• / 29
  • 下载费用:10 金币  

吴传生第一章线性方程组的消元法和矩阵的初等变换

关 键 词:
吴传生 第一章 线性方程组的消元 吴传生 第一章 线性方程组的消元法和矩阵的初等变换 第1章线性方程组的消元法和矩阵的初等变换 线性方程组的消元法和矩阵的 第1章 线性方程组的消元法和矩阵的初等变换
资源描述:
和矩阵的初等变换 u线性方程组 u矩阵的基本概念 u消元法 矩阵初等变换 第一章 线性方程组的消元法 引例(物资调运问题) 由各产地 到各用户 的距离为 (千米) 该产品每年有两个用户 其用量分别为 45和25,单位为吨; 有三个生产同一产品的工厂 其年产量分别为40、20和10,单位为吨; 如下表所示 假设每吨货物每千米的运费为1(元),问各 厂的产品如何调配才能使总运费最少? Cij A1 A2 A3 B1 45 58 92 B2 58 72 36 表 A1 A2 A3 B1 B2 工厂用户 解: 3个厂的总产量与两个用户的总用量刚好相等 ,所以: 1. 对产地来讲,产品全部调出,因而有 2. 对用户来讲,调配的产品刚好为其所需, 因而有: 3. 考虑总运费S: (1)-(5)每个方程都是线性方程,几个线 性方程联立在一起,称之为线性方程组. 因此方程(1)-(5)构成6个未知数5个方程 的线性方程组. 不少实际问题可以化为线性方程组的问题. 这样的方程组所包含的未知数的个数不只是一 个两个,而是更多. 因此,为了解决这类问题需要讨论含有个n个 未知数m个方程的线性方程组. 形式如下: 它是第 个方程中第 个未知量 的系数; 这里为已知数 也是已知数 称为第 个方程的常数项 当线性方程组(7)的常数项均为零时,则我 们称它为齐次线性方程组,否则,称为非齐 次线性方程组 所谓方程组(7)的一个解 就是指 个数 组成的有序数组 方程组(7)的解的全体称为它的解集合 解方程组组实际 上是找出它的全部解; 如果两个方程组有相同的解集合,它们就称 为是同解的. 当分别用代入后, (7)中每个方程都成为恒等式. 定义1由 个数 排成的 行 列的数表 称为 行 列的矩阵,简称 矩阵 为表示它是一个整体,总是加一个圆括弧( 或方括弧),并用大写黑体字母表示它. A = 当 时,称 为 阶矩阵或 阶方阵 有时也写成 或 数 称为矩阵 的第 行第 列的元素. 实矩阵:元素全是实数的矩阵 复矩阵:元素是复数的矩阵 本书中的矩阵如不特别说明,都是指实矩阵. 记作 行矩阵(行向量):只有一行的矩阵 或 列矩阵(列向量):只有一列的矩阵 转置矩阵:把矩阵A的行换成同序数的列得到 的新矩阵,记作: 矩阵阵相等:如果 是同型矩阵, 那么就称矩阵 与矩阵 相等,记作 零矩阵阵 :元素都是零的矩阵 ,记作 , 同型矩阵阵:两个矩阵的行数列数都相等 并且它们对应的元素相等,即 或 注意不同型的零矩阵是不相等的. 系数矩阵:线性方程组(7)的未知量的系数 所确定的矩阵 增广矩阵:而(7)所对应 的矩阵 线性方程组(7)由其增广矩阵 唯一确定. 称为增广矩阵. 例1 解线性方程组(消元法) 解:第二个方程减去第一个方程的2倍,第 三个方程减去第一个方程,就变成 将上面的第二个方程与第三个方程互换,即得 将第三个方程减去第二个方程的4倍,得 将第三个方程两边乘 ,得 将第一个方程减去第三个方程的3倍,第二个 方程加上第三个方程,得 将第一个方程加上第二个方程,得 将第一个方程两边乘 得 即: 上面解方程的过程,从(8)到(9)叫消 元过程,从(9)到(10)叫回代过程. 从整个消元过程可以看到,它实际上是对 方程组进行了以下3种变换: (1)交换两个方程的次序; (2)用一个非零的常数乘以某个方程 (3)把一个方程的适当倍数加到另一个方程. 定义2 上述三种变换均称为线性方程组的初 等变换. (对调 第 两行,记作 ); 上述变换过程中,实际上只是对方程组的系数 和常数项进行运算,未知量并未参与运算. 因此,例如例1中,对方程组的变换完全可以转 换成对其增广矩阵的变换. 定义3 下面的三种变换称为矩阵的初等行变换 (ⅰ)对调 矩阵的两行 (ⅱ)以非零常数 乘矩阵某一行的各元素 (第 行乘 ,记作 ); (ⅲ)把某一行所有的元素的 倍加到另一行 对应的元素上去 (第 行的 倍加到第 行上,记作 ) 把定义中的“行”变成“列”,即得矩阵的初 等列变换的定义(所用记号是把“ ”换成“ ”). 初等变换 就称矩阵 与矩阵 等价,记作 ~ . (ⅰ)自反性 ~ . (ⅱ)对称性 若 ~ ,则 ~ . (ⅲ)传递性 若 ~ , ~ , 则 ~ . 定义4 如果矩阵 经过有限次初等变换变成矩阵 矩阵之间的等价具有下列性质: 线性方程组的同解变换,也就是方程组增广矩阵 的初等行变换.对于例1,其一一对照过程如下 由 所对应的即: 标准形 (1)形式: (2)特点: 的左上角的元素 其余元素为0. 定理 任意一个 矩阵 ,总可以经过初 等变换(行变换和列变换)把它化为标准形
展开阅读全文
  麦档网所有资源均是用户自行上传分享,仅供网友学习交流,未经上传用户书面授权,请勿作他用。
0条评论

还可以输入200字符

暂无评论,赶快抢占沙发吧。

关于本文
本文标题:吴传生第一章线性方程组的消元法和矩阵的初等变换
链接地址:https://www.maidoc.com/p-15695454.html
关于我们 - 网站声明 - 网站地图 - 资源地图 - 友情链接 - 网站客服 - 联系我们

[email protected] 2018-2020 maidoc.com版权所有  文库上传用户QQ群:3303921 

麦档网为“文档C2C模式”,即用户上传的文档所得金币直接给(下载)用户,本站只是中间服务平台,本站所有文档下载所得的金币归上传人(含作者)所有。
备案号:蜀ICP备17040478号-3  
川公网安备:51019002001290号 

本站提供办公文档学习资料考试资料文档下载


收起
展开