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北师大版九上1.4角平分线(1)性质定理与逆定理

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九年级数学(上册)第一章 证明(二) 4.角平分线(1) 性质定理与逆定理 阳泉市义井中学 高铁牛 驶向胜利 的彼岸 角平分线 w你还能利用折纸的方法得到角平分线及角平分线上的点吗? 回顾 思考 已知:如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点 ,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E. 求证:PD=PE. 而△OPD≌△OPB的条件由已 知易知它满足公理(AAS). 故结论可证. 老师期望:你能写出规范的证明过程. 分析:要证明PD=PE,只要证明 它们所在的△OPD≌△OPB, w你还记得角平分线上的点有什么性质吗? w角平分线上的点到这个角的两边距离相等. w你能证明这一结论吗? O C B 1 A 2 P D E 驶向胜利 的彼岸 几何的三种语言 w定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等. 老师提示:这个结论是经常用来 证明两条线段相等的根据之一. 开启 智慧 w如图, w∵OC是∠AOB的平分线,P是OC 上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB, 垂足分别是D,E(已知) ∴PD=PE(角平分线上的点到这 个角的两边距离相等). O C B 1 A 2 P D E 进步的标志 ′ 驶向胜利 的彼岸 思考分析 w你能写出“定理 角平分线上的点到 这个角的两边距离相等”的逆命题吗 ? w逆命题 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的 点,在这个角的平分线上. w它是真命题吗? 如果是.请你证明它. 已知:如图,PA=PB, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E. 求证:点P在∠AOB的平分线上. 分析:要证明点P在∠AOB的平分线上,可 以先作出过点P的射线OC,然后证明 ∠1=∠2. 老师期望: 你能写出规范的证明过程. O C B 1 A 2 P D E 驶向胜利 的彼岸 逆定理 我能行 1 1 w逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的 点,在这个角的平分线上. w如图, w∵PA=PB, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足 分别是D,E(已知), w∴点P在∠AOB的平分线上.(在一 个角的内部,且到角的两边距离相 等的点,在这个角的平分线上). 老师提示:这个结论又是经常用 来证明点在直线上(或直线经过某一 点)的根据之一. 从这个结果出发,你还能联想到什么? O C B 1 A 2 P D E 驶向胜利 的彼岸 尺规作图 做一做 1 1 l已知:∠AOB,如图. l求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC. l作法: l用尺规作角的平分线. l1.在OAT和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE. l2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长 为半径作弧,两弧在 ∠AOB内交于点C l3.作射线OC. 请你说明OC为什么是∠AOB的平分线,并与同伴进行交流. 老师提示: 作角平分线是最基本的尺规作图,这种方法 要确实掌握. A B O C l则射线OC就是∠AOB的平分线. D E 挑战自我 随堂练习 1 1 驶向胜利 的彼岸 l如图,AD,AE分别是△ABC中∠A的内角平分线外角平 分线,它们有什么关系? 老师期望: 你能说出结论并能证明它. E D AB C F 梦想成真 随堂练习 2 2 2.如图,一目标在A区,到期公路,铁路距离相等,离公 路与铁路的交叉处500m.在图上标出它的位置(比例 尺 1:20 000). A区 回味无穷 w定理 角平分线上的点到这个角的两边 距离相等. w∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一 点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已 知) ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边 距离相等). w逆定理 在一个角的内部,且到角的两 边距离相等的点,在这个角的平分线上 . w∵PA=PB, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是 D,E(已知), w∴点P在∠AOB的平分线上.(在一个角 的内部,且到角的两边距离相等的点, 在这个角的平分线上). w用尺规作角的平分线. w邻补角的角平分线之间的关系. w如 小结 拓展 O C B 1 A 2 P D E 知识的升华 独立 作业 P9习题1.8 1,2,3题. 祝你成功! 习题1.8 独立作业 1 1 驶向胜利 的彼岸 w1.利用尺规作出三角形三个内角的平分线. w老师期望: w先分别作出不同形状的三角形,再按要求去作图. w你发现了什么? 习题1.8 独立作业 2 2 驶向胜利 的彼岸 w2. 如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到∠AOB 的两边的距离相等. 老师期望: 养成用数学解释生活的习惯. C● D● A B O 习题1.8 独立作业 3 3 驶向胜利 的彼岸 w3.已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且 BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F. w求证:EB=FC. 老师期望: 做完题目后,一定要“悟”到点东 西,纳入到自己的认知结构中去. B A E D C F 结束寄语 •严格性之于数学家,犹如道德之 于人. •证明的规范性在于:条理清晰 ,因果相应,言必有据.这是初 学证明者谨记和遵循的原则. 下课了!
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