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平面问题有限元解法(公式推导讲解)课件_7

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平面问题有限元解法公式推导讲解 有限元平面问题 问题有限元求解 平面问题PPT
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单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版副标题样式 **1 平面问题的有限单元解法 Asymptomatic ulcerative colitis patients on an ProDepression A Risk Factor for Infant Mental HealthMammography Benchmarks Angoff Process 有限单元法基本思想 n有限单元法的思想是将物体(连续的求解域)离散成有限个且按一 定方式相互联结在一起的单元组合,来模拟或逼近原来的物体,从 而将一个连续的无限自由度问题简化为离散的有限自由度问题求解 的一种数值分析法。物体被离散后,通过对其中各个单元进行单元 分析,最终得到对整个物体的分析。 n有限单元法的分析步骤如下: q物体离散化 q单元特性分析 q单元组集,整体分析 q求解未知节点的位移 q由节点的位移求解各单元的位移和应力 2019/11/8 Asymptomatic ulcerative colitis patients on an ProDepression A Risk Factor for Infant Mental HealthMammography Benchmarks Angoff Process 有限元单元模型中几个重要概念 n单元 q网格划分中每一个小的块体 n节点 q确定单元形状、单元之间相互联结的 点 n节点力 q单元上节点处的结构内力 n载荷 q作用在单元节点上的外力 (集中力、分布力) n约束 p限制某些节点的某些自由度 n弹性模量(杨式模量)E n泊松比(横向变形系数)μ n密度 单元 单元 载荷 节 点 节点力 约束 2019/11/8 Asymptomatic ulcerative colitis patients on an ProDepression A Risk Factor for Infant Mental HealthMammography Benchmarks Angoff Process 1. 研究内容 内容:弹性体在外力或温度作用下的应力、变 形、位移等分布规律。 任务:解决弹性体的强度、刚度、稳定性问题。 弹性力学的内容及基本假定 2. 研究对象 一般弹性实体结构: 三维弹性固体、板状结构、杆件等 2019/11/8 Asymptomatic ulcerative colitis patients on an ProDepression A Risk Factor for Infant Mental HealthMammography Benchmarks Angoff Process 弹性力学的内容及基本假定 3. 研究方法 由平衡方程、几何方程、物理方程三方面分析 4. 数学理论基础 —— 偏微分方程(高阶,二、三个变量) 数值解法:能量法(变分法)、差分 法、有限单元法等。 2019/11/8 Asymptomatic ulcerative colitis patients on an ProDepression A Risk Factor for Infant Mental HealthMammography Benchmarks Angoff Process 弹性力学的内容及基本假定 5. 基本假定 (1). 连续性假定 整个物体的体积都被组成物体的介质充满,不留下任何空隙。 作用: 使得σ、ε、u 等量表示成坐标的连续函数。 2019/11/8 Asymptomatic ulcerative colitis patients on an ProDepression A Risk Factor for Infant Mental HealthMammography Benchmarks Angoff Process 弹性力学的内容及基本假定 (2). 完全弹性假定 假定物体完全服从虎克(Hooke)定律,应力与应变间 成线性比例关系。 脆性材料—— 一直到破坏前,都可近似为线弹性的; 塑性材料—— 比例阶段,可视为线弹性的。 (3). 均匀性假定 假定整个物体是由同一种材料组成的,各部分材料性质相同。 作用: 弹性常数(E、μ)等——不随位置坐标而变化; 取微元体分析的结果可应用于整个物体。 2019/11/8 Asymptomatic ulcerative colitis patients on an ProDepression A Risk Factor for Infant Mental HealthMammography Benchmarks Angoff Process 弹性力学的内容及基本假定 (4). 各向同性假定 (5). 小变形假定 假定物体内一点的力学性质在所有各个方向都相同。 作用:弹性常数(E、μ)——不随坐标方向而变化; 假定位移和形变是微小的,即物体受力后物体内各点位移 远远小于物体的原来的尺寸。 作用: 建立方程时,可略去高阶微量; 可用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。 使求解的方程线性化。 2019/11/8 Asymptomatic ulcerative colitis patients on an ProDepression A Risk Factor for Infant Mental HealthMammography Benchmarks Angoff Process 基本概念: 外力、应力、形变、位移。 1. 外力:体力、面力 (1) 体力 —— 分布在物体体积内的力 —— 体力分布集度 (矢量) x y z O 单位: N/m3kN/m3 说明:f 是坐标的连续分布函数; 弹性力学中的几个基本概念 p 2019/11/8 Asymptomatic ulcerative colitis patients on an ProDepression A Risk Factor for Infant Mental HealthMammography Benchmarks Angoff Process (2) 面力 —— 分布在物体表面的力 —— 面力分布集度(矢量) x y z O 单位: 1N/m2 =1Pa (帕) 1MN/m2 = 106Pa = 1MPa (兆帕) 说明: 弹性力学中的几个基本概念 是坐标的连续分布函数; p 2019/11/8 Asymptomatic ulcerative colitis patients on an ProDepression A Risk Factor for Infant Mental HealthMammography Benchmarks Angoff Process 2. 应力 (1) 一点应力的概念 ΔA ΔF 内力 (1) 物体内部分子或原子间的相互 作用力; (2) 由于外力作用引起的相互作用力. (不考虑) P 截面上P点的应力 应力矢量.的极限方向 应力分量 n (法线) 应力的法向分量—— 正应力 应力的切向分量 —— 切应力 单位:MPa (兆帕) 应力关于坐标连续分布 弹性力学中的几个基本概念 2019/11/8 Asymptomatic ulcerative colitis patients on an ProDepression A Risk Factor for Infant Mental HealthMammography Benchmarks Angoff Process (2) 一点的应力状态 通过一点P 的各个面上应力状况的集合 —— 称为一点的应力状态 x面的应力: y面的应力: z面的应力: 弹性力学中的几个基本概念 2019/11/8 Asymptomatic ulcerative colitis patients on an ProDepression A Risk Factor for Infant Mental HealthMammography Benchmarks Angoff Process 用矩阵表示: 其中,只有6个量独立。 切应力互等定理 应力正负号的规定: 正应力—— 拉为正,压为负。 切应力—— 坐标正面上,与坐标正向一致时为正; 坐标负面上,与坐标正向相反时为正。 x y z O 弹性力学中的几个基本概念 2019/11/8 Asymptomatic ulcerative colitis patients on an ProDepression A Risk Factor for Infant Mental HealthMammography Benchmarks Angoff Process 3. 形变 形变 —— 物体的形状改变 x y z O (1)线段长度的改变 (2)两线段间夹角的改变。 PB C A ——用正应变ε度量 ——切应变γ度量 (切应变——两垂直线段夹角(直角)的改变量) 三个方向的正应变: 三个平面内的切应变: (1) 一点形变的度量 应变的正负: 正应变: 伸长时为正,缩短时为负; 切应变: 以直角变小时为正,变大时为负; 弹性力学中的几个基本概念 2019/11/8 Asymptomatic ulcerative colitis patients on an ProDepression A Risk Factor for Infant Mental HealthMammography Benchmarks Angoff Process (2) 一点应变状态 其中 应变无量纲; 4. 位移 注: 一点的位移 —— 矢量S 应变分量均为位置坐标的函数 x y z O S w u vP 位移分量: u —— x方向的位移 分量; v —— y方向的位移 分量; w—— z方向的位移 分量。 量纲:m 或 mm 弹性力学中的几个基本概念 2019/11/8 Asymptomatic ulcerative colitis patients on an ProDepression A Risk Factor for Infant Mental HealthMammography Benchmarks Angoff Process 工程力学问题建立力学模型的过程中,一般 从三方面进行简化: 结构简化 如空间问题向平面问题的简化,向轴对称 问题的简化,实体结构向板、壳结构的简化。 受力简化 如:根据圣维南原理,复杂力系简化为等效 力系等。 材料简化 根据各向同性、连续、均匀等假设进行简化。 2019/11/8 Asymptomatic ulcerative colitis patients on an ProDepression A Risk Factor for Infant Mental HealthMammography Benchmarks Angoff Process 平面问题的基本理论 n任何一个实际的弹性力学问题都是空间问题,但是如 果所考察的弹性体具有某种特殊的形状,并且承受的 是某些特殊的外力和约束,就可以把空间问题简化为 近似的平面问题。 n两种典型的平面问题 q平面应力问题 q平面应变问题 2019/11/8 Asymptomatic ulcerative colitis patients on an ProDepression A Risk Factor for Infant Mental HealthMammography Benchmarks Angoff Process 平面应力问题 (1) 几何特征 x yy z t b a 一个方向的尺寸比另两个 方向的尺寸小得多。 —— 平板 如:板式吊钩,旋转圆盘,工字形梁的腹板等 (2) 受力特征 外力(体力、面力)和约束,仅平行于板面作用,沿 z 方向不变化。 2019/11/8 Asymptomatic ulcerative colitis patients on an ProDepression A Risk Factor for Infant Mental HealthMammography Benchmarks Angoff Process x yy z t b a (3) 应力特征 如图选取坐标系,以板的中面 为xy 平面,垂直于中面的任一直线 为 z 轴。 由于板面上不受力,有 因板很薄,且外力 沿 z 轴方向不变。 可认为整个薄板的 各点都有: 由切应力互等定理,有 结论:平面应力问题只有三个应力分量: x y 应变分量、位移分量也仅为 x、y 的函数,与 z 无关。 2019/11/8 Asymptomatic ulcerative colitis patients on an ProDepression A Risk Factor for Infant Mental HealthMammography Benchmarks Angoff Process 平面应变问题 (1) 几何特征 水坝滚柱 厚壁圆筒 一个方向的尺寸比另 两个方向的尺寸大得多, 且沿长度方向几何形状和 尺寸不变化。 —— 近似认为无限长 (2) 外力特征 外力(体力、面力)平行于横截面作 用,且沿长度 z 方向不变化。 约束 —— 沿长度 z 方向不变化。 (3) 变形特征 如图建立坐标系:以任一横截面为 xy 面,任一纵线为 z 轴。 设 z方向为无限长,则沿 z 方向都不变化, 仅为 x,y 的函数。任一横截面均可视为对称面 2019/11/8 Asymptomatic ulcerative colitis patients on an ProDepression A Risk Factor for Infant Mental HealthMammography Benchmarks Angoff Process 水坝 任一横截面均可视为对称面,则有 所有各点的位移矢量都平行于 x y 平面。 —— 平面位移问题 —— 平面应变问题 注: 平面应变问题中但是, 2019/11/8 Asymptomatic ulcerative colitis patients on an ProDepression A Risk Factor for Infant Mental HealthMammography Benchmarks Angoff Process 如图所示三种情形,是否都属平面问题?是平 面应力问题还是平面应变问题? 平面应力问题 平面应变问题 非平面问题 2019/11/8 Asymptomatic ulcerative colitis patients on an ProDepression A Risk Factor for Infant Mental HealthMammography Benchmarks Angoff Process 三大基本方程 n根据静力学、几何学和物理学三方面条件,建立三套方程。 q平面问题中,根据微分体的平衡条件,建立平衡微分方程: (1-1) q根据微分线段上形变与位移之间的几何关系,建立几何方程: (1-2) q根据应力与形变之间的物理关系,建立物理方程: (1-3) (1-3‘) 2019/11/8 Asymptomatic ulcerative colitis patients on an ProDepression A Risk Factor for Infant Mental HealthMammography Benchmarks Angoff Process 平衡微分方程 n从弹性体中取出一个微分体,根据平衡条 件导出应力分量与体力分量之间的关系式 ,也就是平面问题的平衡微分方程。 n从弹性体中取出一个微小的正平行六面体 ,它在x和y方向的尺寸分别为dx和dy,在 z方向的尺寸为一个单位长度。 •以x为投影轴,列出投影的平衡方程: •约简以后,两边除以dxdy,得: •同理,以y为投影轴,列出投影的平衡方程,化简得 : 2019/11/8 Asymptomatic ulcerative colitis patients on an ProDepression A Risk Factor for Infant Mental HealthMammography Benchmarks Angoff Process 几何方程 n经过弹性体内的任意一点P,沿x 轴和y轴的正方向取两个微小长度 的线段PA=dx和PB=dy。假定弹 性体受力后,P,A,B三点分别移动 到P’,A’,B’. •线段PA的正应变是: 注:由于位移微小,y方向的位移v引起的PA的伸缩,是高一阶微量,略去不计。 •线段PB的正应变是: •线段PA与 PB之间的直角的改变,即切应变 •线段PA的转角α是: •线段PB的转角β是: 2019/11/8 Asymptomatic ulcerative colitis patients on an ProDepression A Risk Factor for Infant Mental HealthMammography Benchmarks Angoff Process 物理方程 n在理想的弹性体中,形变分量和应力分量之间的关系,在材 料力学根据胡克定律导出如下: •在平面应力问题中,式变为: •在平面应变问题中,只要将上式中的E换为 ,μ换为 就得到平面应变问题的物理方程。 2019/11/8 Asymptomatic ulcerative colitis patients on an ProDepression A Risk Factor for Infant Mental HealthMammography Benchmarks Angoff Process •假定已知任一点P处坐标面上的应力分量σx,σ y ,τx y = τ y x 。求经过该点的,平行于z轴而倾斜 于x轴和 y轴的任何倾斜面上应力。 •在P点附近取一个平面AB,它平行于上述斜面, 并经过P点划出一个微小的三棱柱PAB。当AB无 限小而趋于P点时,平面AB上的应力就成为斜面 上的应力。 平面问题中一点的应力状态 •设斜面AB 的长度为ds,则PB面及PA面的长度分 别为 lds及mds,而PAB的面积为 ldsmds/2,棱柱 的厚度设为1。 •由x轴平衡条件,得: •其中,fx为体力分量。将上式除以ds,并令ds趋于0(斜面AB趋于P点),即得: •由y轴平衡条件,得: •用n表示斜面AB的外法线方向,其方向余弦为 : 2019/11/8 Asymptomatic ulcerative colitis patients on an ProDepression A Risk Factor for Infant Mental HealthMammography Benchmarks Angoff Process 边界条件 q若在su部分边界上给定了约束位移分量 和 ,则对于此边界上的 每一点,位移函数u和v应满足条件: q其中(u)s 和 (v)s 是位移的边界值, 和 在边界上是坐标的已 知函数。 n边界条件表示在边界上位移与约束,或应力与面力之间的关系式。 它可以分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。 q位移边界条件: q应力边界条件: q若在su部分边界上给定了面力 和 ,则由平衡条件得出平面应 力问题的应力(或面力)边界条件为: 其中,l,m是边界面外法线的方向余弦 。 2019/11/8 Asymptomatic ulcerative colitis patients on an ProDepression A Risk Factor for Infant Mental HealthMammography Benchmarks Angoff Process 圣维南原理 n在求解弹性力学问题时,应力分量、形变分量和位移分量 必须满足区域内的三套基本方程,还必须满足边界上的边 界条件。但是,要使边界条件得到完全满足,往往遇到很 大的困难。 n圣维南原理可为简化局部边界上的应力边界条件提供很大 方便。 n圣维南原理表明,如果把物体的一小部分边界上的面力, 变换为分布不同但静力等效的面力(主矢相同,对同一点 的主矩也相同),那么,近处的应力分布将有显著的改变 ,但是远处所受的影响可以不计。 2019/11/8 Asymptomatic ulcerative colitis patients on an ProDepression A Risk Factor for Infant Mental HealthMammography Benchmarks Angoff Process 圣维南原理的应用 n例,设有柱形构件,在两端截面的 形心受到大小相等而方向相反的拉 力F(a)。如果把一端或两端的拉 力变换为静力等效的力,则只有虚 线划出的部分的应力分布有显著的 改变,而其余部分所受影响是可以 不计的。 •由于(d)图中,面力连续分布,边界条件简单,应力容易求得。其它三 种情况,应力难以求得。把d情况下的应力解答应用到其它三个情况,虽 不能满足两端的应力边界条件,但仍然可以表明离杆端较远处的应力状 态,没有显著的误差。 •图e,构件右端有位移边界条件, ,d情况的解答,不 能满足位移边界条件,但e图右端的面力,一定是合成为经过截面形心的 力F。所以把图d情况的解答应用于图e时,仍然只是在靠近两端处有显著 的误差,而在离两端较远之处,误差可以不计。 2019/11/8 Asymptomatic ulcerative colitis patients on an ProDepression A Risk Factor for Infant Mental HealthMammography Benchmarks Angoff Process 圣维南原理的应用 n例,厚度δ=1的梁中,左右两端x=±l,的边界面是正、负x面,其上作用有 一般分布的面力± 。按照严格的应力边界条件,应力分量在 边界上满足: •上式要求在边界上y值不同的各点,应力分量与对应的面力分量必须处处 相等,这种严格的条件是较难满足的。 •当lh时, x=±l 是梁的边界的一小部分,可以应用圣维南原理,利用静 力等效条件来代替,即,使应力的主矢量和主矩分别等于对应的面力的 主矢量和主矩。 2019/11/8 Asymptomatic ulcerative colitis patients on an ProDepression A Risk Factor for Infant Mental HealthMammography Benchmarks Angoff Process 圣维南原理的应用 •应力的主矢量和主矩的绝对值分别等于面力的主矢量和主矩的绝对值; •面力的主矢量和主矩的方向就是应力的主矢量和主矩的方向。 2019/11/8 Asymptomatic ulcerative colitis patients on an ProDepression A Risk Factor for Infant Mental HealthMammography Benchmarks Angoff Process 按位移法求解平面问题 n以上几节已经建立了弹性力学平面问题的 基本方程和边 界条件,即:平衡微分方程、几何方程和物理方程,以及 位移的边界条件和应力的边界条件。 n求解弹性力学平面问题即求解3个应力分量、3个形变分量 及2个位移分量的未知函数。通常采用类似于代数方程中 消元法进行求解。 n按位移求解的方法,称为位移法。它以位移分量为基本未 知函数。 n按应力求解的方法,称为应力法。它以应力分量为基本未 知函数。 2019/11/8 Asymptomatic ulcerative colitis patients on an ProDepression A Risk Factor for Infant Mental HealthMammography Benchmarks Angoff Process 按位移法求解平面问题 n平面问题中,取位移分量u和v为基本未知函数。 n从方程中消去形变分量和应力分量: • 将几何方程代入上 式 • 利用平衡微分方程和边界条件,导出用位移表示的 平衡微分方程: 2019/11/8 Asymptomatic ulcerative colitis patients on an ProDepression A Risk Factor for Infant Mental HealthMammography Benchmarks Angoff Process 按位移法求解平面问题 n利用应力边界条件 • 得到用位移表示的应力边界条 件 其中 : • 位移边界条件如(1-4) 不变 • 按位移法求解平面应力问题时,要使位移分量在区域内 满足平衡微分方程,在边界上满足位移边界条件或应力 边界条件。 2019/11/8 Asymptomatic ulcerative colitis patients on an ProDepression A Risk Factor for Infant Mental HealthMammography Benchmarks Angoff Process 按位移法求解平面问题(例题) n设有如图所示的杆件,在y方向的上端为固定,而 下端为自由,受自重体力fx=0,fy=ρg的作用。 试用位移法求解此问题。 • 解:将这个问题简化为一维问题处理。 • 设u=0,v=v(y),泊松比μ=0。代入位移表 示的平衡微分方程,得: • 第一式自然满足,第二式 成为: • 解出: 2019/11/8 Asymptomatic ulcerative colitis patients on an ProDepression A Risk Factor for Infant Mental HealthMammography Benchmarks Angoff Process 按位移法求解平面问题(例题) n设有左图所示的杆件,在y方 向的上端为固定,而下端为 自由,受自重体力fx=0,fy =ρg的作用。试用位移法求 解此问题。 • 解出: • 上下边的边界条件分别要求: • 将(a)式代入(b)式得:B= 0, • 再代入(c)式,即 得: • 得到解答 : 2019/11/8 Asymptomatic ulcerative colitis patients on an ProDepression A Risk Factor for Infant Mental HealthMammography Benchmarks Angoff Process 有限元单元法分析步骤(一) n结构离散化 q 将结构分成有限个小的单元体,单元与单元、单元与边界之间通过节点连接 。结构的离散化是有限元法分析的第一步,关系到计算精度和效率,包括以 下三个方面: n单元类型的选择。选定单元类型,确定单元形状、单元节点数、 节点自由度数等。 n单元划分。网格划分越细,节点越多,计算结果越精确,但计算 量越大。网格加密到一定程度后计算精度提高就不明显,对应应 力变化平缓区域不必要细分网格。 n节点编码。 注意:有限元分析的结构已不是原有的物体或结构物,而是由同样材 料、众多单元以一定方式连接成的离散物体。用有限元分析计算所获 得的结果是近似的(满足工程要求即可)。 平面问题有限单元法基本概念 2019/11/8 Asymptomatic ulcerative colitis patients on an ProDepression A Risk Factor for Infant Mental HealthMammography Benchmarks Angoff Process 有限元单元法分析步骤(二) n单元特性分析 q 选择未知量模式 n选择节点位移作为基本未知量时,称为位移法; n选节点力作为基本未知量时,称为力法; n取一部分节点位移和一部分节点力作为未知量,称为混合法。 q分析单元力学性质 n根据单元材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置等,找出单元 节点力和节点位移关系式,应用几何方程和物理方程建立力和位 移的方程式,从而导出单元刚度矩阵。 q计算等效节点力 n作用在单元边界上的表面力、体积力或集中力都需要等效地移到 节点上去,即用等效力来替代所有作用在单元上的力。 2019/11/8 Asymptomatic ulcerative colitis patients on an ProDepression A Risk Factor for Infant Mental HealthMammography Benchmarks Angoff Process 有限元单元法分析步骤(三) n整体分析 q集成整体节点载荷矢量 F 。结构离散化后,单元之间通过节点传递 力,作用在单元边界上的表面力、体积力或集中力都需要等效地移 到节点上去,形成等效节点载荷。将所有节点载荷按照整体节点编 码顺序组集成整体节点载荷矢量。 q组成整体刚度矩阵K ,得到总体平衡方程: q引进边界约束条件,解总体平衡方程求出节点位移。 通过上述分析可以看出有限单元法的基本思想是“一分一合”,分是为 了进行单元分析,合是为了对整体的结构进行综合分析。 2019/11/8 Asymptomatic ulcerative colitis patients on an ProDepression A Risk Factor for Infant Mental HealthMammography Benchmarks Angoff Process 有限单元法中基本量的矩阵表示 n有限单元法(FEM)中,为了简洁清晰地表示各个基本量以及它们之 间的关系,也为了便于编制程序利用计算机进行计算,广泛采用 矩阵表示和矩阵运算。 q平面问题中,物体受体力,可用体力列阵表示: (1) q物体受面力,可用面力列阵表示: (2) q3个应力分量的应力列阵表示: (3) q3个形变分量的应变列阵表示: (4) q2个位移分量的位移列阵表示: (5) 2019/11/8 Asymptomatic ulcerative colitis patients on an ProDepression A Risk Factor for Infant Mental HealthMammography Benchmarks Angoff Process 弹性力学中基本方程的矩阵表示 q几何方程的矩阵表示为: (6) q物理方程矩阵表示为: (7) q 利用应力列阵和应变列阵(3)、(4)得: (8) 其中矩阵 (9) 只与弹性常数E及μ有关,称为平面问题的弹性矩阵。 2019/11/8 Asymptomatic ulcerative colitis patients on an ProDepression A Risk Factor for Infant Mental HealthMammography Benchmarks Angoff Process 虚位移原理 n用u*和v*表示虚位移,用 表示与该虚位移相应的虚应变。 n根据虚功方程:处于平衡状态的变形体,外力在虚位移上所做的虚功 等于应力在虚应变上所做的虚功。 n对于厚度为t的薄板,虚功方程可用矩阵表示为: •其中, 分别为体力列阵,面力列阵和应力列阵。 为虚位移列阵 •有限单元法中,作用于弹性体的各种外力常以作用于某些点的等效集中 力来代替。在厚度为t的薄板上,设作用于i点的集中力沿x及y方向的分 量为Fix, Fiy,作用于j点的力为Fjx, Fjy等。这些集中力以及它们相应的虚位 移用列阵表示为: 为虚应变列阵 2019/11/8 Asymptomatic ulcerative colitis patients on an ProDepression A Risk Factor for Infant Mental HealthMammography Benchmarks Angoff Process 虚位移原理(续) •代入虚功方程,得: • 上式为集中力作用下的虚功方程。 •集中力列阵 (13) •虚位移列阵 (14 ) •外力在虚位移上所做的功为: 2019/11/8 Asymptomatic ulcerative colitis patients on an ProDepression A Risk Factor for Infant Mental HealthMammography Benchmarks Angoff Process (1)取三角形单元的节点位移为基本未知量: (a) 其中, 称为单元的节点位移列阵; (2)应用插值公式,由单元节点位移求出单元的位移函数: (b) 其中,N 称为形函数矩阵; (3)应用几何方程,由单元的节点位移求出单元的应变: (c) 其中,B是表示 与 之间关系的矩阵; 三角形单元离散化结构分析步骤 2019/11/8 Asymptomatic ulcerative colitis patients on an ProDepression A Risk Factor for Infant Mental HealthMammography Benchmarks Angoff Process (f) 其中,Fe 是单元的节点力, k称为单元劲度列阵; 对三角形板单元,节点力为: (e) (5)应用虚功方程,导出单元节点力与 节点位移之间的关系。对右图中的i节点: 节点对单元的作用力为节点力, 作用 于单元上。 三角形单元离散化结构分析步骤(续) (4)应用物理方程,由单元的节点位移 求出单元的应力: (d) 其中,S称为应力转换矩阵; Fe是作用于单元的外力,此外,单元内部还作用有应 力。根据虚功方程,从而得到节点力的公式: 2019/11/8 Asymptomatic ulcerative colitis patients on an ProDepression A Risk Factor for Infant Mental HealthMammography Benchmarks Angoff Process (7)列出各节点的平衡方程,组成整个结构的平衡方程组。由 于节点i受有环绕节点的单元移置而来的节点载荷 和节点力 因而i节点的平衡方程为: ( i=1,2,…,n) (h) 三角形单元离散化结构分析步骤(续) (6)应用虚功方程,将单元中的外力载荷向节点移置, 化为节点载荷(即求出单元的节点载荷): (g) 将(f)代入(h),整理得: (j) 其中,K称为整体刚度矩阵,FL是整体节点载荷列阵,δ是整体节点位移列阵。 在上述求解步骤中,(2)至(6)是针对每个单元进行的,称为单元分析; (7)是针对整个结构进行的称为整体分析。 2019/11/8 Asymptomatic ulcerative colitis patients on an ProDepression A Risk Factor for Infant Mental HealthMammography Benchmarks Angoff Process •对三角形i,j,m三个
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