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圆锥曲线中最值问题(4.19)

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圆锥曲线 中最值 问题
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主页 一、利用圆锥曲线的定义、性质 【2】若抛物线 y2=4x上点 P 到直线 l:y=x+3的距离最小,则 其最小值是______. D 主页 B F1F2 M x y o 一、利用圆锥曲线的定义、性质 主页 解:易知直线l 与抛物线相离. 设与y=x+3平行且与 y2=4x 相切的直线方程为y=x+b. 化简得 ∴切线方程为: 由①,②得切点为P(1, 2). 当抛物线过点 P 的切线与 l 平行时,点P 到直线的距离最小. 切点P到l的距离 【2】若抛物线 y2=4x上点 P 到直线 l:y=x+3的距离最小,则其最 小值是_________. 主页 【2】在抛物线 y2=4x上求一点 P, 使点P 到直线 l:y=x+3的距离最 小,并求其最小值. 主页 三、导数法 主页 四、基本不等式法 主页 一、圆锥曲线的定义 主页 四、三角函数的有界性 主页 四、基本不等式法 主页 六、函数的单调性 主页 当所求的最值可以表示成某个变量的函数关系 式时,我们常常先建立对应的函数关系式,然后利用函数方 法求出对应的最值,称这种方法为函数法,这是解析几何问 题中求最值的常用方法.函数法是研究数学问题的一种最重 要的方法,用这种方法求解圆锥曲线的最值问题时,除了重 视建立函数关系式这个关键点外,还要密切注意所建立的函 数式中的变量是否有限制范围,这些限制范围恰好制约了最 值的取得,因此在解题时要予以高度关注. 六、函数的单调性 主页 y x o A B C D 主页 从而得 主页 解得, 主页 即S的最小值为值为 32, 当且仅当k=1时取得最小值. 主页 求函数最值常用的代数法有 配方法、判别式法、导数法、基本不等式法 及函数的单调性、有界性法等. 椭圆、双曲线、抛物线的最值问题的 解题方法较灵活,学生时常感到无从 下手.常遇到面积最大最小问题,距 离的最长最短问题,不定量的最大最 小问题等等, 主页 圆锥曲线中求最值与范围问题是高考题中 的常考问题,解决此类问题,一般有两个思路 : (1)几何法.若题目的条件和结论能明显体 现几何特征及意义,可考虑利用图形几何性质 来解决; (2)代数法. ①函数法:若题目的条件和结论能体现一种 明确的函数关系,则可首先建立目标函数,通 过求函数的值域来获得问题的解;②不等式法: 是根据曲线性质及条件建立一个关于所求变量 的不等式,再解不等式,求其最值的方法. 主页 B F1F2 M x y o 一、利用圆锥曲线的定义、性质 主页 利用圆锥曲线的定义将折线段和的问题化归为平面上直 线段最短来解决. 一、利用圆锥曲线的定义、性质 (当三点共线时等号成立) 主页 已知F是双曲线 的左焦点, A(1, 4), P是 双曲线右支上的动点, 则|PF|+|PA|的最小值为_____.9 F1(4, 0), |PF|-|PF1|=4. ∴|PF|+|PA|= 4+|PF1|+|PA|. 当且仅当P, F1 , A三点共线时取等号. A y F1 F xO P ≤ 4+|AF1| 一、利用圆锥曲线的定义、性质 主页 二、切线法 解: 设 P (x0, y0), 依题意, 知当抛物线过点 P 的切线与 l 平行 时, △ABP的面积最大. 主页 二、切线法 主页 当所求的最值值是圆锥圆锥 曲线线上的点到某条直线线的距离的最 值问题时值问题时 ,可以通过过作与这这条直线线平行的圆锥圆锥 曲线线的切线线, 则则两条平行线间线间 的距离,就是所求的最值值,切点就是曲线线上 取得最值值的点,这这种求最值值的方法称为为切线线法. 切线线法的基本思想是数形结结合,其中求曲线线的切线线方程 需要利用导导数知识识,判断切线线与曲线线的最值值需要借助几何图图 形的直观观性,通过图过图 形来确定何时时取得最大值值,何时时取得最 小值值. 主页 解:易知直线l 与抛物线相离. 设与y=x+3平行且与 y2=4x 相切的直线方程为y=x+b. 化简得 ∴切线方程为: 由①,②得切点为P(1, 2). 当抛物线过点 P 的切线与 l 平行时,点P 到直线的距离最小. 切点P到l的距离 【2】若抛物线 y2=4x上点 P 到直线 l:y=x+3的距离最小,则其最 小值是_________. 主页 【2】在抛物线 y2=4x上求一点 P, 使点P 到直线 l:y=x+3的距离最 小,并求其最小值. 主页 主页 y x o A B C D 主页 从而得 主页 解得, 主页 即S的最小值为值为 32, 当且仅当k=1时取得最小值. 主页 四、基本不等式法 先将所求最值的量用变量表示出来,再利先将所求最值的量用变量表示出来,再利 用基本不等式求这个表达式的最值用基本不等式求这个表达式的最值. . 这种方法是求圆锥曲线中最值问题应用最这种方法是求圆锥曲线中最值问题应用最 为广泛的一种方法为广泛的一种方法. . 主页 【6】椭圆x2+8y2=8上的点到直线l:x-y+4 =0的最小距离是______. y x O A2 A1 B1 B2 F1F2 六、参数法 主页 【6】椭圆x2+8y2=8上的点到直线l:x-y+4 =0的最小距离是______. 六、参数法 根据曲线方程的特点,用适当的参数表示曲线上点的根据曲线方程的特点,用适当的参数表示曲线上点的 坐标,把所求的最值归结为求解关于这个参数的函数的最值坐标,把所求的最值归结为求解关于这个参数的函数的最值 的方法的方法. . 主页 【4】Q, P是抛物线y2 = x与圆 (x-3)2+y2=1上 的两动点, 则PQ的最小值是______. P A Q x y o 六、参数法 主页 主页 [听课记录] 主页 • 离心率的范围问题其关键就是确立一 个关于a,b,c的不等式,再根据a,b,c的关 系消掉b得到关于a,c的不等式,由这个不等 式确定e的范围. 主页 主页 主页 主页 •2.解决圆锥曲线中最值、范围问题 的基本思想是建立目标函数和建立不等关 系,根据目标函数和不等式求最值、范围 ,因此这类问题的难点,就是如何建立目 标函数和不等关系.建立目标函数或不等 关系的关键是选用一个合适变量,其原则 是这个变量能够表达要解决的问题,这个 变量可以是直线的斜率、直线的截距、点 的坐标等,要根据问题的实际情况灵活处 理. 主页 主页 主页 主页 主页 主页 主页 主页 主页 x y o A B S P 主页 x y o A B S P 主页 x y o A B S E F 主页 x y o A B S P E 主页 x y o A B S P E 化简得, 主页 •必备方法 主页 讲讲离心率的故事 椭圆、双曲线的离心率是一个重要 的基本量,在椭圆中或在双曲线中都有着极其 特殊的应用,也是高考常考的问题,通常有两 类: 一是求椭圆和双曲线的离心率的值 ; 二是求椭圆和双曲线离心率的取值 范围. 主页 主页 离心率是“沟通”a,b,c的重要中介之一,本题在产 生关于a,b,c的关系式后,再将关系式转化为关于 离心率e的方程,通过方程产生结论. 主页 主页 [听课记录] 主页 • 离心率的范围问题其关键就是确立一 个关于a,b,c的不等式,再根据a,b,c的关 系消掉b得到关于a,c的不等式,由这个不等 式确定e的范围.
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