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第三章:控制系统的时域分析方法(第一部分)

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第三章控制系统的时域分析 控制系统的时域分析法1 控制系统的时域分析法 第三章时域分析法 第三章一控制系统的时域分析 第3章控制系统时域分析法 控制系统时域分析法第三章控制系统时域分析法
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天津大学 电气与自动化工程学院School of Electrical Engineering & Automation 自动控制原理A 第三章第三章 控制系统的时域分析方法控制系统的时域分析方法 3.I 3.I 控制系统的稳定性控制系统的稳定性 3.2 3.2 稳定性的代数判据稳定性的代数判据 3.3 3.3 控制系统的稳态误差控制系统的稳态误差 3.4 3.4 控制系统的动态响应控制系统的动态响应 天津大学 电气与自动化工程学院School of Electrical Engineering & Automation 自动控制原理A 3.1.1 3.1.1 稳定性定义稳定性定义 直观概念:如果系统收到扰动后,偏离了原来的平衡状态,而当扰动取 消后,系统又能够逐渐恢复到原来的状态,则称系统是稳定的,否则称 系统是不稳定的。 图3-1-1 稳定系统和不稳定系统 3.13.1控制系统的稳定性控制系统的稳定性 天津大学 电气与自动化工程学院School of Electrical Engineering & Automation 自动控制原理A 3.1.1 3.1.1 稳定性定义稳定性定义 控制系统的稳定性定义:若控制系统在任何足够小的初始偏差作用下,其 系统响应的变动随着时间推移也充分小,则称系统在给定初始条件下的这 一响应过程是稳定的。 线性定常控制系统稳定性性质 p 满足叠加性原理:系统输出等于输入作用 和初始条件分别作用下系统输出的和; p 系统稳定性只与系统自身的结构和参数有 关,与外部输入条件和系统初始状态无关 ; 3.13.1控制系统的稳定性控制系统的稳定性 天津大学 电气与自动化工程学院School of Electrical Engineering & Automation 自动控制原理A 3.1.2 3.1.2 线性定常系统稳定的充要条件线性定常系统稳定的充要条件 背景:线性定常控制理论中所讨论的稳定性指自由震荡下的稳定性,即讨论 输入为零,系统仅存在非零初始偏差时的稳定性。或者说系统的稳定性与系 统零输入下零平衡状态的稳定性等价。 图3-1-1控制系统典型框图 推导:若系统的初始条件不为零,系统在参考输入R(s)、扰动输 入N(s)及初 始偏差下的响应输 出为 3.13.1控制系统的稳定性控制系统的稳定性 天津大学 电气与自动化工程学院School of Electrical Engineering & Automation 自动控制原理A 3.1.2 3.1.2 线性定常系统稳定的充要条件线性定常系统稳定的充要条件 图3-1-1控制系统典型框图 为系统特征多项式为系统特征多项式 为系统特征方程。为系统特征方程。 考察系统在零输入条件下响应输出(见背景 ) 为阶为阶 次次多多项项式。式。 部分分式展开得到 3.13.1控制系统的稳定性控制系统的稳定性 天津大学 电气与自动化工程学院School of Electrical Engineering & Automation 自动控制原理A 3.1.2 3.1.2 线性定常系统稳定的充要条件线性定常系统稳定的充要条件 拉氏反变换得到 系系统统零零输输入响入响应应随随时间趋时间趋 于零的于零的充分必要条件充分必要条件是,特征方程的是,特征方程的所有特征所有特征 根的根的实实实实部都小于零部都小于零,或者所有特征根都位于复平面的左半平面,或者所有特征根都位于复平面的左半平面。。 3.13.1控制系统的稳定性控制系统的稳定性 天津大学 电气与自动化工程学院School of Electrical Engineering & Automation 自动控制原理A 3.1.2 3.1.2 线性定常系统稳定的充要条件线性定常系统稳定的充要条件 为考察扰动输入取出后系统的自动恢复能力,可以假设扰动输入为单位脉 冲函数 即 。此时,扰动作用下系统输出为 扰动扰动 消失后,系消失后,系统统能能够够自自动动恢复到原来工作状恢复到原来工作状态态的的充分必要条件充分必要条件,也是,也是 系系统统特征方程的特征方程的所有特征根的所有特征根的实实部都小于零部都小于零,或者所有特征根都位于复,或者所有特征根都位于复 平面的左半平面。平面的左半平面。 结论结论 :线线性定常系统稳统稳 定的充要条件系统统特征方程的所有特征根的实实部都 小于零,或者所有特征根都位于复平面的左半平面。 3.13.1控制系统的稳定性控制系统的稳定性 天津大学 电气与自动化工程学院School of Electrical Engineering & Automation 自动控制原理A 第三章第三章 控制系统的时域分析方法控制系统的时域分析方法 3.I 3.I 控制系统的稳定性控制系统的稳定性 3.2 3.2 稳定性的代数判据稳定性的代数判据 3.3 3.3 控制系统的稳态误差控制系统的稳态误差 3.4 3.4 控制系统的动态响应控制系统的动态响应 天津大学 电气与自动化工程学院School of Electrical Engineering & Automation 自动控制原理A 3.2.1 3.2.1 古尔(胡尔)维茨判据古尔(胡尔)维茨判据 3.23.2稳定性的代数判据稳定性的代数判据 背景:对于高阶系统,用求出系统全部特征根的方法判定系统的稳定性,会 遇到求根困难,计算量很大,有没有一种根据特征多项式的系数直接判定系 统稳定性的方法? 判据1:设系统的特征方程为 设 的充要条件是 ,且以下n个行列式全部为正。 构造:主对角线上的各项为特征方程的第二项系数 至最后一项系数 在主对角线以下各行中各项系数下标逐次增加,以上各行中各项系数小标 逐次减小,当下标大于n或小于0时,行列式中的项取为零。 系统稳定 天津大学 电气与自动化工程学院School of Electrical Engineering & Automation 自动控制原理A 3.2.1 3.2.1 古尔(胡尔)维茨判据古尔(胡尔)维茨判据 推论:在系统特征方程的系数全部为正 且不出现缺项 的条件下,若所有奇 次阶的古尔维茨行列式为正,则所有偶次阶的古尔维茨行列式必然为正,反 之亦然。 为了减小计算量,得到古尔维茨判据的推广 判据2:设系统的特征方程为 设,系统 稳定的充要条件是 及偶数阶的古尔维茨行列式 ;或 奇数阶的古尔维茨行列式 3.23.2稳定性的代数判据稳定性的代数判据 天津大学 电气与自动化工程学院School of Electrical Engineering & Automation 自动控制原理A 3.2.1 3.2.1 古尔(胡尔)维茨判据古尔(胡尔)维茨判据 典型系统(一、二、三阶)稳定的充要条件 一阶系统 二阶系统 二阶系统 3.23.2稳定性的代数判据稳定性的代数判据 天津大学 电气与自动化工程学院School of Electrical Engineering & Automation 自动控制原理A 3.2.1 3.2.1 古尔(胡尔)维茨判据古尔(胡尔)维茨判据 例3-2-1 若已知系统的特征方程为试判断系统的 稳定性。 解: (1)确定系数 (2)确定行列式 (3) 得出结论结论系统不稳定 3.23.2稳定性的代数判据稳定性的代数判据 天津大学 电气与自动化工程学院School of Electrical Engineering & Automation 自动控制原理A 3.2.1 3.2.1 古尔(胡尔)维茨判据古尔(胡尔)维茨判据 例3-2-2 设单位反馈系统的开环传递函数为 试确定使得系统稳 定的k的取值范围。 解: (1)确定特征多项项式 系统特征方程为 (2)确定系数 (3)确定行列式-偶 (4)得出结论结论系统稳 定的k值范围为 0k14 3.23.2稳定性的代数判据稳定性的代数判据 天津大学 电气与自动化工程学院School of Electrical Engineering & Automation 自动控制原理A 3.2.2 3.2.2 劳斯判据劳斯判据 设系统的特征方程为 设构造如下的 劳斯表 构造方法-Step1:劳斯阵列的前两行元 素由特征方程的系数组成。第一行由特 征方程的第一、三、五、…项系数组成 ;第二行由特征方程的第二、四、六、 …项系数组成。若特征方程有缺项,则 该项系数以零计。 3.23.2稳定性的代数判据稳定性的代数判据 天津大学 电气与自动化工程学院School of Electrical Engineering & Automation 自动控制原理A 3.2.2 3.2.2 劳斯判据劳斯判据 构造方法-Step 2: 3.23.2稳定性的代数判据稳定性的代数判据 天津大学 电气与自动化工程学院School of Electrical Engineering & Automation 自动控制原理A 3.2.2 3.2.2 劳斯判据劳斯判据 构造方法-Step 3: 3.23.2稳定性的代数判据稳定性的代数判据 天津大学 电气与自动化工程学院School of Electrical Engineering & Automation 自动控制原理A 3.2.2 3.2.2 劳斯判据劳斯判据 劳斯判据: 系统稳定的充要条件是系统特征 方程 的 系数全部为正: ,且劳斯表中第一列所有元素都大于零。劳斯 表中第一列数值符号改变的次数,即由正变负的次数和由负变正的次数和,等于 特征方程正实部根的个数。 3.23.2稳定性的代数判据稳定性的代数判据 天津大学 电气与自动化工程学院School of Electrical Engineering & Automation 自动控制原理A 3.2.2 3.2.2 劳斯判据劳斯判据 例3-2-3:设系统特征方程为 判定系统的稳定性, 并确定系统右半复平面上特征根的个数 。 3.23.2稳定性的代数判据稳定性的代数判据 天津大学 电气与自动化工程学院School of Electrical Engineering & Automation 自动控制原理A 3.2.2 3.2.2 劳斯判据劳斯判据 特殊情况特殊情况1:1: 劳斯表中某一行第一项系数为零,而其余系数不全为零。。 用很小的正数 处处理方法理方法: :代替零的那一项,然后据此计算其他项。 例3-2-4:设系统特征方程为 ,并确定系统右半复平面上特征根的个数。 判定系统的稳定性 解: 结论:劳斯表第一列 中的元素有由正到负 及由负到正两次符号 的变化,系统有2个 右半平面的特征根, 故系统不稳定。 3.23.2稳定性的代数判据稳定性的代数判据 天津大学 电气与自动化工程学院School of Electrical Engineering & Automation 自动控制原理A 3.2.2 3.2.2 劳斯判据劳斯判据 特殊情况特殊情况2:2:劳斯阵某行系数全为零。此时,系统特征方程至少有下述几种 情况之一出现:大小相等,符号相反的一对实根;或一对共轭 虚根;或对称于虚轴的两对共轭复根。 处处理方法理方法: :可将不为零的最后一行的系数组成辅助方程,对此辅助方程式 对s求导所得方程的系数代替全零行的系数,继续将劳斯表计 算下去。此时,这种情况下的对称于s平面原点的根可通过辅 助方程求得。 3.23.2稳定性的代数判据稳定性的代数判据 天津大学 电气与自动化工程学院School of Electrical Engineering & Automation 自动控制原理A 3.2.2 3.2.2 劳斯判据劳斯判据 例3-2-5:设系统特征方程为 判定系统的 稳定性,并确定系统右半复平面上特征根的个数。 解: (1)列写劳斯表 (2)构造辅助方程并求导 (3)求导后方程系数,取代全零 行的系数,并计算劳斯表 3.23.2稳定性的代数判据稳定性的代数判据 天津大学 电气与自动化工程学院School of Electrical Engineering & Automation 自动控制原理A 3.2.2 3.2.2 劳斯判据劳斯判据 (4)判断稳定性 劳斯表中第一列元素全为正,故和s平面原点对称的 根全都位于虚轴上,这些根可以通过辅助方程求得 。 用综合除法,得到系统特征方程的另外两个特征根 结论:系统不稳定,系统不存在右半复平面上的特征根。 注:出注:出现现现现全全0 0行,系行,系统统统统一定不一定不稳稳稳稳定定 3.23.2稳定性的代数判据稳定性的代数判据 天津大学 电气与自动化工程学院School of Electrical Engineering & Automation 自动控制原理A 3.2.2 3.2.2 劳斯判据劳斯判据 例3-2-6:已知系统特征方程为:s4+30s3+200s2+ks+kz=0, 求产生纯虚根 为±j1的z值和k值(注:k、z均不为零)。。 解: 3030 1 1 200200 k k kzkz (6000-k)/30(6000-k)/30 kzkz (6000k-k(6000k-k 2 2 -900kz)/30-900kz)/30 s s4 4 s s3 3 s s2 2 s s1 1 s s0 0 ∵∵有有纯纯虚根,虚根,∴∴劳劳斯表一定有全零行斯表一定有全零行 6000k-k6000k-k 2 2 -900kz=0-900kz=0 ∵∵ 零行的上两行一定成比例零行的上两行一定成比例 辅辅助方助方 程:程: ((6000-6000- k)sk)s 2 2 +30kz=0+30kz=0 ∴ ∴辅 辅助方程可助方程可变为变为 30s30s 2 2 +k =0+k =0k=30k=30 代入左式得代入左式得z =6.63z =6.63 3.23.2稳定性的代数判据稳定性的代数判据 天津大学 电气与自动化工程学院School of Electrical Engineering & Automation 自动控制原理A 第三章第三章 控制系统的时域分析方法控制系统的时域分析方法 3.I 3.I 控制系统的稳定性控制系统的稳定性 3.2 3.2 稳定性的代数判据稳定性的代数判据 3.3 3.3 控制系统的稳态误差控制系统的稳态误差 3.4 3.4 控制系统的动态响应控制系统的动态响应 天津大学 电气与自动化工程学院School of Electrical Engineering & Automation 自动控制原理A 3.3.1 3.3.1 误差及稳态误差的定义误差及稳态误差的定义 3.33.3控制系统的稳态误差控制系统的稳态误差 图3-3-1控制系统典型结构框图 第一种定第一种定义义义义:从:从输输输输出端定出端定义义义义 第二种定第二种定义义义义:从:从输输输输入端定入端定义义义义 注:第二种定义的误差信号是可以测量的,在系统方框有相对应的信号,便于理论分析。注:第二种定义的误差信号是可以测量的,在系统方框有相对应的信号,便于理论分析。 所以,在下面的讨论中如不特别加以声明,误差都认为是从输入端定义的。所以,在下面的讨论中如不特别加以声明,误差都认为是从输入端定义的。 天津大学 电气与自动化工程学院School of Electrical Engineering & Automation 自动控制原理A 3.3.1 3.3.1 误差及稳态误差的定义误差及稳态误差的定义 3.33.3控制系统的稳态误差控制系统的稳态误差 两种两种稳态误稳态误稳态误稳态误 差的关系:差的关系: 如下如下图图图图所示:所示: 注:第二种定义的误差信号是可以测量的,在系统方框有相对应的信号,便于理论分析。注:第二种定义的误差信号是可以测量的,在系统方框有相对应的信号,便于理论分析。 所以,在下面的讨论中如不特别加以声明,误差都认为是从输入端定义的。所以,在下面的讨论中如不特别加以声明,误差都认为是从输入端定义的。 天津大学 电气与自动化工程学院School of Electrical Engineering & Automation 自动控制原理A 3.3.2 3.3.2 稳态误差的计算稳态误差的计算 3.33.3控制系统的稳态误差控制系统的稳态误差 系系统统统统的的误误误误差差传递传递传递传递 函数函数 注意:要求E(s)的表达式在虚轴上(除原点外)及右半复平面上没有极点。 天津大学 电气与自动化工程学院School of Electrical Engineering & Automation 自动控制原理A 3.3.2 3.3.2 稳态误差的计算稳态误差的计算 3.33.3控制系统的稳态误差控制系统的稳态误差 例3-3-1: 天津大学 电气与自动化工程学院School of Electrical Engineering & Automation 自动控制原理A 3.3.2 3.3.2 稳态误差的计算稳态误差的计算 3.33.3控制系统的稳态误差控制系统的稳态误差 天津大学 电气与自动化工程学院School of Electrical Engineering & Automation 自动控制原理A 3.3.33.3.3参考输入信号作用下系统的稳态误差参考输入信号作用下系统的稳态误差 3.33.3控制系统的稳态误差控制系统的稳态误差 设开环传递函数 pV=0时,称系统为0型系统 pV=1时,称系统为I型系统 pV=2时,称系统为II型系统 其中 ,v表示系统开环传递 函数中包含的积分环节的个数。有如下定义 天津大学 电气与自动化工程学院School of Electrical Engineering & Automation 自动控制原理A 3.3.33.3.3参考输入信号作用下系统的稳态误差参考输入信号作用下系统的稳态误差 3.33.3控制系统的稳态误差控制系统的稳态误差 情况情况1 1::阶跃输阶跃输阶跃输阶跃输 入入 系系统统统统的的稳态误稳态误稳态误稳态误 差差 记记记记 p V=0时 p V=1时 位置位置误误差系数差系数kpkp p V=2时 天津大学 电气与自动化工程学院School of Electrical Engineering & Automation 自动控制原理A 3.3.33.3.3参考输入信号作用下系统的稳态误差参考输入信号作用下系统的稳态误差 3.33.3控制系统的稳态误差控制系统的稳态误差 情况情况2 2:斜坡(速度):斜坡(速度)输输输输入入 系系统统统统的的稳态误稳态误稳态误稳态误 差差 记记记记 p V=0时 p V=1时 速度速度误误差系数差系数kvkv p V=2时 天津大学 电气与自动化工程学院School of Electrical Engineering & Automation 自动控制原理A 3.3.33.3.3参考输入信号作用下系统的稳态误差参考输入信号作用下系统的稳态误差 3.33.3控制系统的稳态误差控制系统的稳态误差 情况情况3 3:抛物:抛物线线线线( (加速度加速度) )输输输输入入 系系统统统统的的稳态误稳态误稳态误稳态误 差差 记记记记 p V=0时 p V=1时 加速度加速度误误差系数差系数kaka p V=2时 天津大学 电气与自动化工程学院School of Electrical Engineering & Automation 自动控制原理A 3.3.33.3.3参考输入信号作用下系统的稳态误差参考输入信号作用下系统的稳态误差 3.33.3控制系统的稳态误差控制系统的稳态误差 表表3-3-13-3-1典型参考典型参考输输输输入下系入下系统统统统的的稳态误稳态误稳态误稳态误 差差 推论:推论:减小和消除稳态误差方法:减小和消除稳态误差方法:提高系统的开环增益,提高系统的开环增益,增加开环传递函增加开环传递函 数中积分环节数中积分环节 天津大学 电气与自动化工程学院School of Electrical Engineering & Automation 自动控制原理A 3.3.33.3.3参考输入信号作用下系统的稳态误差参考输入信号作用下系统的稳态误差 3.33.3控制系统的稳态误差控制系统的稳态误差 例3-3-2:系统如下图所示,设求系统稳态误差 解: (1)判断系统稳定性 系统稳定的充要条件为 从系统的开环传递函数有 (2)稳态误差的计算 稳态误差为: 天津大学 电气与自动化工程学院School of Electrical Engineering & Automation 自动控制原理A 3.3.33.3.3参考输入信号作用下系统的稳态误差参考输入信号作用下系统的稳态误差 3.33.3控制系统的稳态误差控制系统的稳态误差 例3-3-3: 天津大学 电气与自动化工程学院School of Electrical Engineering & Automation 自动控制原理A 3.3.43.3.4扰动信号作用下系统的稳态误差扰动信号作用下系统的稳态误差 3.33.3控制系统的稳态误差控制系统的稳态误差 根据根据终值终值终值终值 定理有定理有 天津大学 电气与自动化工程学院School of Electrical Engineering & Automation 自动控制原理A 3.3.43.3.4扰动信号作用下系统的稳态误差扰动信号作用下系统的稳态误差 3.33.3控制系统的稳态误差控制系统的稳态误差 输输输输入作用下的入作用下的稳态误稳态误稳态误稳态误 差差 扰动扰动扰动扰动 作用下的作用下的稳态误稳态误稳态误稳态误 差差 控制系统在典型扰动作用下的稳态误差,与误差信号到扰动作用点之间的 传递函数增益的大小以及所包含积分环节的个数有关,增大它的增益或增 加它包含的积分环节的个数,可以达到减小扰动影响或消除扰动作用下稳 态误差的目的。 天津大学 电气与自动化工程学院School of Electrical Engineering & Automation 自动控制原理A 3.3.43.3.4扰动信号作用下系统的稳态误差扰动信号作用下系统的稳态误差 3.33.3控制系统的稳态误差控制系统的稳态误差 例3-3-4: 天津大学 电气与自动化工程学院School of Electrical Engineering & Automation 自动控制原理A 3.3.43.3.4扰动信号作用下系统的稳态误差扰动信号作用下系统的稳态误差 3.33.3控制系统的稳态误差控制系统的稳态误差 天津大学 电气与自动化工程学院School of Electrical Engineering & Automation 自动控制原理A 3.33.3控制系统的稳态误差控制系统的稳态误差 需要强调的几点需要强调的几点 p 表3-3-1的有关量是根据误差 定义推导出的。若所求误差 定义 ,则只有当控制系统为单位负反馈结构时,两者的结 果才会一样。而对于非单位反馈系统,则显然两者不相等。所以在此情况 下为了能直接应用有关结论或公式,则必须把非单位反馈系统转化为等效 的单位反馈系统; pp 在表在表3-3-1中的中的K K为开环传函的开环增益,必须将开环传函写成为开环传函的开环增益,必须将开环传函写成时间常数时间常数 的形式的形式 pp 对于给定的闭环系统在分析系统的稳态误差或根据所提出的稳态误差要对于给定的闭环系统在分析系统的稳态误差或根据所提出的稳态误差要 求去进行控制系统的设计时,一定要求去进行控制系统的设计时,一定要首先确认闭环系统为稳定才能着手首先确认闭环系统为稳定才能着手 进行误差分析进行误差分析。。 天津大学 电气与自动化工程学院School of Electrical Engineering & Automation 自动控制原理A 3.33.3控制系统的稳态误差控制系统的稳态误差 3.3.53.3.5采用扰动补偿和复合控制减小系统稳态误差采用扰动补偿和复合控制减小系统稳态误差 1 1、扰动补偿控制:、扰动补偿控制:设设 扰动扰动 可测测,常将扰动扰动 信号前引,补偿补偿 由扰扰 动对动对 系统带统带 来的影响 。 图图 扰动补偿控制扰动补偿控制 对对上图图所示系统统,有 目的?目的? 背景:用增大开环增益或增加开环传递函数积分环节的个数的方法来提 高系统的稳态精度,会带来稳定性设计的困难。采用扰动补偿和复合控 制的方法不会对系统的稳定性带来影响。 天津大学 电气与自动化工程学院School of Electrical Engineering & Automation 自动控制原理A 3.33.3控制系统的稳态误差控制系统的稳态误差 3.3.53.3.5采用扰动补偿和复合控制减小系统稳态误差采用扰动补偿和复合控制减小系统稳态误差 1 1、扰动补偿控制:、扰动补偿控制: 天津大学 电气与自动化工程学院School of Electrical Engineering & Automation 自动控制原理A 3.33.3控制系统的稳态误差控制系统的稳态误差 3.3.53.3.5采用扰动补偿和复合控制减小系统稳态误差采用扰动补偿和复合控制减小系统稳态误差 1 1、扰动补偿控制:、扰动补偿控制: 天津大学 电气与自动化工程学院School of Electrical Engineering & Automation 自动控制原理A 3.33.3控制系统的稳态误差控制系统的稳态误差 3.3.53.3.5采用扰动补偿和复合控制减小系统稳态误差采用扰动补偿和复合控制减小系统稳态误差 2 2、前馈控制、前馈控制- -未加未加 天津大学 电气与自动化工程学院School of Electrical Engineering & Automation 自动控制原理A 3.33.3控制系统的稳态误差控制系统的稳态误差 3.3.53.3.5采用扰动补偿和复合控制减小系统稳态误差采用扰动补偿和复合控制减小系统稳态误差 2 2、前馈控制、前馈控制- -加入加入 从输入r到反馈b的闭环传递函数 目的:目的:通过涉及通过涉及Gr(s)Gr(s)改善系统对指令信号改善系统对指令信号 的跟踪精度的跟踪精度 天津大学 电气与自动化工程学院School of Electrical Engineering & Automation 自动控制原理A 3.33.3控制系统的稳态误差控制系统的稳态误差 3.3.53.3.5采用扰动补偿和复合控制减小系统稳态误差采用扰动补偿和复合控制减小系统稳态误差 2 2、前馈控制、前馈控制- -加入加入
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