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概率论与数理统计课件14

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§1.4 独立性 一、 两个事件的独立性 设A,B是试验E的二事件, P(A)0, 一般说来, 条件概率P(B|A)P(B), 即A的发生对于B发生的 概率是有影响的. 实际问题也有可能出现 P(B|A)=P(B)的情形. 例1 袋中有6个白球, 2个黑球, 从中有放回地抽 取两次, 每次取一球, 记A={第一次取到白 球}, B={第二次取到白球}, 则有 因此P(B|A)=P(B). 类似地可算出 这表明不论A发生与否,对B发生的概率均没有影响. 一般地, 设A与B是试验E的两个事件, 且P(A)0, 若P(B|A)=P(B), 则认为B与A独立. 由条件概率的 定义 可得 P(AB)=P(A)P(B)(1) 我们可以用(1)式作为事件的独立性的定义. 定义1 设A,B是二事件, 如果满足等式 P(AB)=P(A)P(B), 则称事件A,B相互独立, 简称A,B独立. 当P(A)0时, 事件A,B相互独立的充要条件为 P(B|A)=P(B); 若P(A)=0, 则事件A与任一事件B相互独立. 独立事件往往跟独立试验有关, 就是说, 有两个试 验设计得互不牵扯, 相互无关, 则由这两个试验拼 成的一个试验中, 各个试验各自产生的事件相互独 立. 例2 甲乙二人独立地对目标各射击一次, 设甲射中 目标的概率为0.5, 乙射中目标的概率为0.6, 求目 标被击中的概率. 解 设A,B分别表示甲,乙击中目标, 则AB表示目 标被击中, 由 A,B独立, 故 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) =P(A)+P(B)-P(A)P(B) =0.5+0.6-0.50.6=0.8 定理1 若事件A与事件B相互独立,则A与 , 与B, 与 也分别相互独立. 应当指出的是, 事件的独立性与事件的互不相容是完全不 同的两个概念. 事实上, 由定义可以证明, 在P(A)0, P(B)0的前提下, 事件A,B相互独立与事件A,B互不相容是 不能同时成立的. 二、 多个事件的独立性 下面将独立性的概念推广到三个及其以上的事件的情形 定义2 设A1,A2,A3是三个事件, 如果满足等式 则称事件A1,A2,A3相互独立. 一般, 设A1,A2,,An是n(n2)个事件, 如果对其中任 意2个, 任意3个,,任意n个事件的积事件的概率, 都等 于各事件的概率之积, 则称事件A1,A2,,An相互独立. 另外, 称无穷多个事件A1,A2,,An,相互独立, 是指其 中任意有限多个事件都相互独立. 与两个事件的情形类似, 在实际应用时, 往往根据问题 的实际意义来判断多个事件的独立性. 如果各个事件是相 互独立的, 则许多概率问题的计算可以大为简化 定理2 如果n(n2)个事件A1,A2,,An相互独立, 则将其中任何m(1mn)个事件改为相应的对立 事件, 形成的n个新的事件仍相互独立. 定理3 若A1,A2,,An是n个相互独立的事件, 则这n 个事件中至少有一个发生的概率为 独立性的概念在理论上的作用我们将逐渐会看到. 归纳前面的讨论, 现在至少我们看到它可以简化 概率的计算: (1)计算n个相互独立的事件A1,A2,,An的积事件的概率, 可简化为 P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An) (2) 计算n个相互独立的事件A1,A2,,An的和事件的概 率, 可简化为 例3(保险赔付) 设有n个人向保险公司购买人身意外保险 (保险期为1年), 假定投保人在一年内发生意外的概率 为0.01, (1) 求保险公司赔付的概率: (2) 当n为多大时, 使得以上赔付的概率超过? 例4 设有电路如下图所示, 其中1,2,3,4为继电器接点, 设各继电器接点闭合与否是相互独立的, 且每一继电 器接点闭合的概率均为p, 求L至R为通路的概率. 例5 甲,乙两人进行乒乓球比赛, 每局甲胜的概率为p, p1/2. 问对甲而言, 采用三局二胜制有利, 还是采用五局三胜制有利. 设各局胜负相互独立. 作业 P33 习题1-4 6. 7. 8.
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