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第二节静电场复习

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静电场第二节
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第二章 静电场 1. 电场强度、电通及电场线 电场强度通过任一曲面的通量称为电通,以  表示,即 2. 真空中静电场方程 高斯定理 环路定理 真空中静电场的电场强度E 满足下列两个积分形式的方程 。 左式称为高斯定理,它表明真空中静电场的电场 强度通过任一封闭曲面的电通等于该封闭曲面所包围 的电量与真空介电常数之比。 右式表明,真空中静电场的电场强度沿任一条闭合 曲线的环量为零。 左式表明,真空中静电场的电场强度在某点的散度等于该点的 电荷体密度与真空介电常数之比。右式表明,真空中静电场的 电场强度的旋度处处为零。由此可见,真空中静电场是有散无 旋场。 已知静电场的电场强度的散度及旋度以后,根据亥姆霍兹 定理,电场强度E 应为 式中 x P z y r 0 将前述结果代入,求得 因此 标量函数 称为电位。 将电位表达式代入,求得电场强度与电荷密度的关系为 若电荷分布在一个有限的表面上,或者分布在一 个有限的线段内,那么可以类推获知此时电位及电场 强度与电荷的面密度 S 及线密度l 的关系分别为 (1)高斯定律中的电量 q 应理解为封闭面 S 所包围 的全部正负电荷的总和。 静电场特性的进一步认识: (2)静电场的电场线是不可能闭合的 ,而且也不可能相交 。 (3)任意两点之间电场强度 E 的线积分与路径无关。 真空中的静电场和重力场一样,它是一种保守场。 (4)已知电荷分布的情况下,可以利用高斯定理计算电 场强度,或者可以通过电位求出电场强度,或者直接根 据电荷分布计算电场强度等三种计算静电场的方法。 3. 电位与等位面 静电场中某点的电位,其物理意义是单位正电荷在 电场力的作用下,自该点沿任一条路径移至无限远处过 程中电场力作的功。 电位的数学表示 式中q 为电荷的电量,W 为电场力将电荷 q 推到无限远处作 的功。 电位相等的曲面称为等位面,其方程为 由于电场强度的方向为电位梯度的负方向,而梯度 方向总是垂直于等位面,因此,电场线与等位面一定处 处保持垂直。若规定相邻的等位面之间的电位差保持恒 定,那么等位面密集处表明电位变化较快,因而场强较 强。这样,等位面分布的疏密程度也可表示电场强度的 强弱。    电场线等位面 E 有极分子无极分子 4. 介质极化 导体中的电子通常称为自由电子,它们所携带的电荷称 为自由电荷。介质中的电荷是不会自由运动的,这些电荷称 为束缚电荷。 在电场作用下,介质中束缚电荷发生位移,这种现 象称为极化。通常,无极分子的极化称为位移极化,有 极分子的极化称为取向极化。        无极分子 有极分子                       Ea                 单位体积中电矩的矢量和称为极化强度,以P 表示,即 式中 pi 为体积 V 中第 i 个电偶极子的电矩,N 为V 中电 偶极子的数目。这里 V 应理解为物理无限小的体积。 式中e 称为极化率,它是一个正实数。 空间各点极化率相同的介质称为均匀介质,否则,称为 非均匀介质。 极化率与时间无关的介质称为静止媒质,否则称为运动媒质 。 极化率与电场强度的大小无关的介质称为线性介质, 否则,称为非线性介质。 发生极化以后,介质表面出现面分布的束缚电荷。 若介质内部是不均匀的,则极化产生的电偶极子的分布 也是不均匀的,在介质内部出现束缚电荷的体分布,因 而出现体分布的束缚电荷。这种因极化产生的面分布及 体分布的束缚电荷又称为极化电荷。 5. 介质中的静电场方程 在介质内部,穿过任一闭合面 S 的电通应为 式中 q 为闭合面 S 中的自由电荷,为闭合面S 中的束缚电荷。那 么 令 ,求得 此处定义的 D 称为电位移。可见,介质中穿过任一闭合面的电 位移的通量等于该闭合面包围的自由电荷,而与束缚电荷无关。 介质中微分形式的高斯定律表明,某点电位移的散 度等于该点自由电荷的体密度。 已知各向同性介质的极化强度 ,求得 则 对于均匀介质,由于介电常数与坐标无关,因此获得 6. 两种介质的边界条件 由于媒质的特性不同,引起场量在两种媒质的交界面 上发生突变,这种变化规律称为静电场的边界条件。 为了讨论边界上某点电场强度的切向分量的变化规律,围 绕该点且紧贴边界作一个有向矩形闭合曲线,其长度为l,高 度为h,则电场强度沿该矩形曲线的环量为 为了求出边界上的场量关系,必须令 h  0,则线积分 E2 E1 1 3 2 4 l h  1  2 et 为了求出边界上的场量关系,必 须令 h  0,则线积分 为了求出边界上某点的场量关系,必须令 l 足够短, 以致于在l内可以认为场量是均匀的,则上述环量为 式中E1t 和 E2t 分别表示介质①和②中电场强度与边界平行 的切向分量。已知静电场中电场强度的环量处处为零,因此 由上式得 此式表明,在两种介质形成的边界上,两侧的电场强度的 切向分量相等,或者说,电场强度的切向分量是连续的。 对于各向同性的线性介质,得 此式表明,在两种各向同性的线性介质形成的边界上, 电位移的切向分量是不连续的。 为了讨论电位移的法向分量变化规律,在边界上围绕某 点作一个圆柱面,其高度为h,端面为S。那么根据介 质中的高斯定律,得知电位移通过该圆柱面的通量等于 圆柱面包围的自由电荷,即 h S D2 D1 令 h  0 ,则通过侧面的通 量为零,又考虑到 S 必须足 够小,则上述通量应为 式中D1t 及 D2t 分别代表对应介质中电位移与边界垂直 的法线分量。边界法线的方向 en 规定为由介质①指向 介质②。  1  2 en 求得 式中 s 为边界上存在的表面自由电荷的面密度。考虑到在两 种介质形成的边界上通常不可能存在表面自由电荷,因此 此式表明,在两种介质边界上电位移的法向分量相等, 或者说,电位移的法向分量是连续的。 对于各向同性的线性介质,得 此式表明,在两种各向同性的线性介质形成的边界上, 电场强度的法向分量不连续的。 7. 介质与导体的边界条件 静电平衡:当孤立导体放入静电场中以后,导体中自由 电子发生运动,电荷重新分布。由于自由电子逆电场方向反 向移动,因此重新分布的电荷产生的二次电场与原电场方向 相反,使导体中的合成电场逐渐削弱,一直到导体中的合成 电场消失为零,自由电子的运动方才停止,因而电荷分布不 再改变,这种状态称为静电平衡。 当导体处于静电平衡时,自由电荷只能分布在导体的表面 上。因为导体中不可能存在静电场,因此导体中的电位梯度 为零,这就意味着导体中电位不随空间变化。所以,处于静 电平衡状态的导体是一个等位体,导体表面是一个等位面。 既然导体中的电场强度为零,导体表面的外侧不可能存 在电场强度的切向分量。换言之,电场强度必须垂直于导体 的表面, 介质 E, D 导体 en 导体表面存在的表面自由电荷面密 度为 已知导体表面是一个等位面,因 ,求得表面电位 与电荷的关系为 考虑到导体中不存在静电场,因而极化强度为零。求 得导体表面束缚电荷面密度为 静电屏蔽:当封闭的导体空腔中没有自由电荷时,即使 腔外存在电荷,腔中也不可能存在静电场。这就意味着封 闭的导体腔可以屏蔽外部静电场,这种效应称为静电屏蔽 。 8. 电容与部分电容 平板电容器正极板上携带的电量 q 与极板间的电位差 U 的 比值是一个常数,此常数称为平板电容器的电容,即电容为 对于多导体之间的电容计算,需要引入部分电容概念。多导 体系统中,每个导体的电位不仅与导体本身电荷有关,同时还与 其他导体上的电荷有关,因为周围导体上电荷的存在必然影响周 围空间静电场的分布,而多导体的电场是由它们共同产生的。 q1 q3 qn q2 此时,各个导体上的电荷与导体间的电位差的关系为 式中Cii 称为第 i 个导体的固有部分电容;Cij 称为第 i 个导体与第j 个导体之间的互有部分电容。 9. 电场能量 已知在静电场的作用下,带有正电荷的带电体会沿电场 方向发生运动,这就意味着电场力作了功。静电场为了对外 作功必须消耗自身的能量,可见静电场是具有能量的。如果 静止带电体在外力作用下由无限远处移入静电场中,外力必 须反抗电场力作功,这部分功将转变为静电场的能量储藏在 静电场中,使静电场的能量增加。由此可见,根据电场力作 功或外力作功与静电场能量之间的转换关系,可以计算静电 场能量。 首先根据外力作功与静电场能量之间的关系计算电量 为 Q 的孤立带电体的能量。 代入上式,求得电量为Q 的孤立带电体具有的能量为 或者表示为 对于 n 个带电体具有的总能量 当各个带电体的电量同时分别增至最终值 时,该系 统的总电场能为 求得 当带电体的电荷为连续的体分布、面分布或线分布电荷时,由 ,求得这种分布电荷的带电体总能量为 式中 为体元 dV、面元 dS、或线元 dl 所在处的电位 ,积分区域为电荷分布的空间。 从场的观点来看,静电场的能量分布在电场所占据 的整个空间,应该计算静电场的能量分布密度。静电场 的能量密度以小写英文字母we 表示。 由此可见,静电场的能量密度 对于各向同性的线性介质, ,代入后得 此式表明,静电场能量与电场强度平方成正比。因 此,能量不符合叠加原理。虽然几个带电体在空间产 生的电场强度等于各个带电体分别产生的电场强度的 矢量和,但是,其总能量并不等于各个带电体单独存 在时具有的各个能量之和。事实上,这是因为当第二 个带电体引入系统中时,外力必须反抗第一个带电体 对第二个带电体产生的电场力而作功,此功也转变为 电场能量,这份能量通常称为互有能,而带电体单独 存在时具有的能量称为固有能。 10. 电场力 已知某点的电场强度在数值上等于单位正电荷在该点 受到的电场力。因此,点电荷 受到的电场力为 若上式中 E 为点电荷 q 产生的电场强度,则 上式就是法国科学家库仑根据实验总结归纳的库仑定律。 已知带电体的电荷分布,原则上,根据库仑定律可以 计算带电体电荷之间的电场力。但是,对于电荷分布复杂 的带电系统,根据库仑定律计算电场力是非常困难的,有 时甚至无法求积。为了计算具有一定电荷分布的带电体之 间的电场力,通常采用虚位移法。这种方法是假定带电体 在电场作用下发生一定的位移,根据位移过程中电场能量 的变化与外力及电场力所作的功之间的关系计算电场力。 例 利用虚位移法计算平板电容器极板上受到的表面张力 。解 利用虚位移概念,假定由于同一极板上的同性电荷相 斥产生的表面张力为F。在此表面张力F 的作用下,使极 板面积扩大了dS,则电场力作的功为FdS。根据能量守恒 原理,这部分功应等于电场能量的减小值,即 已知平板电容器的能量为 ,代入上式,得 若虚位移时,极板与外源相连,因而电位保持不变。 那么,表面张力F 应为 那么将 代入,即可获得同样结果。 显然,对于不同的广义坐标,其广义力的含义不同。 对于位移而言,广义力就是普通概念的力,单位为N;对 于面积,广义力为表面张力,单位为N/m;对于体积,广 义力为膨胀力或压力,单位为N/m2;对于角度,广义力为 转矩,单位为N•m。若规定广义力的方向仍然为广义坐标 增加的方向,那么,广义力与广义坐标的乘积仍然等于功 。这样,前两式可分别改写为 式中的两微分符号变为偏微分是考虑到系统的能量可能与几 种广义坐标有关。l 代表对应于广义力的广义坐标。由上两 式可见,带电系统的能量与多少种广义坐标有关,就存在多 少种广义力。当带电系统的某一广义坐标发生变化时,若带 电系统的能量没有发生变化,也就不存在使该广义坐标发生 变化的广义力。 例 计算带电肥皂泡的膨胀力。 解 设肥皂泡的电量为q ,半径为a。利用常电荷系统公式 ,令式中广义坐标 l 代表体积 V,则受到的膨胀力F 为 已知半径为a,电量为q 的带电球的电位为 因此,携带的能量为 又知球的体积为 代入上式,得
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