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不等关系与不等式.ppt

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3.1不等关系与不等式 • • 第一课时 • 1.理解现实生活中的不等关系 • 2.用不等式(组)表示不等关系 • 3.会比较两个代数式的大小 问题提出 1.在数学中,表示等量关系的式子叫做 等式,那么“不等式”的含义如何理解 ? 表示不等关系的式子叫做不等式. 长 短 大 小 轻 重 高 矮 问题情境 现实世界和日常生活中,既有相等关系,又 存在着大量的不等关系。例如, 不等关系是两个量不相等的一种关系 例如: 1、a与b的和是非负数; 2、某公路立交桥对通过车辆的高度h“限高 4m” 想一想,你还能举出哪 些相似的例子? ,这样的一些符号来表示。在 数学中,我们常用不等式来表示不等关系。那 么同学们,你能不能用这些符号把下述关系表 示出来呢? <,>, ≤, ≥,≠ 现实生活中的这些不等关系我们常用 知识探究(一):用不等式表示不等关系 思考1:限速40km/h的路标,指示司机在 前方路段行使时,应使汽车的速度v不超 过40km/h.怎样用不等式表示这里的不等 关系? 0<v≤40 这是某酸奶的质量检查规定 脂肪含量(f)蛋白质质含量(p) 不少于2.5%不少于2.3% 用数学关系来反映就是 f≥2.5% p≥2.3%. 思考2 : 从表格中你能获得什么信息? 思考3:设点A与平面α的距离为d,B为 平面α上的任意一点,则d与|AB|的大小 关系怎样表示? d≤|AB| A B d 思考4:某种杂志原以每本2.5元的价格销售 ,可以售出8万本。据市场调查,若单价每提 高0.1元销售量就可能相应减少2000本。若把 提价后杂志的定价设为x元,怎样用不等式表 示销售的总收入仍不低于20万元呢? 分析:若杂志的定价为x元,则销售量减少: 因此,销售总收入为: 用不等式表示为: 思考5:某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管 截成500mm和600mm的两种规格。按照生 产的要求,600mm的钢管的数量不能超过 500mm钢管的3倍。怎样写出满足上述所有 不等关系的不等式呢? 分析:假设截得500mm的钢管x根,截得 600mm的钢管y根。根据题意,应当有什么 样的不等关系呢? (3)截得两种钢管的数量都不能为负。 (2)截得600mm钢管的数量不能超过500mm 的钢管数量的3倍; (1)截得两种钢管的总长度不能超过4000mm; 上面三个不等关系,是“且”的关系,要同时 满足的话,可以用下面的不等式组来表示: 考虑到实际问题的意义,还应有x,y∈N x,y∈N 练习1:若需在长为4000mm圆钢上,截出长 为698mm和518mm的两种毛坯,问怎样写 出满足上述所有不等关系的不等式组? 分析: 设698mm与 518mm的毛 坯分别x个与 y个 练习2:某用户计划购买单价分别为60元 、70元的单片软件和盒装磁盘,使用资 金不超过500元,根据需要,软件至少买 3片,磁盘至少买2盒,用不等式组表示 软件数x与磁盘数y应满足的条件. 知识探究(二):比较实数大小的基本原理 思考1:实数可以比较大小,对于两个实 数a,b,其大小关系有哪几种可能? a>b,a=b,a<b. 思考2:任何一个实数都对应数轴上的一 个点,那么大数与小数所对应的点的相 对位置关系如何? 大数对应的点位于小数对应的点的右边 思考3:如果两个实数的差是正数,那 么这两个实数的大小关系如何?反之成 立吗?如何用数学语言描述这个原理? a-b>0 a>b 思考4:如果两个实数的差等于零,那么 这两个实数的大小关系如何?反之成立 吗?如何用数学语言描述这个原理? a-b=0 a=b 思考5:如果两个实数的差是负数,那么 这两个实数的大小关系如何?反之成立 吗?如何用数学语言描述这个原理? a-b<0 a<b • 上面的符号 表示“等价于”, 即可以互相推出。从上面性质 可知,要比较两个实数的大小 ,可以考察这两个实数的差。 这是我们研究不等关系的一个 出发点。 例: 比较下列两组代数式的大小: (1)x2+3与3x; (2) x6+1与x4+x2; (3) 练习:比较下列各组中两个代数式的大小 (1) 与 (2) 与 (3)当 时, 与 (4) 与 小结作业 1.用不等式表示不等关系是一种数学建 模,准确理解题意,设定字母表示相关 数量,是正确建模的关键.对具有多个不 等关系的实际问题,要用不等式组来表 示. 2.两个实数的差的符号能反映这两个实 数的大小关系,这是确定两个实数大小 关系的基本原理,同时也是发掘不等式 性质的理论依据. 3.用“作差法”比较两个代数式的大小 ,一般分三步进行:作差→变形→判断 符号. 其中变形的目的在于判断差式的 符号,常用的变形手段有因式分解、配 方等. 作业: P74练习:1,2. P75习题3.1B组:1.
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