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清华大学电磁学(7)

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清华大学电磁学 清华大学电磁学7
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2005年春季学期 陈信义编 第3章 电势 电磁学(第三册) 1 目 录 【演示实验】高压带电操作、电容器储能 §3.1 静电场的保守性 §3.3 电势叠加原理 §3.2 电势差和电势 §3.4 电势梯度 §3.5 电荷在外场中的静电势能 §3.6 电荷系的静电能 §3.7 静电场的能量 补充:静电场环路定理的微分形式 2 §3.1 静电场的保守性 一、静电场是保守场 1、点电荷的静电场是保守场 单位正电荷沿任意路径由点ab,电 场力作的功只与起、终点位置有关,与 移动的路径无关。 有心力场 3 L 4 2、任意电荷体系的静电场是保守场 电荷体系由点电荷组成—场叠加原理 路径无关 路径无关 — 保守性的表述二、静电场的环路定理 静电场强沿任意闭合路径的积分等于零 L 5 二、高斯定理与环路定理完备描述静电场 (对任意电场都成立) (只对静电场成立) 【思考】匀速运动电荷 的电场是静电场吗? v + Q 所以不是静电场! 环路积分不为零, 6 §3.2 电势差和电势 静电场是保守场—定义电势差 一、电势差 电势的减少=电场力作的功 单位正电荷的电势能的差。 把单位正电荷由点ab电场力作的功。 7 二、电势 —把单位正电荷自该点移到电势零点,电 场力作的功。 把单位正电荷自电势零点移到该点—外 力作的功。 选 p0 点为电势零点: ,则 p点电势 8 m电荷分布在有限范围—选无穷远为电势零点 通常选地球为无穷远电势零点。 m电荷分布到无限远时,电势零点不能选在无 限远。 电势零点的选择: 【演示实验】高压带电操作 9 三、 几种带电体的电势分布 1、静止点电荷的电势 选无穷远为电势零点 10 2、均匀带电球面的电势 球面外点的电势等于处 于球心的“点电荷”在该 点的电势。 球面内等电势, 等于球 面上的电势。 r q 0 U R R 11 3、均匀带电球体的电势 R q r 球心: 0 r U R q R 12 4、无限长圆柱面(线电荷密度) 的电势 电势分布:选 点为电势零点 电场分布:  R r p  R r p p0 r0 13 电势零点不能选在无限远!  r r0R0 r p0 14 §3.3 电势叠加原理 注意:各电荷的电势零点必须相同。 应用电场叠加原理证明 : 在电荷体系的电场中,某点电势等于各电 荷单独在该点产生的电势的代数和 15 1、点电荷体系 2、连续分布的电荷体系 dq p ri qi qj dq p r 16 q R Ox p 【例】均匀带电圆环轴线上的电势 r dq 【例】两同心带电球 面,求 A,B,C 点的 电势。 q1 q2 R1 R 2 A B C rA rB rC 单独在该点的电势的和! 18 §3.4 电势梯度 一、等势面 电势相等的点组成的曲面。 1、电场线与等势面处处正交,并指向电势 降低的方向。 2、两等势面相距较近处的场强大,相距 较远处场强较小。 等势面特征: 19 等势面 电场线 点电荷的等势面 20 + 等势面 电偶极子的等势面 电场线 21 两相等点电荷的等势面 等势面 电场线 22 等势面 电场线 23 等势面 电场线 平行板电容器 24 人心脏的等电势 线,类似于电偶 极子。 25 二、场强和电势的关系 证明见力学§4.8由势能求保守力。 电势梯度矢量: 静电场中某点的电场强度,等于该点电 势的负梯度 静电场强等于负电势梯度矢量。 26 U 垂直于过该点的等势 面,方向是电势升高最快的方向。 U 的基本特征: 证明: 垂直于等势面, 和 与等势面相切 以等势面U上 p点为原点作直角坐标系 U U+DU P 27 U U+DU P 垂直于过该点的等势面。所以, 电场线与等势面处处正交。两等势面相距 较近处的场强大,相距较远处场强较小。 因此 28 所以, 的方向是电势升高最快的方向。 U U+DU P 电场线指向电势降低最快的方向。 29 【例】均匀带电球面,由电势分布求场强分布。 场强沿径向  只要计算径向分量 0 r U R q 30 电荷的电量×该点的电势 “电荷与电场的相互作用能” §3.5 电荷在外场中的静电势能 【例】氢原子中电子的静电势能 “电子与电场(质子)的相互作用能” 原子核(质子)的电势: 电子的静电势能: 31 【例】电偶极子在均匀外电场中的电势能 (受力矩: ) 【思考】势能W随p的取向如何变化? 证明: 32 §3.6 电荷体系的静电能 一、点电荷体系的相互作用能 其中Ui 为 qi 所在处,由 qi 以外的其它电荷所 产生的电势。 把 n 个静止点电荷从现有位置彼此分散到 无穷远时,它们间的静电力所作的功,称为 这 n 个点电荷间的相互作用能 33 证明: 1、n=2 固定q1,把q2移到无限远电场力做的功 写成对称形式即 q2 q1 r 34 2、n=3 q3 q2q1 类推,得 35 式中U为在带电体上,所有电荷在电荷元 dq 处的电势。 二、连续分布的电荷体系的静电能 — 各电荷元间的静电相互作用能 【思考】为什么不包括电荷元dq 的自能? 36 R q 【例】均匀带电球体的静电能 分割成同心薄球壳(dq) r dr dq :点模型的发散困难 :电荷元dq 的自能为零 所在处的电势为 ,静电能为 若q不变, 若不变, 37 【例】电子的经典半径 另一种估算: 38 体系静电能 = 相互作用能+自能 三、连续带电体体系的静电能 体系 Q1 Q2 Q3 39 §3.7 静电场的能量 均匀带电球面的静电能: Rq 静电能贮存在电场中 Ein = 0 在区域V 中电场的能量: 在真空中电场能量密度: 静电能贮存在哪儿? E = 0 40 用特例说明: 电场的能量密度: 设电斥力作用 R  R+dR 球壳 (R,R+dR)内的静电能 — 减少的静电能: Rq dR 41 R q 【例】对场能积分求均匀带电球 体的静电能。 【例】电容器储能 dr r 与相同 dV 42 证明:由斯托科斯公式 因域 S 任意,则 附录:静电场环路定理的微分形式 L dS E S S 是以 L 为边界 的任意曲面 静电场是有源、无旋场: 43
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