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第7章_常微分方程初值问题数值解法

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第7章 常微分方程初值问题的数值解法 7.1 引言 7.2 尤拉方法 7.3 龙格—库塔法 7.4 收敛性和稳定性 7.1 引 言 ODE的求解: 分离变量法、齐次方程的求解、可降阶高阶微分方程 求解——特殊类型的微分方程。 微分方程的近似解法: (1) 近似解析法:逐次逼近法、级数解法 (2) 数值解法:求离散点上的近似值。 (1) 定解问题:微分方程+定解条件(初值条件、边界 条件) (2) 分别称为初值问题和边值问题。 微分方程离散化常用方法 7.2 尤拉方法 用分段的折线逼近函数,此为“折线法”而非“切线法” ,除第一个点是曲线上的切线,其它都不是。 (2)梯形公式 2. Euler方法的截断误差 3. 改进的尤拉方法 梯形公式虽然提高了精度,但算法复杂。而在实际计 算中只迭代一次,这样建立的预测—校正系统称作改 进的尤拉公式。 7.3 龙格-库塔(R-K)法  考察改进的尤拉法,可以将其改写为: 尤拉法 局部截断误差O(h2) 局部截断误差O(h3) 增加计算f(x,y)在不同点的 值,能否提高局部截断误差的阶? 启示 如果在区间内多取几个点的斜率值,然后把它们的线性组合作为平均斜率 的近似值,则有可能构造出更高精度的计算公式,这就是龙格-库塔法的基 本思想 二阶龙格-库塔公式 (7-10) 选取适当的 选取过程 将满足条件(7-11)式到一簇公式(7-10) 统称为二阶龙格-库塔公式 这里有3个未知数 ,2 个方程。 存在无穷多个解 7-11 同理可得三阶龙格-库塔公式 局部截断误差o(h4) 四阶龙格-库塔公式 局部截断误差o(h5) 由 例题 基点改进尤拉法龙格-库塔法精确解 0111 0.21.1840961.1832291.183216 0.41.3433601.3416671.341641 这样继续下去,计算结果列于表 步长的自动选择 单从第一步看,步长h越小,局部截断误差就越小; 但随着h的缩小,不但引起计算量的增加, 而且也引起舍入误差的严重积累。 所以选取合适的步长h在实际计算中是很重要的。 7.4收敛性与稳定性 稳定性 例题 例题
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