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材料力学第六章简单的超静定问题

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材料力学第六章简单的超静定问题 材料力学第六章简单超静定问题 第六章 简单的超静定问题 材料力学简单的超静定问题 材料力学第6章 简单的超静定问题 第6章 简单的超静定问题 第6章 简单超静定问题
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§6-1 超静定问题 约束反力 可由静力平衡 方程全部求得 静定结构: 约束反力不能全 部由平衡方程求得 超静定结构:结构的强度和刚度均得到提高 超静定次数: 约束反力多于 独立平衡方程的数 独立平衡方程数: 平面任意力系: 3个平衡方程 平面共点力系: 2个平衡方程 平面平行力系:2个平衡方程共线力系:1个平衡方程 C' 变形图精确画法,图中弧线; 求各杆的变形量△Li ,如图; 变形图近似画法,图中弧之切线。 一、小变形放大图与位移的求法。 AB C L1 L2 P C“ AB长2m, 面积为200mm2。AC面积为250mm2。 E=200GPa。F=10kN。试求节点A的位移。 解:1、计算轴力。(设斜杆为1杆,水 平杆为2杆)取节点A为研究对象 2、根据胡克定律计算杆的变形。 A F 300 斜杆伸长 水平杆缩短 例例 1 1 3、节点A的位移(以切代弧) A F 300 图所示结构,刚性横梁AB由斜杆CD吊在水 平位置上,斜杆CD的抗拉刚度为EA,B点 处受荷载F作用,试求B点的位移δB。 例例 2 2  A D F B α a L/2L/2 B1 1、列出独立的平衡方程 超静定结构的求解方法: 2、变形几何关系 3、物理关系 4、补充方程 5、求解方程组得 二、拉压超静定问题解法 平衡方程; 几何方程——变形协调方程; 物理方程——弹性定律; 补充方程:由几何方程和物理方程得; 解由平衡方程和补充方程组成的方程组。 超静定问题的方法步骤: 例题3 变形协调关系: 物理关系: 平衡方程:解: (1) 补充方程: (2) 木制短柱的四角用四个40mm×40mm×4mm的等边角钢加固 , 已知角钢的许用应力[σst]=160MPa,Est=200GPa;木材的 许用应力[σW]=12MPa,EW=10GPa,求许可载荷F。 250 250 代入数据,得 根据角钢许用应力,确定F 根据木柱许用应力,确定F 许可载荷 250 250 查表知40mm×40mm×4mm等边角钢 故 例4 AB为刚性梁, 1、2两杆的横 截面面积相等 。求1、2两杆 的内力。 解 由平衡方程得由平衡方程得 3 3P-2NP-2N 2 2 coscosa a-N-N 1 1 ==0 0 由变形协调条件得由变形协调条件得 = = DDl l 1 1 Dl2 cosa 由物理关系由物理关系 D Dl l1 1 = = N1l EA D Dl l2 2 = = N2l EAcosa 3 3P-2NP-2N 2 2 coscosa a-N-N 1 1 ==0 0 = = DDl l 1 1 Dl2 cosa N N1 1 = = 3P 4cos3a+1 所以所以 N2l EAcos2a = 2= 2 N1l EA 最后解得最后解得 N N2 2 = = 6Pcos2a 4cos3a+1 列静力平衡方程 变形协调方程 图示刚性梁AB受均布载荷作用,梁在A端铰支,在B点和C点由 两根钢杆BD和CE支承。已知钢杆的横截面面积ADB=200mm2, ACE=400mm2,其许用应力[σ]=170MPa,试校核钢杆的强度。 2m1m 1.8L L 2m1m 例例 5 5 3杆材料相同,AB杆面积为200mm2,AC 杆面积为300 mm2,AD杆面积为400 mm2 ,若F=30kN,试计算各杆的应力。 列出平衡方程: 即: 列出变形几何关系 ,则AB、AD杆长为解:设AC杆杆长为 F F 例题6 即: 列出变形几何关系 F F 将A点的位移分量向各杆投影.得 变形关系为 代入物理关系 整理得 F F 联立①②③,解得: (压) (拉) (拉) 二、装配应力 • 由于加工时的尺寸误差,造成装配后的结构 存在应力,称装配应力。装配应力仅存在于 静不定结构中。 A BC 1 2 A1 例7 吊桥链条的一节由三根长为 l 的钢 杆组成。截面积相同,材料相同 ,中间一节短于名义长度。加工 误差为d=l/2000,求装配应力。 由平衡方程得由平衡方程得 2 2N N 1 1 =N=N 2 2 由位移协调方程得由位移协调方程得 D Dl l 1 1 + + D Dl l 2 2 ==d d D Dl l1 1 = = N1l1 E1A1 D Dl l2 2 = = N2l2 E2A2 由由 N N1 1 = = EA 6000 N N2 2 = = EA 3000 N N1 1 +N +N 2 2 = = EA 2000 得得 最后得最后得 s s 1 1 = =33.3MPa33.3MPa s s 2 2 = =66.7MPa66.7MPa • 三、温度应力 工作在温度变化范围较大的构件,由于温度变化而 引起杆件内的应力,称温度应力。温度应力也仅存在 于静不定结构中。 – 发电机输热管道 – 化工管道 – 桥梁 – 裸露的输气管及水管 A BC 1 2 由平衡方程得由平衡方程得 R RA A == R R B B 由温度引起的由温度引起的 伸长为伸长为 D Dl lT T == aDaDT·lT·l 由于基座的约束,由于基座的约束,ABAB杆其实并无伸长杆其实并无伸长 D Dl lT T == D Dl l s s 温度应力的解法 D Dl l s s == RBl EA 可解得可解得 aDaDT·lT·l = = RBl EA RB = = EA aDaDT Ts = s = E aDaDT T 碳钢的温度应力 碳钢的a=12.5x10-6/C,E=200GPa。 sT = E aDaDT T =12.5x10-6x200x103DT=2.5DT (MPa) 当DT=80 C时, sT高达200MPa,而低碳钢的 ss仅235MPa,许用应力[s]通常仅120MPa 。 所以应力是非常大的。 伸缩节 波纹管伸缩节波纹管伸缩节 伸缩缝 火车钢轨伸缩缝火车钢轨伸缩缝 梳状伸缩缝梳状伸缩缝叠合伸缩缝叠合伸缩缝 aaaa N1 N2 例8 如图,阶梯钢杆的上下两端在T1=5℃ 时被固定,杆的上下两段的面积分别 =cm2 , =cm2,当温度升至T2 =25℃时,求各杆的温度应力。 (线膨胀系数 =12.5× ; 弹性模量E=200GPa) 、几何方程: 解:、平衡方程: 、物理方程 解平衡方程和补充方程,得: 、补充方程 、温度应力 aa N1 N2 6-3、扭转超静定问题 解扭转超静定问题的方法步骤: 平衡方程; 几何方程——变形协调方程; 补充方程:由几何方程和物理方程得到; 物理方程; 解由平衡方程和补充方程组成的方程组。 例题9 一组合杆由实心杆1和空心管2结合在一起所组成,杆和 管的材料相同。剪切模量为G, 试求组合杆承受外力偶矩M以 后,杆和管内的最大切应力。 1 2 T 1 2 解: (1)静力学关系 (2)变形协调条件 扭转的静不定问题 (3)物理关系: (4)代入变形协调方程,得补充方程 (5)补充方程与静力平衡方程联立,解得 (6)最大切应力 杆1: 管2: [例10]长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用, 如图,若杆的内外径之比为 =0.8 ,外径 D=0.0226m , G=80GPa,试求固定端的反力偶。 解: ①杆的受力图如图示, 这是一次超静定问题。 平衡方程为: ②几何方程——变形协调方程 ③ 综合物理方程与几何方程,得补充方程: ④ 由平衡方程和补充方程得: §6-4 简单超静定梁 处理方法:平衡方程、变形协调方 程、物理方程,求全部未知力。 解:建立基本静定系 确定超静定次数,用反力 代替多余约束所得到的结构— —基本静定系。 = q L A B L q MA B A q L RB A B x 几何方程——变形协调方程 + q L RB A B = RB A B q A B 物理方程——变形与力的关系 补充方程 求解其它问题(反力、应力 、变形等) q L A B [例11] 画梁的剪力图和弯矩图 = q L A B L q MA B A x 几何方程——变形协调方程 另解 即 得 图示梁,A处为固定铰链支座,B,C二处为辊轴支座.梁作用有均布荷载.已 知:均布荷载集度q=15N/m,L=4m,梁圆截面直径d=100mm,[σ]=100MPa. 试校核该梁的强度. 例题例题 1212 列静力平衡方程 变形协调方程 例题例题 1313 试求图示梁的支反力 在小变形条件下,B点轴向力较小可忽略不 计,所以为一次超静定. 例题例题 1414 结构如图示,设梁AB和CD的弯曲刚度EIz相同. 拉杆BC的拉压刚度EA为已知,求拉杆BC的轴力. 将杆CB移除,则AB,CD均为静定结构, 杆CB的未知轴力FN作用在AB,CD梁上。为1 次超静定。
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