• / 35
  • 下载费用:10 金币  

北京航空航天大学线性代数课件第一章行列式的展开

关 键 词:
北京航空航天大学线性代数课件 北京航空航天大学 线性代数课件第一章行列式 线性代数课件第一章 航空航天大学 航空航天大学的 线性代数行列式展开 大学线性代数课件 第一章行列式
资源描述:
线性代数 朱立永 北京航空航天大学 数学与系统科学学院 答疑时间:星期二晚上18:00-20:30 星期四晚上18:00-20:30 答疑地点:J4-102 线性代数 上课时间与地点 • 周一第7、8节(1-16周,单周),J3-311 • 周五第5、6节(1-16周),J3-310 下周一(3月25日)第7、8节,J3-105, 补课一次 线性代数 §1.1 n阶行列式 §1.2 行列式的性质 §1.3 行列式的展开与计算 §1.4 克莱姆(Cramer)法则 §1.5 数域 本章的主要内容 线性代数 §1.3 行列式的展开与计算 •一般来讲,高阶行列式计算麻烦,而低阶行列式计 算起来简单. •这一节介绍把高阶行列式转化为低阶行列式的方 法. 1.3.2 拉普拉斯(Laplace)定理 1.3.1 行列式按一行(或一列)展开 线性代数 1.3.1 行列式按一行(或一列)展开 定义1.3.1 在n阶行列式 D=|aij|n中,划掉元素 aij 所在的第 i行和第 j列后,留下的元素按照原来的 顺序组成的 n-1阶行列式称为元素 aij的余子式, 记为 Mij.称 为元素 aij的代数余子式. 线性代数 中元素 a23的代数余子式 元素a23的代数余子式是 例如 四阶行列式 线性代数 定理1.3.1 n阶行列式 D=|aij|n等于它的任意一行(列) 的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即 或 定理1.3.1 表明:行列式可以按它的任一行(列)展开, 这样就可把一个行列式用较低阶的行列式表示出来. 线性代数 (1) 首先讨论行列式D的第一行中除 a11≠0外, 其余 元素均为零的情形,即 按行列式的定义 证 定理分三步证明. 线性代数 线性代数 (2) 其次讨论行列式D中第 i行元素除 aij ≠0 外,其余元素均为零的情形 即 线性代数 先将D的第 i行依次与第 i-1,…,2,1各行作 i-1次相邻 对换调到第一行,再将第 j列依次与j-1,…,2,1各列作 j-1次相邻对换调到第一列,这样对 D共进行了 i+j-2 次对换,由行列式的性质3及情形(1), 线性代数 (3) 一般情形,把D写为 由行列式的性质4及情形(2), 线性代数 线性代数 定理1.3.2 n阶行列式D=|aij|n中某一行(列)的各个元素 与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等 于0.即 线性代数 证 ===== 两边行列式都按第i行展开,得 线性代数 移项化简,得 同理可证另一式. 证毕. 把定理1.3.1与1.3.2结合起来,得到两个重要公式: 线性代数 •上面定理提供的降阶法:通常要计算多个降阶行 列式,计算量仍然比较大。 •在应用这个方法时,通常先利用行列式的性质,使 行列式中某行(或列)的元素尽可能多的化为零,然 后再利用降阶法。 线性代数 例1.3.1 计算行列式 线性代数 例1.3.2 计算n+1阶行列式 ,其中 线性代数 例1.3.3 计算n阶行列式 解 按第1列展开 线性代数 线性代数 由于对于n2,Dn=xDn-1+an都成立,从而 因为D1=a1+x, 于是 线性代数 在上例中,我们把行列式的计算化为形式相同而阶 数较低的行列式的计算,这种方法称为递推法, 关系 式Dn=xDn-1+an称为行列式的递推公式. 下面我们介绍另外一种行列式的计算方法—数学归 纳法. 线性代数 证明:对Vn的阶数 n作数学归纳法. 当n=2时, 例1.3.4 证明 n阶范德蒙(Vandermonde)行列式 结论成立。 线性代数 假设对n-1阶范德蒙行列式结论成立,考虑 n阶 范德蒙行列式. 从第 n行起,每行减去前一行的 a1 倍,得到 按第一列展开后,将每一列的公因子 提 出来, 得到 线性代数 上式右端是一个n-1阶范德蒙行列式, 由归纳假设得 因此,对 n阶范德蒙行列式结论成立。 线性代数 1.3.2 拉普拉斯(Laplace)定理 推广:行列式按若干行(或若干列)展开的计算 方法。 线性代数 定义1.3.2 在n阶行列式D中,任取k行、k列(1k n -1),由这些行和列交叉处的元素按原相对位置所 构成的k阶行列式N,称为D的一个k阶子式. •在行列式D中去掉k阶子式N所在的行和列以后 ,剩下的元素按原来的顺序构成的nk阶行列式 M,称为N的余子式. •若N所在的行序数为i1,i2,…,ik,所在的列序数为 j1,j2,…,jk ,则称 为N的代数余子式. 线性代数 例如,在4阶行列式 中选取第1,4行,第2,3列,得到一个2阶子式 线性代数 N的余子式为 N的代数余子式为 线性代数 定理1.3.3 (拉普拉斯(Laplace)定理) 在 n 阶行列式 D 中任意选取k行(列) (1 k  n-1) , 则由这 k个 行(列 )中的一切 k 阶子式 N1,N2,…,Nt与它们所对应的 代数余子式 A1,A2,…,At乘积之和等于D,即 定理的证明从略,有兴趣的同学可参考文献 [1]:北京大学数学系几何与代数教研室代数小组, 高等数学,2版,北京:高等教育出版社,1988. 线性代数 例1.3.5 计算五阶行列式 线性代数 例1.3.6 计算2n阶行列式 解: 由于D的左下角的 n2个元素全为零,故可 选取 D的前 n列展开. 由这 n列构成的所有 n阶 子式中, 只有左上角的一个可能不为零,于是由 拉普拉斯定理, 线性代数 线性代数 作业 • Page 7 习题1.3:1. (1)、(2)、(5); 2. (2); 3.
展开阅读全文
  麦档网所有资源均是用户自行上传分享,仅供网友学习交流,未经上传用户书面授权,请勿作他用。
0条评论

还可以输入200字符

暂无评论,赶快抢占沙发吧。

关于本文
本文标题:北京航空航天大学线性代数课件第一章行列式的展开
链接地址:https://www.maidoc.com/p-15673864.html
关于我们 - 网站声明 - 网站地图 - 资源地图 - 友情链接 - 网站客服 - 联系我们

[email protected] 2018-2020 maidoc.com版权所有  文库上传用户QQ群:3303921 

麦档网为“文档C2C模式”,即用户上传的文档所得金币直接给(下载)用户,本站只是中间服务平台,本站所有文档下载所得的金币归上传人(含作者)所有。
备案号:蜀ICP备17040478号-3  
川公网安备:51019002001290号 

本站提供办公文档学习资料考试资料文档下载


收起
展开