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第3讲函数的表示方法

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第3讲 函数的表示方法 江苏省通州高级中学 主要内容 一、聚焦重点 二、廓清疑点 函数定义域的确定. 求作函数的图象. 三、破解难点 利用函数解析式解决实际问题. 函数解析式的求法. 基础知识 函数的三种表示方法: (1)解析法——用等式来表示两个变量之间的 函数关系. (2)列表法——用列表来表示两个变量之间的 函数关系. (3)图象法——用图象来表示两个变量之间的 函数关系. 基础知识 函数的三种表示方法的优点: 函数关系清楚,容易从自变量的 值求出其对应的函数值;根据解析式便于 研究函数的性质. (1)解析法 (2)列表法 不通过计算就知道自变量取某些 值时函数的对应值 . (3)图象法直观形象地反映函数的变化 . 聚焦重点:函数解析式的求法 问题研究 求函数解析式通常有哪些方法? 典型例题1 例1 分别根据下列条件,求函数f(x)的解析式: 思路分析 思路2 通过整体换元来处理. 思路1 设法将等式右边配凑为关于 的形式. 求解过程 回顾反思 (1)基本策略:配凑、换元. (2)数学思想:整体代换. (3)思维误区:忽视函数的定义域. 例1 ⑵f(x)是一次函数,且f[f(x)]=9x+8, 求f(x). 思路分析 分析 设出一次函数f(x)的一般形式,代入已知 等式,再根据多项式恒等的条件确定有关系数. 求解过程 解 设f(x)=ax+b(a≠0),则 ∴f(x)=3x+2,或f(x)=-3x-4. 例1 ⑵f(x)是一次函数,且f[f(x)]=9x+8, 求f(x). 回顾反思 (1)基本策略:待定系数法. (2)适用题型:已知函数类型,确定函数解析式. (3)解题关键:根据多项式恒等条件,建立系数 满足的等量关系,联立求解. 思路分析 分析 ①已知等式中既含有f(x) 又含有f(-x), 能否设法将f(-x)消去? 以-x代x! ②能否由已知等式得到关于f(x)和f(-x) 的又一个关系? 例1 ⑶已知 3f(x)+2 f(-x)=2x+5,求 f(x). 求解过程 解 由已知 3f(x)+2 f(-x)=2x+5 ① 以-x代x,得 3f(-x) +2 f(x)=-2x+ 5 ② ①×3- ②×2,解得 f(x)=2x+1. 例1 ⑶已知 3f(x)+2 f(-x)=2x+5,求 f(x). 回顾反思 (1)基本策略:解方程组,实施消元. (2)数学思想:函数与方程思想. (3)思维障碍:无法找到另一个方程,思维受阻. 例1 ⑷已知f(0) =1,且对任意x,y∈R,有 f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求f(x). 思路分析 思路1 令y=0,得到f(x)=f(x).此路不通! 思路2 令x=0,得到f(-y)=f(0)-y(-y+1) =y2-y+1,则f(y)=y2+y+1,即 f(x)=x2+x+1.方法可行! 思路3 令y=x,得到f(0)=f(x)-x(2x-x+1) 则f(x)=x2+x+1.更加简洁! 赋值法! 回顾反思 基本方法:配凑法,换元法,方程法,赋值法, 待定系数法. 数学思想:整体换元思想,函数与方程思想. 思维盲点:忽视由中间变量的取值范围确定函 数的定义域. 思维策略:根据问题特点,灵活选择方法. 求函数解析式方法小结: 廓清疑点:函数定义域的确定 典型例题2 思路分析 方法可行,运算繁琐! 思路2 等式右边配方,实施整体代换. 整体处理,更加快速! 求解过程 思考1 解题是否就此结束?定义域! 思考2 函数定义域是{x∈R︱x≠0},对吗? 错! 求解过程 回顾反思 2. 在本例中,求函数的定义域,实质就是确定中 间变量的值域,“判别式法”是求函数值域的重 要方法之一. 3. 要准确理解不同表达式中同一字母的不同含 义,防止应理解错误而误求定义域. 1. 定义域和对应法则是函数的两个本质要素,对 应法则相同而定义域不同,函数关系也不同, 因此,求函数的解析式,必须确定其定义域. 廓清疑点:求作函数的图象 基础知识 1. 函数图象是函数关系的直观表示. 函数y=f(x) 图象就是点集{(x,y) ︱ y=f(x) ,x∈A}所 对应的几何图形. 2. 作函数图象通常有以下两种方法: ⑴描点法:列表——描点——连线. ⑵变换法:利用已知函数(如:一次函数、二 次函数、反比例函数等)的图象,通过平移、 对称、伸缩等变换手段,得到所作函数的图象. 基础知识 3. 有些函数,在定义域的不同部分上,有着不 同的解析表达式. 有些函数,虽在定义域上 具有统一的解析表达式,但函数关系隐晦, 为便于理解,常通过分类讨论转化为几个不 同的部分来表示. 象这样的函数通常叫做分 段函数. 需要注意的是,分段函数是一个函 数,而不是几个函数. 问题研究 如何求作函数的图象?又应注意哪些问题呢? 典型例题3 例3 作出下列函数的图象: 思路分析 例3 作出下列函数的图象: 思路1 通过取一些特殊点,采用描点法. 关注定义域! 思路2 化为熟悉的函数,再作出图象. 化简函数式! O1 1 -1 y x 求解过程 例3 画出下列函数的图象: 回顾反思 (1)求解步骤: ①确定函数的定义域; ②化简函数的解析式; ③作出函数的图象. (2)思维误区: ①不会化简,无从下手; ②范围有误,图象失真; ③忽视细节,作图粗糙. O1 1 -1 y x 思路分析 例3 画出下列函数的图象: 分析 ⑴求定义域: 去绝对值号! ⑵化简函数式: R. 分为以下三种情况进行讨论: ①x≤-2;②-2<x≤1;③x>1. x y O 求解过程 例3 画出下列函数的图象: -2 3 -3 1 回顾反思 (2)思想方法:分类讨论思想. (1)解决策略:通过讨论,化为分段函数. (3)思维瑕点:①在段与段的“接头”处处理粗 糙,该连不连,当断不断. ②不善于抓住一些特征点,未 能使所作图象精细化. 思路分析 例3 画出下列函数的图象: 思路1 通过分类讨论,化为分段函数. 思路2 探究函数y=f(x)的图象与函数 y= ︱f(x)︱ 的图象关系,利用图象变换法完成作图. 结论 函数y=f(x)在x轴上方的图象不变,并将 其在 x 轴下方的图象向上翻折,即得所 作函数y= ︱f(x)︱的图象. 解 ①作函数y=x2-2x-3=(x-1)2-4的图象. ②将函数y=(x-1)2-4 在x轴下方的图象沿x轴 向上翻折,即得到函数 的图象. 解题过程 x y O x=1 -4 -3 -13 4 例3 画出下列函数的图象: 回顾反思 友情提醒: 1. 要熟练掌握一些常见函数的图象,如一次函 数、反比例函数、二次函数等. 2. 作图前,应首先确定函数的定义域,以保证 图象准确定位.在对函数式进行变形过程中, 要时刻关注定义域的变化,分清实线与虚线, 空心点和实心点. 回顾反思 友情提醒 3. 画图时要尽可能地作出能反映函数性质的一 些特征点和特征线,如图象与坐标轴的交点, 双曲线的渐近线,抛物线的顶点、对称轴等, 以确保所作图象尽可能地准确. 4. 分段函数的图象,各部分有些 “相连”,有些 “断裂”,判断方法是:计算分界点处对应函 数值是否相等,相等则“连”,不等则“断”. 变式探究 x y O -2 3 -3 1 思路1 化为分段函数,分别求出各分段区间上 函数的取值范围,再求并集. 思路自然,普遍适用 思路2 作出图象,观察结果. 借助图象,一目了然 变式探究 x y O x=1 -13 4 思路1 分别各种情况逐一讨论. 思路2 作出图象,观察结果. 纷繁复杂,过程冗长 数形结合,一看到底 回顾反思 方法归纳: 1. 图象法是研究函数性质的重要手段,如求函 数值域等. 随着学习的深入,函数图象的作 用将更加凸显. 2. 方程f(x)=a的解的个数,等价于直线y=a与函 数 f(x) 图象的交点个数,充分体现了数形结 合的数学思想. 破解难点:利用函数解析式解决实际问题 例4 某商场经营一批进价是每件30元的商品,在 市场试销中发现,此商品的销售价 x (元) 与日销 售量 y (件) 之间有如下关系: ⑴根据表中信息,确定y与x的一个函数关系式; ⑵设经营此商品的日销售利润为 P 元,问:当销 售单价为多少元时,可获得最大日销售利润? 典型例题4 x3034404550 y604830150 步骤1 在直角坐标系中 描出数对(x,y)对应点 . 10 x y 20 30 40 50 60 60 50 40 30 20 10 O 例4 ⑴根据表中信息,确定y与x的一个函数关系式; 思路分析 x3034404550 y604830150 步骤2 猜想y关于x是 一次函数模型. 步骤3 检验猜想. 思路分析 解 ⑴设y=ax+b,将(30,60),(50,0)代入,得 30a+b=60, a=-3, 50a+b=0 . b=150 . ∴y= -3x+150(30 ≤x≤50). 例4 ⑴根据表中信息,确定y与x的一个函数关系式; x3034404550 y604830150 经检验,其他三点的坐标也满足上述关系. 例4 ⑵设经营此商品的日销售利润为 P 元,问: 当销售单价为多少元时,可获最大日销售利润? 典型例题4 日销售利润 = 分析日销售量×每件商品的利润 y=-3x+150 解 ∵P=(-3x+150)(x -30) = -(x -40)2 +300(30 ≤x≤50), x -30 ∴当x=40时,Pmax=300. 答:当销售单价为40元时,可获最大日销售利润. 解决实际问题的一般流程: 回顾反思 建模过程:函数三种表示法的转化 回答实际问题 实际应用问题 解决数学问题 建立数学模型 表 格描 点 拟 合 列表法图象法解析法 总结提炼 知 识: 函数的表示法:列表法,图象法,解析法. 1. 确定函数解析式的方法: 配凑法、换元法、方程法、赋值法、 待定系数法. 2. 求作函数图象的方法: 求定义域、化简函数式、作出图象. 方 法: 总结提炼 1. 函数方程思想:如构造方程组求解析式, 利用函数图象研究方程解的个数. 2. 整体换元思想:如换元法求函数解析式. 3. 分类讨论思想:如去绝对值号化简函数解 析式,含参数方程解的个数的讨论. 4. 数形结合思想:如由图象拟合函数,将方 程解的问题转化为函数图象的交点问题. 数学思想: 再 见 同步练习 同步练习 3. 某工厂产品的次品率p与日产量x(件)的关 系如下表所示(x∈N,1≤x≤98): ⑴试写出次品率p关于日产量x的函数关系; ⑵若每生产一件正品盈利300元,每生产一 件次品损失100元,将该厂日盈利额M (百元)表示成日产量x的函数. x 1 2 3 4 …… 98 p …… 1 参考答案
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