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2015-2016学年高中数学 第二章 推理与证明章末归纳总结课件 新人教A版选修2-2

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成才之路 · 数学 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 人教A版 · 选修2-2 推理与证明 第二章 章末归纳总结 第二章 典例探究学案2 自主预习学案 1 自主预习学案 1.进行类比推理时,可以从①问题的外在结构特征,② 图形的性质或维数.③处理一类问题的方法.④事物的相似性 质等入手进行类比.要尽量从本质上去类比,不要被表面现象 迷惑,否则,只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比,就会 犯机械类比的错误. 2.进行归纳推理时,要把作为归纳基础的条件变形为有 规律的统一的形式,以便于作出归纳猜想. 3.推理证明过程叙述要完整、严谨、逻辑关系清晰、不 跳步. 4.注意区分演绎推理和合情推理,当前提为真时,前者 结论一定为真,而后者结论可能为真也可能为假. 合情推理得到的结论其正确性需要进一步推证,合情推理 中运用猜想时要有依据. 5.用反证法证明数学命题时,必须把反设作为推理依据 .书写证明过程时,一定要注意不能把“假设”误写为“设”,还 要注意一些常见用语的否定形式. 6.分析法的过程仅需要寻求结论成立的充分条件即可, 而不是充要条件. 分析法是逆推证明,故在利用分析法证明问题时应注意逻 辑性与规范性.一般地,用分析法书写解题步骤的基本格式是 : 要证:……,只需证……,只需证……, ……,……显然成立,所以……成立. 7.应用数学归纳法证明有关自然数n的命题时,第一步验 证n取第一个值时,必须注意项数,第二步从n=k到n=k+1的 过渡必须注意两点,一是n=k+1的证明必须用上归纳假设, 二是弄清n=k与n=k+1时命题(等式、不等式、几何命题等)的 变化. 1.异面直线在同一平面内的射影不可能是( ) A.两条平行直线 B.两条相交直线 C.一点与一直线D.同一条直线 [答案] D [解析] 若两条直线在同一平面的射影是同一直线,则这 两条直线的位置关系为平行或相交或重合,这均与异面矛盾, 故异面直线在同一平面内的射影不可能为一条直线.故应选 D. 2.(2014·东北四校联考)根据下面一组等式 S1=1, S2=2+3=5, S3=4+5+6=15, S4=7+8+9+10=34, S5=11+12+13+14+15=65, S6=16+17+18+19+20+21=111, S7=22+23+24+25+26+27+28=175, … 可得S1+S3+S5+…+S2n-1=________________. [答案] n4 [解析] 根据所给等式组,不难看出:S1=1=14; S1+S3=1+15=16=24; S1+S3+S5=1+15+65=81=34, S1+S3+S5+S7=1+15+65+175=256=44, 由此可得S1+S3+S5+…+S2n-1=n4. 3.对于平面几何中的命题:“夹在两条平行线之间的平行 线段相等”,在立体几何中,类比上述命题,可以得到命题: “_________________”,这个类比命题是____________命题(填“ 真”或“假”). [答案] 夹在两个平行平面间的平行线段相等;真 [解析] 类比推理要找两类事物的类似特征,平面几何中 的线,可类比立体几何中的面.故可类比得出真命题“夹在两 个平行平面间的平行线段相等”. 典例探究学案 归纳是通过对特例的观察和综合去发现一般规律,一般通 过观察图形或分析式子寻找规律,归纳过程的典型步骤是:先 在诸多特例中发现某些相似性,再把相似性推广为一个明确表 述的一般命题,最后对该命题进行检验或论证. 合情推理——归纳推理 观察下列等式: 1=1 13=1 1+2=3 13+23=9 1+2+3=6 13+23+33=36 1+2+3+4=10 13+23+33+43=100 1+2+3+4+5=15 13+23+33+43+53=225 … … 可以推测:13+23+33+…+n3=____________.(n∈N*, 用含有n的代数式表示) 类比是提出新问题和作出新发现的一个重要源泉,是一种 较高层次的信息迁移,应用类比的关键就在于如何把相关对象 在某些方面的一致性说清楚. 合情推理——类比推理 如图①所示,在 △ABC中,射影定理可表示为a=b·cosC+ c·cosB,其中a、b、c分别为角A、B、C的对边 ,类比上述定理,写出对空间四面体性质的猜 想. 从思维过程的指向来看,演绎推理是以某一类事物的一般 判断为前提,而作出关于某个该类事物的判断的思维过程,因 此是从一般到特殊的推理.数学中的演绎推理一般是以三段论 的格式进行的.三段论由大前提、小前提和结论三个命题组成 ,大前提是一个一般性原理,小前提给出了适合这个原理的一 个特殊场合,结论是大前提和小前提的逻辑结果. 演绎推理 综合法是我们在已经储存了大量的知识,积累了丰富的经 验的基础上所用的一种方法,是从已知条件和某些定义、定理 、公理、公式等出发,通过推理得出要证明的结论的思维方式 . 综合法 分析法是一种从未知到已知的逻辑推理方法.在探求问题 的证明时,它可以帮助我们构思,因而在一般分析问题时,较 多地采用分析法,只是找到思路后,往往用综合法加以叙述, 正如恩格斯所说“没有分析就没有综合”,在数学证明中不能把 分析法和综合法绝对分开. 分析法 反证法不是去直接证明结论,而是先否定结论,在此基础 上运用演绎推理,导出矛盾,从而肯定结论的真实性. 反证法 数学归纳法是专门证明与正整数有关的命题的一种方法. 它是一种完全归纳法,它的证明共分两步,其中第一步是命题 成立的基础,称为“归纳奠基”(或称特殊性).第二步解决的是 延续性(又称传递性)问题称为归纳递推.运用数学归纳法证明 有关命题要注意以下几点: 数学归纳法 1.两个步骤缺一不可. 2.第二步中,证明“当n=k+1时结论正确”的过程里,必 须利用“归纳假设”即必须用上“当n=k时结论正确”这一结论. 数学归纳法可以用来证明与正整数有关的代数恒等式、三 角恒等式、不等式、整除性问题及几何问题.
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