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实际问题和二次函数两课时的

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实际问题与二次函数 课时实际问题与二次函数 实 际问题的
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二次函数实际应用第一课时 做一做 1.用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙 的矩形菜园,墙长为18m,这个矩形的长, 宽各为多少时?菜园的面积最大,面积是多 少 2.用总长为60米的篱笆围成矩形场地,矩形 面积S随矩形一边长L的变化而变化,当L是 多少米时,场地的面积S最大? ? 最大利润问题 某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元 .根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在 某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价 每降低1元,就可以多售出200件.请你帮助分析:销售 单价是多少时,可以获利最多? 实际问题 设销售价为x元(x≤13.5元),那么 销售量可表示为 : 件; 销售额可表示为: 元; 所获利润可表示为: 元; 当销售单价为 元时,可以获得最大利润,最 大利润是 元. 某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出 300件,市场调查反映:每涨价1元,每星期少卖出10 件;每降价1元,每星期可多卖出18件,已知商品的 进价为每件40元,如何定价才能使利润最大? (1)题目中有几种调整价格的方法? (2)题目涉及到哪些变量?哪一个量是自变量? 哪些量随之发生了变化? 调整价格包括涨价和降价两种情况 涨价: (1)设每件涨价x元,则每星期售出商品的利润y也 随之变化,我们先来确定y与x的函数关系式。涨价x元时 则每星期少卖_____件,实际卖出___________件,销额为 _______________元,买进商品需付________________元 因此,所得利润为_____________________________元 10x (300-10x) (60+x)(300-10x)40(300-10x) y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x) 即 (0≤x≤30) (0≤x≤30) 所以,当定价为65元时,利润最大,最大利润为6250元 解:设降价x元时利润最大,则每星期可多卖18x件,实 际卖出(300+18x)件,销售额为(60-x)(300+18x)元,买进 商品需付40(300-10x)元,因此,得利润 答:定价为 元时,利润最大,最大利润为6050元 (0≤x≤20) x(元)152030… y(件)252010… 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数。 (1)求出日销售量 y(件)与销售价 x(元 )的函数关系式; (2)要使每日的销售利润最大,每件产品 的销售价应定为多少元?此时每日销售利润是 多少元? 2. 某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售 价 x(元)与产品的日销售量 y(件)之间的关系如下: (2)设每件产品的销售价应定为 x 元,所获销售利润为 w 元。则 产品的销售价应定为25元,此时每日获得最大销售利 润为225元。 则 解得:k=-1,b=40。 (1)设此一次函数解析式为 。 所以一次函数解析为 。 设旅行团人数为x人,营业额为y元,则 3. 某旅行社组团去外地旅游,30人起组团,每人单价 800元.旅行社对超过30人的团给予优惠,即旅行团每增 加一人,每人的单价就降低10元.你能帮助分析一下,当旅 行团的人数是多少时,旅行社可以获得最大营业额? 4. 某宾馆有50个房间供游客居住,当每个 房间的定价为每天180元时,房间会全部住满。 当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有 一个房间空闲。如果游客居住房间,宾馆需对 每个房间每天支出20元的各种费用.房价定为多 少时,宾馆利润最大? 解:设每个房间每天增加x元,宾馆的利润为y元 y =(50-x/10)(180+x)-20(50-x/10) y =-1/10x2+34x+8000 5. 某个商店的老板,他最近进了价格为30元 的书包。起初以40元每个售出,平均每个月能售 出200个。后来,根据市场调查发现:这种书包 的售价每上涨1元,每个月就少卖出10个。现在 请你帮帮他,如何定价才使他的利润最大? 6. 某商场销售某种品牌的纯牛奶,已知进价为 每箱40元,市场调查发现:若每箱以50 元销售,平 均每天可销售100箱. 价格每箱降低1元,平均每天 多销售25箱 ; 价格每箱升高1元,平均每天少销售4 箱。如何定价才能使得利润最大? 若生产厂家要求每箱售价在45—55元之间。如 何定价才能使得利润最大?(为了便于计算,要求 每箱的价格为整数) 7. 有一经销商,按市场价收购了一种活蟹1000千克 ,放养在塘内,此时市场价为每千克30元。据测算,此 后每千克活蟹的市场价,每天可上升1元,但是,放养一 天需各种费用支出400元,且平均每天还有10千克蟹死去 ,假定死蟹均于当天全部售出,售价都是每千克20元( 放养期间蟹的重量不变). ⑴设x天后每千克活蟹市场价为P元,写出P关于x的 函数关系式. ⑵如果放养x天将活蟹一次性出售,并记1000千克蟹 的销售总额为Q元,写出Q关于x的函数关系式。 ⑶该经销商将这批蟹放养多少天后出售,可获最大 利润,(利润=销售总额-收购成本-费用)?最大利润是 多少? 二次函数实际应用第二课时 例1.某涵洞是抛物线形,它的截面如图所 示,现测得水面宽1.6m,涵洞顶点O到水 面的距离为2.4m,在图中直角坐标系内 ,涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么 ? 分析: 如图,以AB的垂直平分线为y轴,以过点 O的y轴的垂线为x轴,建立了直角坐标系.这 时,涵洞所在的抛物线的顶点在原点,对称轴 是y轴,开口向下,所以可设它的函数关系式 是 .此时只需抛物线上的一个点就 能求出抛物线的函数关系式. AB 解:如图,以AB的垂直平分线为y轴,以过点 O的y轴的垂线为x轴,建立了直角坐标系。 由题意,得点B的坐标为(0.8,-2.4), 又因为点B在抛物线上,将它的坐标代入 ,得 所以 因此,函数关系式是 B A 问题2 一个涵洞成抛物线形,它的截面如图,现测 得,当水面宽AB=1.6 m时,涵洞顶点与水面 的距离为2.4 m.这时,离开水面1.5 m处,涵 洞宽ED是多少?是否会超过1 m? 解一 解二 解三 探究3 图中是抛物线形拱桥,当水面在 L 时,拱 顶离水面2m,水面宽4m,水面下降1m时,水面宽度 增加了多少? 继续 解一 如图所示, 以抛物线的顶点为原点,以抛物线的对称轴为 轴,建立平面直角坐标系。 ∴可设这条抛物线所表示 的二次函数的解析式为: 当拱桥离水面2m时,水面宽4m 即抛物线过点(2,-2) ∴这条抛物线所表示的二 次函数为: 当水面下降1m时,水面的 纵坐标为y=-3,这时有: ∴当水面下降1m时,水面宽 度增加了 返回 解二 如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴,以抛物线 的对称轴为y轴,建立平面直角坐标系. 当拱桥离水面2m时,水面宽4m 即:抛物线过点(2,0) ∴这条抛物线所表示的二 次函数为: 当水面下降1m时,水面的 纵坐标为y=-1,这时有: ∴当水面下降1m时,水面宽 度增加了 ∴可设这条抛物线所表示 的二次函数的解析式为: 此时,抛物线的顶点为(0,2) 返回 解三 如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴,以其中 的一个交点(如左边的点)为原点,建立平面直角坐标系. ∴可设这条抛物线所表示 的二次函数的解析式为: ∵抛物线过点(0,0) ∴这条抛物线所表示的二 次函数为: 当水面下降1m时,水面的 纵坐标为y=-1,这时有: ∴当水面下降1m时,水面宽 度增加了 此时,抛物线的顶点为(2,2) ∴这时水面的宽度为: 返回 喷泉与二次函数 一公园要建造圆形喷水池,在水池中央垂直于 水面处安装一个柱子OA,O恰在水面中心, OA=1.25m,由柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流 在各个方向沿形状相同的抛物线落下,为使水流形 状较为漂亮,要求设计成水流在离OA距离为1m处达 到距水面最大高度2.25m. 如果不计其它因素,那么水池的半径至少要多少 m才能使喷出的水流不致落到池外? 实际问题 根据对称性,如果不计其它因素,那么水池的 半径至少要2.5m,才能使喷出的水流不致落到池外. 解:建立如图所示的坐标系,根据题意得,A点 坐标为(0,1.25),顶点B坐标为(1,2.25) 当y=0时,可求得点C的坐标为(2.5,0) ; 同理,点D的坐标为(-2.5,0) . 设抛物线为y=a(x-h)2+k,由待定系数法可求得抛 物线表达式为:y=- (x-1)2+2.25. 数学化 x y o A ●B(1,2.25) (0,1.25) ● C(2.5,0) ● D(-2.5,0) 1. 某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型( 曲线AOB)的薄壳屋顶。它的拱高AB为4m,拱 高CO为0.8m。施工前要先制造建筑模板,怎样 画出模板的轮廓线呢? 随堂练习 解:以AB的垂直平分线为y轴,以过点O的y轴 的垂线为x轴,建立直角坐标系。这时,屋顶的横 截面所成抛物线的顶点在原点,对称轴是y轴,开 口向下,所以可设它的函数关系式为: (1) 因为y轴垂直平分AB,并交AB于点C,所以 ,又CO=0.8m,所以点B的坐标为(2,-0.8)。 因为点B在抛物线上,将它的坐标代入(1), 得 所以a=-0.2 因此,所求函数关系式是 。 活动4 练习:有一抛物线拱桥,已知水位在AB位 置时,水面的宽度是 m,水位上升4 m就 达到警戒线CD,这时水面宽是 米.若洪 水到来时,水位以每小时0.5 m速度上升,求 水过警戒线后几小时淹到拱桥顶端M处. O N M C D A Bx y 如图,隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的长 是8m,宽是2m,抛物线可以用 表示.(1)一辆货运卡车高4m,宽2m,它能通过该隧道 吗?(2)如果该隧道内设双行道,那么这辆货运卡车 是否可以通过? (1)卡车可以通过. 提示:当x=±1时,y =3.75, 3.75+24. (2)卡车可以通过. 提示:当x=±2时,y =3, 3+24. -1 -3 -1 -3 1 3 13 O 例:某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物 ,大门底部宽AB=4m,顶部C离地面的高度为 4.4m,现有载满货物的汽车欲通过大门,货物顶 部距地面2.7m,装货宽度为2.4m.这辆汽车能否 顺利通过大门?若能,请你通过计算加以说明;若 不能,请简要说明理由. 解:如图,以AB所在的直线为x轴, 以AB的垂直平分线为y轴,建立平面 直角坐标系. ∵AB=4 ∴A(-2,0) B(2,0) ∵OC=4.4 ∴C(0,4.4) 设抛物线所表示的二次函数为 ∵抛物线过A(-2,0) ∴抛物线所表示的二次函数为 ∴汽车能顺利经过大门. 1.有一辆载有长方体体状集装箱的货车 要想通过洞拱横截面为抛物线的隧道,如图1 ,已知沿底部宽AB为4m,高OC为3.2m;集装 箱的宽与车的宽相同都是2.4m;集装箱顶部 离地面2.1m。该车能通过隧道吗?请说明理 由. 练习 2.一场篮球赛中,球员甲跳起投篮,如图2,已知球 在A处出手时离地面20/9 m,与篮筐中心C的水平 距离是7m,当球运行的水平距离是4 m时,达到最 大高度4m(B处),设篮球运行的路线为抛物线. 篮筐距地面3m. ①问此球能否投中? ②此时对方球员乙前来盖帽,已知乙跳起后摸到的 最大高度为3.19m,他如何做才能盖帽成功? 跳水与抛物线 某跳水运动员进行10米跳台跳水训 练时,身体(看成一点)在空中的运动路线 是经过原点O的一条抛物线.在跳某规定 动作时,正常情况下,该运动员在空中的 最高处距水面32/3米,入水处距池边的距 离为4米,同时,运动员在距水面高度为5 米以前,必须完成规定的翻腾动作,并调 整好入水姿势,否则就会出现失误. (1)求这条抛物线的解析式; (2)在某次试跳中,测得运动员在空 中运动路线是(1)中的抛物线,且运动员 在空中调整好入水姿势时,距池边的水平 距离为18/5米,问此次跳水会不会失误? 并通过计算说明理由. 平时我们在跳绳时,绳甩到最高处的形状可 以看为抛物线.如图所示,正在甩绳的甲乙两名学 生拿绳的手间距为4米,距地面均为1米,学生丙丁 分别站在距甲拿绳的手水平距离1米、2.5米处,绳 子到最高处时刚好通过他们的头顶.已知学生丙 的身高是1.5米,求学生丁的身高? 甲乙 丙丁 跳绳与抛物线
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