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第十章 第一节 分类加法计数原理和分步乘法计数原理

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分类加法计数原理与分步乘法计数原理 分类加法计数原理与分步乘法计数 第十章计数原理 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理
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第 一节 分类 加法 计数 原理 与分 步乘 法计 数原 理 高考成功方案第一步 高考成功方案第二步 高考成功方案第三步 高考成功方案第四步 第 十章 计数 原理 、概 率、 随机 变量 及分 布列 返回 [考纲点击] 1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理,会用它们 分析和解决一些简单的实际问题. 返回 返回 1.从3名女同学2名男同学中选一人,主持本班的“勤俭 节约、从我做起”主题班会,则不同的选法种数为( ) A.6 B.5 C.3 D.2 解析:从3名女同学2名男同学中选一人共分两类:选一 名女生有3种方法,选一名男生有2种方法,故不同的选 法种数为3+2=5种. 答案:B 返回 2.5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限 报其中的一个小组,则不同的报名方法共有 ( ) A.10种 B.20种 C.25种 D.32种 解析:每位同学都有2种不同的报名方法,故不同 的报名方法有25=32种. 答案: D 返回 答案:D 返回 4.书架上原来并排着5本不同的书,现要再插入3本不同的 书,那么不同的插法共有________. 解析:将3本不同的书依次插入,分别为6、7、8种不同 的插法,故将3本不同的书插到原来并排的5本不同的书 中共有6×7×8=336种不同的排法. 答案:336 返回 5.如图用6种不同的颜色把图中A、B、C、D四块区域分 开,若相邻区域不能涂同一种颜色,则不同的涂法共 有__________种. 解析:从A开始,有6种方法,B有5种,C有4种,D、 A同色1种,D、A不同色3种, ∴不同涂法有6×5×4×(1+3)=480种. 答案:480 返回 1.分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m 种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法, 那么完成这件事共有N= 种不同的方法. m+n 返回 2.分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的 方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件 事共有N= 种不同的方法. m×n 返回 返回 返回 [自主解答] 以m的值为标准分类,分为五类.第一类:m =1时,使nm,n有6种选择;第二类:m=2时,使nm ,n有5种选择;第三类:m=3时,使nm,n有4种选择; 第四类:m=4时,使nm,n有3种选择;第五类:m=5 时,使nm,n有2种选择. ∴共有6+5+4+3+2=20(种)方法,即有20个符合题意的 椭圆. 返回 解:当m=2时,n=1,有1种选择; 当m=3时,n=1,2,有2种选择; 当m=4时,n=1,2,3,有3种选择; 当m=5时,n=1,2,3,4,有4种选择; ∴共有1+2+3+4=10种方法,即有10个符合题意的椭圆. 若将“焦点在y轴”改为“焦点在x轴”呢? 返回 [悟一法] 利用分类加法计数原理解决问题应注意以下两点: (1)所谓完成一件事有几类办法,指的就是完成这件事情的 所有办法的一个分类.分类时,首先要根据问题的特点 确定一个适合于它的一个分类标准,然后在这个标准下 进行分类; (2)分类时要注意满足一个基本要求,完成这件事的任何一 种方法必须属于某一类,并且分别属于不同种类的两种 方法是不同的方法. 返回 [通一类] 1.在所有的两位数中,个位数字小于十位数字的两位 数共有多少个? 解:一个两位数由十位数字和个位数字构成,考虑一 个满足条件的两位数,可先确定个位数字后再考虑十 位数字有几种可能.一个两位数的个位数字可以是 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,把这样的两位数分成10类:(1)当个 位数字为0时,十位数字可以是2,3,4,5,6,7,8,9,有9个 满足条件的两位数;(2)当个位数字为1时,十位数字 返回 可以是2,3,4,5,6,7,8,9,有8个满足条件的两位数;(3)当个 位数字为2时,十位数字可以是3,4,5,6,7,8,9,有7个满足条 件的两位数;以此类推,当个位数字分别是3,4,5,6,7,8,9时 ,满足条件的两位数分别有6,5,4,3,2,1,0个.由分类加法计 数原理可知,满足条件的两位数共有9+8+7+6+5+4+ 3+2+1+0=45个. 返回 [做一题] [例2] 已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)表示平 面上的点(a,b∈M),问: (1)P可表示平面上多少个不同的点? (2)P可表示平面上多少个第二象限的点? (3)P可表示多少个不在直线y=x上的点? 返回 [自主解答] (1)确定平面上的点P(a,b)可分两步完成: 第一步确定a的值,共有6种确定方法; 第二步确定b的值,也有6种确定方法. 根据分步乘法计数原理,得到平面上的点共有6×6=36个. 返回 (2)确定第二象限的点,可分两步完成: 第一步确定a,由于a<0,所以有3种确定方法; 第二步确定b,由于b>0,所以有2种确定方法. 由分步乘法计数原理,得到第二象限点的个数是3×2=6. (3)点P(a,b)在直线y=x上的充要条件是a=b.因此a和b必 须在集合M中取同一元素,共有6种取法,即在直线y=x上 的点有6个.结合(1)得不在直线y=x上的点共有36-6= 30(个). 返回 [悟一法] 应用分步乘法计数原理解决问题应注意以下两点. (1)明确“完成的一件事”是什么事,必须要经过几步才 能完成这件事,这几步的先后顺序怎样; (2)只有每个步骤都完成了,才算完成了这件事,缺少 任何一步,这件事都不可能完成. 返回 [通一类] 2.已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},若a,b,c∈M,则 (1)y=ax2+bx+c可以表示多少个不同的二次函数; (2)y=ax2+bx+c可以表示多少个图像开口向上的二次 函数. 解:(1)a的取值有5种情况,b的取值有6种情况,c的取值 有6种情况,因此y=ax2+bx+c可以表示5×6×6=180个不 同的二次函数. 返回 (2)y=ax2+bx+c的开口向上时,a的取值有2种情况 ,b、c的取值均有6种情况,因此y=ax2+bx+c可以 表示2×6×6=72个图像开口向上的二次函数. 返回 [例3]如图所示,将一个四棱锥的每一 个顶点染上一种颜色,并使同一条棱 上的两端异色,如果只有5种颜色可 供使用,求不同的染色方法总数. [做一题] 返回 [自主解答] 法一:可分为两大步进行,先将四棱锥侧 面三顶点染色,然后再分类考虑另外两顶点的染色数, 用分步乘法计数原理即可得出结论.由题设,四棱锥S -ABCD的顶点S、A、B所染的颜色互不相同,它们共 有5×4×3=60(种)染色方法. 返回 当S、A、B染好时,不妨设其颜色分别为1、2、3,若C染2, 则D可染3或4或5,有3种染法;若C染4,则D可染3或5,有2 种染法;若C染5,则D可染3或4,有2种染法.可见,当S、A 、B已染好时,C、D还有7种染法,故不同的染色方法有60×7 =420(种). 法二:以S、A、B、C、D顺序分步染色. 第一步,S点染色,有5种方法: 第二步,A点染色,与S在同一条棱上,有4种方法; 第三步,B点染色,与S、A分别在同一条棱上,有3种方法; 返回 第四步,C点染色,也有3种方法,但考虑到D点与S、A、 C相邻,需要针对A与C是否同色进行分类,当A与C同色 时,D点有3种染色方法;当A与C不同色时,因为C与S、 B也不同色,所以C点有2种染色方法,D点也有2种染色方 法.由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共 有5×4×3×(1×3+2×2)=420(种). 返回 返回 [悟一法] 在解决实际问题的过程中,并不一定是单一的分类 或分步,而是可能同时应用两个计数原理,即分类时, 每类的方法可能要运用分步完成,而分步时,每步的方 法数可能会采取分类的思想求.分类的关键在于要做到“ 不重不漏”,分步的关键在于要正确设计分步的程序,即 合理分类,准确分步. 返回 [通一类] 3.(2012·佛山模拟)对一个各边不等的凸五边形的各边 染色,每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种, 但是不允许相邻的边有相同的颜色,则不同的染色方 法共有________种. 返回 解析:本题考查了分类计数原理和分步计数原理,在应 用这两个原理时,注意要分清类和步,要充分体会分步 和分类的意义.如图,染五条边总体进行分五步,染每 一边时为一步.当染边1时有3种染法,则2有2种染法. ①当3与1同色时有1种染法,则4有2种,5有1种,此时染 法总数为3×2×1×2×1=12(种);②当3与1不同色时,3有1 种,当4与1同色时,4有1种,5有2种,当4与1不同色时 ,4有1种,5有1种,则此时有3×2×1×(1×2+1×1)=18(种) .综上由①②可得染法的种数为30种. 返回 答案:30 返回 返回 [热点分析] 从近两年的高考试题来看,两个计数原理在高考中单 独命题较少,一般与排列组合问题相结合,多为选择、填 空题.重点考查学生分析问题解决问题的能力及分类讨论 思想的应用. [考题印证] (2011·北京高考)用数字2,3组成四位数,且数字2,3至少都 出现一次,这样的四位数共有________个.(用数字作答) 返回 [答案] 14 返回 1.5位同学站成一排准备照相的时候,有两位老师碰巧路 过,同学们强烈要求与老师合影留念,如果5位同学顺序 一定,那么两位老师与同学们站成一排照相的站法总数为 ( ) A.6 B.20 C.30 D.42 返回 解析:因为五位学生已经排好,第一位老师站进去有6种选 择,当第一位老师站好后,第二位老师站进去有7种选择, 所以两位老师与学生站成一排的站法共有6×7=42种. 答案:D 返回 2.如果一条直线与一个平面平行,那么称此直线与平面 构成一个“平行线面组”,在一个长方体中,由两个顶 点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线 面组”的个数是 ( ) A.60 B.48 C.36 D.24 返回 解析:长方体的每一个面对应6个“平行线面组”,共有6×6 =36个; 长方体的每一个对角面对应2个“平行线面组”,共有6×2= 12个. ∴共有36+12=48个. 答案:B 返回 3.新学期开始,某校新招聘了6名教师,要把他们安排 到3个宿舍去,每个宿舍两人,其中甲必须在一号宿 舍,乙和丙均不能到三号宿舍,则不同的安排方法种 数为 ( ) A.6 B.9 C.12 D.18 返回 答案:B 返回 4.集合A含有5个元素,集合B含有3个元素.从A到B可 有________个不同映射. 解析:A中的任一元素在B中都有3种对应方法,且要 完成一个映射应该使A中的每一个元素在B中都能找 到唯一的元素与之对应,由乘法原理知共有 3×3×3×3×3=35=243个. 答案:243 返回 5.甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙两人所选 的课程中含有1门相同的选法有________种. 解析:第一步,选出1门作为甲、乙两人相同的选修课程 ,不同的选择方法有4种;第二步,再从剩下的3门中甲 选择1门,有3种不同的选择方法;第三步,从剩下的2门 中乙选择1门,有2种不同的选择方法,由分布乘法计数 原理可得,不同的选法共有4×3×2=24种. 答案:24 返回 点击下图片进入
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