHSY模型。 为了便于理解,我们通过一个具体的模型来介绍它的结构 。 假设两变量X与Y的长期均衡关系为: Yt=0+1Xt+t 由于现实经济中X与Y很少处在均衡点上,因此实际观测到的 只是X与Y间的短期的或非均衡的关系,假设具有如下(1,1)阶 分布滞后形式 该模型显示出第t期的Y值,不仅与X的变化有关,而且与t -1期X与Y的状态值有关。 由于变量可能是非平稳的,因此不能直接运用OLS法。 对上述分布滞后模型适当变形得 或 式中 , (**) 如果将(**)中的参数,与Yt=0+1Xt+t中的相应参 数视为相等,则(**)式中括号内的项就是t-1期的非均衡 误差项。 (**)式表明:Y的变化决定于X的变化以及前一时期的 非均衡程度。同时,(**)式也弥补了简单差分模型 Yt=1Xt+t的不足,因为该式含有用X、Y水平值表示的 前期非均衡程度。因此,Y的值已对前期的非均衡程度作出 了修正。 称为一阶误差修正模型(first-order error correction model) 。 (**)式可以写成: (**) 知,一般情况下||1 ,由关系式=1-得01。可以据 此分析ecm的修正作用: (*** )其中:ecm表示误差修正项。由分布滞后模型 (1)若(t-1)时刻Y大于其长期均衡解0+1X,ecm为正,则 (-ecm)为负,使得Yt减少; (2)若(t-1)时刻Y小于其长期均衡解0+1X ,ecm为负, 则(-ecm)为正,使得Yt增大。 (***)体现了长期非均衡误差对的控制。 其主要原因在于变量对数的差分近似地等于该变量 的变化率,而经济变量的变化率常常是稳定序列,因此 适合于包含在经典回归方程中。 需要注意的是:在实际分析中,变量常以对 数的形式出现。 于是:(1)长期均衡模型 Yt=0+1Xt+t 中的1可视为Y关于X的长期弹性(long-run elasticity) (2)短期非均衡模型 Yt=0+1Xt+2Xt-1+Yt-1+t 中的1可视为Y关于X的短期弹性(short-run elasticity)。 如具有季度数据的变量,可在短期非均衡模型 Yt=0+1Xt+2Xt-1+Yt-1+t 中引入更多的滞后项。 更复杂的误差修正模型可依照一阶误差修正模型类 似地建立。 引入二阶滞后的模型为 经过适当的衡等变形,可得如下二阶误差修正模型 (*) 引入三阶滞后项的误差修正模型与(*)式相仿,只 不过模型中多出差分滞后项Yt-2,Xt-2,。 (1)Granger 表述定理 误差修正模型有许多明显的优点:如 a)一阶差分项的使用消除了变量可能存在的趋势因 素,从而避免了虚假回归问题; b)一阶差分项的使用也消除模型可能存在的多重共 线性问题; c)误差修正项的引入保证了变量水平值的信息没有 被忽视; d)由于误差修正项本身的平稳性,使得该模型可以 用经典的回归方法进行估计,尤其是模型中差分项可以 使用通常的t检验与F检验来进行选取;等等。 因此,一个重要的问题就是:是否变量间的关系都可 以通过误差修正模型来表述? 2、误差修正模型的建立 如果变量X与Y是协整的,则它们间的短期非均衡关系 总能由一个误差修正模型表述: 01 (*) 式中,t-1是非均
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本文标题:第六章_时间序列计量经济学模型的理论和方法(1)
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