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2011《金版新学案》高三数学一轮复习 3-5 数列综合应用课件 (文) 全国.重庆专版

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第五节 数列的综合应用 • 数列应用问题的常见模型 • (1)等差模型:一般地,如果增加(或减少) 的量是一个固定的具体量时,该模型是等 差模型,增加(或减少)的量就是公差.其 一般形式是:an+1-an=d(常数). • (2)等比模型:一般地,如果增加(或减少) 的量是一个固定的百分数时,该模型是等 比模型. • (3)混合模型:在一个问题中,同时涉及到 等差数列和等比数列的模型. • (4)生长模型:如果某一个量,每一期以 一个固定的百分数增加(或减少),同时又 以一个固定的具体量增加(或减少)时,我 们称该模型为生长模型.如分期付款问 题,树木的生长与砍伐问题 等. • (5)递推模型:如果容易找到该数列任意 一项an与它的前一项an-1(或前n项)间的 递推关系式,那么我们可以用递推数列 的知识求解问题 . •(1)认真阅读题干,明确所给条件 是组成等差数列还是等比数列或者是组成 一个递推关系式,确定出相应的数列模型 . • (2)如果是等差数列、等比数列,应明确a1 ,an,n,d,q,Sn这些基本量,已知哪几 个,要求哪几个;如果是递推数列,应明 确的是Sn还是an或者是二者综合的,然后 再确定要求解的量. • (3)现实生活中涉及到银行利率、存款利息 、企业股金、产品利润、人口增长、产值 产量等问题,常常考虑用数列的知识加以 解决. • (4)利息=本金×利率×存期,当涉及到复 利问题时,常用等比数列模型解决问题. 当涉及到分期付款问题时,由于一般采用 复利计算利息的办法,所以也要借助等比 数列模型解决. • 1.设{an}是递增等差数列,前三项的和 为12,前三项的积为 48,则它的首项是 • ( ) • A.1 B.2 • C.4 D.6 【答案】 B • 2.有一种细菌和一种病毒,每个细菌在 每秒钟末能在杀死一个病毒的同时将自 身分裂为2个,现在有一个这样 的细菌和 100个这样 的病毒,问细 菌将病毒全部杀 死至少需要 • ( ) • A.6秒钟 B.7秒钟 • C.8秒钟 D.9秒钟 • 【解析】 依题意1+21+22+…+2n- 1≥100, • 则所求为7秒钟. • 【答案】 B • 【解析】 由题意可知 是其对称中心 , • a1+a10=0,a2+a9=0,… • 即a1+a2+…+a10=0,即S10=0, • 而a11=f(11)0,∴S110. • 【答案】 B • 4.若A、B、C成等差数列,则直线Ax+ By+C=0必过点________. • 【解析】 ∵2B=A+C,∴A-2B+C= 0, • ∴直线Ax+By+C=0必过点(1,-2). • 【答案】 (1,-2) • 5.在等差数列{an}中,满足3a4=7a7,且 a10,Sn是数列{an}前n项的和,若Sn取得 最大值,则n=________. • 【解析】 设公差d,由题设 • 3(a1+3d)=7(a1+6d), 【答案】 9 •某公司按现有能力,每月收入为70万 元,公司分析部门测 算,若不进行改革 ,入世后因竞争加剧收入将逐月减少. 分析测算得入世第一个月收入将减少3万 元,以后逐月多减少2万元,如果进行改 革,即投入技术改造300万元,且入世后 每月再投入1万元进行员工培训,则测 算 得自入世后第一个月起累计收入Tn与时间 n(以月为单 位)的关系为Tn=an+b,且入 世第一个月时收入为90万元,第二个月 时累计收入为170万元,问入世后经过 几 个月,该公司改革后的累计纯 收入高于 不改革时的累计纯 收入? • 【思路点拨】 计算出改革前后的纯收入 ,从而求得系数a,b. • 由题意建立不等式80n+10-300-n>70n -3n-n(n-1), • 即n2+11n-290>0,得n>12.4. • ∵n∈N￿,∴取n=13. • 【答案】 入世后经过 13个月,该公司 改革后的累计纯 收入高于不改革时的累 计纯 收入. •某县为 了加快新农村建设,该县 在 2008年新建住房40万平方米,其中有25万 平方米是中低价房,预计 在今后的若干 年内,该县 每年新建住房面积平均比上 一年增长8%.另外,每年新建住房中,中 低价房的面积均比上一年增加5万平方米 ,那么,到哪一年底, • (1)该县历 年所建中低价房的累计面积(以 2008年为累计的第一年)将首次不少于475 万平方米? • (2)当年建造的中低价房的面积占该年建 造住房面积的比例首次大于85%?(参考 数据:1.084≈1.36,1.085≈1.47,1.086≈1.59) • 【解析】 (1)设中低价房的面积形成的数 列为{an}, • 由题意可知{an}是等差数列,其中a1=25 ,d=5, • 则an=25+(n-1)·5=5n+20 • Sn=25n+ ×5=2.5n2+22.5n, • 令2.5n2+22.5n≥475, • 即n2+9n-190≥0,而n是正整数,∴n≥10. • ∴到2017年底,该县历年所建中低价房的 累计面积将首次不少于475万平方米. • (2)设新建住房面积形成数列{bn},由题意 可知{bn}是等比数列,其中b1=40,q= 1.08,则bn=40·(1.08)n-1. • 由题意可知an>0.85bn, • 即5n+20>40·(1.08)n-1·0.85. • 当n=5时,a5<0.85b5, • 当n=6时,a6>0.85b6, • ∴满足上述不等式的最小正整数n为6. • ∴到2013年底,当年建造的中低价房的面 积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%. •与等比数列联系较大的是“增长率 ”、“递减率”的概念,在经济上多涉及利润 、成本、效益的增减问题;在人口数量的 研究中也要研究增长率问题;金融问题更 多涉及复利的问题.这都与等比数列有关 . •1.某市2008年共有1万辆燃油型 公交车,有关部门计 划于2009年投入128 辆电 力型公交车,随后电力型公交车每 年的投入比上一年增加50%,试问 : • (1)该市在2015年应该 投入多少辆电 力型 公交车? • (2)到哪一年底,电力型公交车的数量开 始超过该 市公交车总 量的 ?(lg 657= 2.82,lg 2=0.30,lg 3=0.48) • 【解析】 (1)该市逐年投入的电力型公交 车的数量组成等比数列{an},其中a1=128 ,q=1.5, • 则在2015年应该投入的电力型公交车为a7 =a1·q6=128×1.56=1 458(辆). •已知f(x)=logax(a>0且a≠1),设f(a1), f(a2),…,f(an)(n∈N￿)是首项为 4,公差 为2的等差数列. • (1)设a为常数,求证:{an}成等比数列; • (2)若bn=anf(an),{bn}的前n项和是Sn,当 a= 时,求Sn. • =16+2n+3-24-n·2n+3-2n+3 • =-n·2n+3. • ∴Sn=n·2n+3. •数列与函数的综合问题主要有以 下两类: • (1)已知函数条件,解决数列问题.此类问 题一般利用函数的性质、图象研究数列问 题; • (2)已知数列条件,解决函数问题.解决此 类问题一般要充分利用数列的范围、公式 、求和方法对式子化简变形. •2.已知曲线C:y=x2(x0),过C 上的点A1(1,1)作曲线C的切线l1交x轴于点 B1,再过点B1作y轴的平行线交曲线C于 点A2,再过点A2作曲线C的切线l2交x轴于 点B2,再过点B2作y轴的平行线交曲线C 于点A3,…,依次作下去,记点An的横坐 标为 an(n∈N*). • (1)求数列{an}的通项公式; • (2)设数列{an}的前n项和为Sn,求证: anSn≤1. • 函数、数列、不等式是高中重要的知识交 汇点,以数列为背景的不等式证明问题 及以函数为背景的数列构造问题 在全国 各省市的高考试题 中都扮演着重要的角 色.函数、数列、不等式的交汇问题 具 有命题操作过程简单 ,构造技巧强的特 点,因此一直受到高考命题者的青睐. 【答案】 A • 2.(2009年安徽卷)已知数列{an}的前n项 和Sn=2n2+2n,数列{bn}的前n项和Tn=2 -bn. • (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; • (2)设cn=a·bn,证明:当且仅当n≥3时, cn+1<cn. • 【解析】 (1)a1=S1=4. • 对于n≥2,有an=Sn-Sn-1=2n(n+1)-2(n -1)n=4n. • 综上,{an}的通项公式an=4n. • 将n=1代入Tn=2-bn,得b1=2-b1,故 T1=b1=1. • (求bn解法1)对于n≥2,由Tn-1=2-bn-1, • Tn=2-bn得bn=Tn-Tn-1=-(bn-bn-1), • bn= bn-1,bn=21-n. • (求bn解法2)对于n≥2,由Tn=2-bn得 • Tn=2-(Tn-Tn-1), • 2Tn=2+Tn-1,Tn-2= (Tn-1-2), • Tn-2=21-n(T1-2)=-21-n, • Tn=2-21-n, • bn=Tn-Tn-1=(2-21-n)-(2-22-n)=21- n. • 综上,{bn}的通项公式bn=21-n.
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