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一概率论的基本概念

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概率论的基本概念 概率论基本概念 概率论的基础概念
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第一章 概率论的基本概念 第一节 样本空间、随机事件 第二节 概率、古典概型 第三节 条件概率、全概率公式 第四节 独立性 第一节 样本空间 随机事件 在一定条件下,试验有多种可能的结果,但事 先又不能预测是哪一种结果的现象称随机现象 。 1、随机试验 概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计 规律性的一门基础学科。 上一页 下一页 返 回 则把这一试验称为随机试验,常用E表示。 对随机现象进行的观察或实验称为试验。 (2)每次试验的可能结果不止一个,并且事 先可以知道试验的所有可能结果。 (3)进行一次试验之前,不能确定会出现 哪一个结果。 若一个试验具有下列三个特点: (1)在相同条件下可重复进行。 上一页 下一页 返 回 例1 : 从一批产品中任取8件,观察其中的正品件数, 则这一试验的样本空间为:  ={0,1,2,3,4,5,6,7,8} 引入下列随机事件: A={正品件数不超过3}={0,1,2,3} B={取到2件至3件正品}={2,3} C={取到2件至5件正品}={2,3,4,5} D={取到的正品数不少于2且不多于5}={2,3,4,5} E={取到的正品数至少为4}={4,5,6,7,8} F={取到的正品数多于4}={5,6,7,8} 上一页 下一页 返 回 2、随机事件与样本空间 随机事件(简称事件): 在随机试验中,可能发生也可能不发生的结果。 通常用大写字母A、B,…表示。 基本结果: (1)每次试验必然出现且只能出现其中一个基本 结果。 (2)任何结果,都是由其中一些基本结果组成, 每个基本结果称样本点。 上一页 下一页 返 回 随机事件中有两个极端情况: •每次试验中都必然发生的事件,称为必然事件 。 •每次试验中都不发生的事件,称为不可能事件 。 基本事件是样本空间的单点集。 复合事件是由多个样本点组成的集合。 必然事件包含一切样本点,它就是样本空间。 不可能事件不含任何样本点,它就是空集 。 样本空间: 随机试验E的全体基本事件组成的集合。记为。 上一页 下一页 返 回 表示事件A包含于事件B或称事件B包含事件A,指 事件A发生必然导致事件B发生. 3、事件间的关系及其运算 事件A1,A2,…An 的和记为 ,或A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An 表示事件A与事件B中至少有一个事件发生,称此事 件为事件A与事件B的和(并)事件,或记为A+B. 上一页 下一页 返 回 表示事件A与事件B同时发生, 称为事件A与事件B的 积(交)事件,记为AB。积事件AB是由A与B的公共 样本点所构成的集合。 可列个事件A1 , A2 , … , An 的积记为A1 ∩ A2 ∩ … ∩ An 或A1A2 … An ,也可简记为 。 在可列无穷的场合,用 表示事件“A1、A 2 、 …诸事 件同时发生。” 上一页 下一页 返 回 事件A发生但事件B不发生,称为事件A与事件B的差 事件。显然有: 则称A和B是互不相容的或互斥的,指事件A与B不 可能同时发生。 基本事件是两两互不相容的。 上一页 下一页 返 回 则称A和B互为对立事件,或称A与B互为逆事件。 事件A的逆事件记为 , 表示“A不发生”这一事件。 对于任意的事件A,B只有如下分解: 上一页 下一页 返 回 A B B A A BB A A B B A A 上一页 下一页 返 回 事件的运算律 (1)交换律:A∪B=A∪B,AB=BA (2)结合律(A∪B)∪C=A∪(B∪C) (3)分配律:A ∩ (B∪C)= (A∩B)∪( A ∩ C ) (A∩B)∩C=A∩(B∩C) A∪(B ∩ C)=(A∪B)∩(A∪C) (4)德·摩根律(De Morgan): 上一页 下一页 返 回 例2: 设A,B,C为三个事件,试用A,B,C表 示下列事件: (1)A发生且B与C至少有一个发生; (2)A与B都发生而C不发生; (3)A,B,C恰有一个发生; (4)A,B,C中不多于一个发生; (5)A,B,C不都发生; (6)A,B,C中至少有两个发生。 上一页 下一页 返 回 上一页 下一页 返 回 第二节 概率、古典概率 1、概率 定义1: 在相同条件下,进行了n次试验.若随机事件A在 这n次试验中发生了k次,则比值 称为事件A在n次实 验中发生的频率,记为 频率具有下列性质: (1)对于任一事件A,有 (2) 上一页 下一页 返 回 上一页 下一页 返 回 历史上著名的统计学家蒲丰(Buffon)和皮尔逊 (Pearson)曾进行过大量抛硬币的试验,其结果如表 所示. 实验实验 者nkf 德·摩根204810610.5181 蒲丰404020480.5069 K·皮尔逊逊1200060190.5016 K·皮尔逊逊24000120120.5006 可见出现正面的频率总在0.5附近摆动.随着试验次数 的增加,它会逐渐稳定于0.5. 上一页 下一页 返 回 定义2: 设事件A在n次重复试验中发生了k次, n很大时, 频率 稳定在某一数值p的附近波动,而随着试验次数n 的增加,波动的幅度越来越小,则称p为事件A发生的概 率,记为 上一页 下一页 返 回 定义3: 2、概率的公理化定义 上一页 下一页 返 回 概率的性质: 上一页 下一页 返 回 上一页 下一页 返 回 3、古典概型 定义4: 设随机试验E满足如下条件: (1)试验的样本空间只有有限个样本点,即 (2) 每个样本点的发生是等可能的,即 则称试验为古典概型,也称为等可能概型。 古典概型 中事件A的概率计算公式为 上一页 下一页 返 回 例3:从0,1,2, …,9共10个数字中随机地有放回地接连取4 个数字,并按其出现的先后排成一行.试求下列事件的概 率 上一页 下一页 返 回 上一页 下一页 返 回 例4: (一个古老的问题)一对骰子连掷25次.问出现双6 与不出现双6的概率哪个大? 上一页 下一页 返 回 4、几何概型 若试验具有如下特征: 上一页 下一页 返 回 例5 (约会问题)甲、乙两人相约在某一段时间T内在预 定地点会面。先到者等候另一人,经过时间t(t0,则有 P(AB)=P(A)P(B│A) 同样,当P(B)0时,有: P(AB)=P(B)P(A│B) 2、乘法定理 乘法定理可推广至任意有限个事件的情形: 上一页 下一页 返 回 3、全概率公式与贝叶斯公式 上一页 下一页 返 回 全概率公式 上一页 下一页 返 回 贝叶斯公式 上一页 下一页 返 回 例3:某工厂由甲,乙,丙三台机器生产同一型号的产品, 它们的产量各占30%,35%,35%,废品率分别为 5%,4%,3%.产品混在一起.(1)从该厂的产品任取一件,求 它是废品的概率.(2)若取出产品是废品,求它是由甲,乙, 丙三台机器生产的概率各是多少? 上一页 下一页 返 回 上一页 下一页 返 回 例4: 对以往的数据分析结果表明,当机器调整良好时, 产品的合格率为90%,而机器未调整良好时,其合格率为 30%.每天机器开动时,机器调整良好的概率为75%.试求 已知某日生产的第一件产品是合格品,机器调整良好的 概率是多少? 解: 设A={机器调整良好},B={生产的第一件产品为 合格品}.已知 上一页 下一页 返 回 第四节 独立性 1、事件的独立性 定理 定义7: 定义8: 上一页 下一页 返 回 定义9: 上一页 下一页 返 回 例1: 假设我们掷两次骰子,并定义事件A={第一次掷得 偶数},B={第二次掷得奇数},C={两次都掷得奇数或偶数 },证明A,B,C两两独立,但A,B,C不相互独立. 证明: 容易算出 上一页 下一页 返 回 例2: 甲、乙两射手射击同一目标,他们击中目标的概 率分别为0.9与0.8,求在一次射击中(每人各射一次)目标 被击中的概率. 上一页 下一页 返 回 2、 贝努里试验模型 定义10: 上一页 下一页 返 回 定理1: 上一页 下一页 返 回 例3: 一副扑克牌(52张),从中任取13张,求至少有一张 “A”的概率。 解: 设A={任取的13张牌中至少一张“A”},并设Ai={任 取的13张牌中恰有i张“A”},i=1,2,3,4则 上一页 下一页 返 回
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