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常微分方程63

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常微分方程63
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6.3 奇点 李雅普诺夫创立了处理稳定性问题的两种方法: 第一方法要利用微分方程的级数解,在他之后没有 得到大的发展; 第二方法是在不求方程的情况下,借助一个所谓的 李雅普诺夫函数V(x)和通过微分方程所计算出来的导 数 的符号性质,就能直接推断出解的稳定性,因此又称为 直接法.本节主要介绍李雅普诺夫第二方法. (5.11) 函数的分类 零解的稳定性态 6.2.2 二次型V函数的构造 定理6 如果一阶线性微分方程 1.2.1(8):相空间、奇点和轨线 v相空间:不含自变量、仅由未知函数组成的空间称 为相空间。微分方程的解在相空间中的轨迹称为轨 线,轨线也可定义积分曲线在相空间中的投影。 v对于方程组 的解称为平衡解(驻定解、常数解),又称为奇点 (平衡点)。 下面转入介绍平面定性理论。本节考虑驻定微分方 程组是线性的情形下其轨线在相平面上的性态。 考虑二维(平面)一阶驻定微分方程组 可将方程组(6.33)改写成 或 方程(6.34)或(6.35)满足存在唯一性定理的条件, 它们在Oxy平面 的积分曲线可看成是方程组(6.33)在Oxy相平面上的轨线。 因此,在相平面上,方程组(6.33)的轨线不能相交。 在相平面上,方程组(6.33)的轨线不能相交。 下面考虑驻定微分方程组是线性的情形下其轨线在相平面上 的性态,即考虑方程组 对于驻定微分方程组 可以通过坐标平移将奇点移到原点(0,0),此时,X(0,0)=Y(0,0)=0. 我们根据奇点领域内轨线分布的不同的性态来区分奇点的不同类型。 考虑线性驻定微分方程组 我们根据奇点领域内轨线分布的不同的性态来区分奇点的不同类型。 则此奇点还是唯一的。 微分方程组(6.36)可化成标准形式,其系数矩阵为下列四种形 式之一: 下面仅标准形式的线性方程组讨论奇点的类型。按特征根为相 异实根、重根或共轭复根,分五种情形进行讨论。 情形I 同号相异实根 情形II 同号相异实根 情形III 重根 或 情形IV 非零实部复根 情形V 纯虚根 定理7(p286) 作业 vP293 1(1,3),3. v思考:2,4.
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