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光电子技术第二章第二节

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光电子技术第二章第二节 光电子技术第
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2.2 麦克斯韦方程 电介质 波动方程 麦克斯韦微分方程麦克斯韦微分方程 2.2.1麦克斯韦电磁方程麦克斯韦电磁方程 D、E、B、H分别表示电位移矢量、 电场强度、 磁感应强 度、磁场强度;ρ是自由电荷体密度; J是电流密度。这种微 分形式的方程组将任意时刻、空间任一点的电、 磁场的时空 关系与同一时空点的场源联系在一起。 ε=ε0εr为介电常数,描述介质的电学性质;μ=μ0μr为介质磁 导率,描述介质的磁学性质;σ为电导率,描述介质的导电特 性。 物质方程 1. 电介质的特性 2.2.2 电介质 电极化:形成宏观束缚电荷的现象。 电介质:能产生电极化的物质。 介质折射率 与 的关系不同,介质就呈现不同的特性。极化强度: (1) 线性特性 与 是线性关系 (2)均匀性 与 的关系与位置无关,在任何一处的极化率都是常数 (3)各向同性 与 的关系与矢量 的取向无关, 与 平行 2 电介质的分类 (1)简单电介质 线性,均匀,各向同性,非色散。 (2)非均匀介质 (3)各向异性介质 (4)非线性介质 只是非均匀, 与 的关系与 有关。不同 处的极化率不 同,折射率n不同。 与 的方向不一致。 与 的关系与 的取向有关。不 同方向的极化率不同,折射率不同。这种介质中某些方向容 易极化些,另一些则较难极化。 与 的关系不只与 的一次项有关,也与它的高次项有关。 2.2.3 波动方程 1. 时域波动方程 对于线性,均匀,各向同性的电介质: 磁场方程: 对于非导电、无磁性介质(大多数属于该情况): 波动方程: 电场方程: 2. 频域波动方程 在时谐条件下: 应用: 对于高频低电导无源材料,得到 折射率表示为: 除铁磁性介质外,大多数介质的磁性都很弱,可以认为 μr≈1。折射率也描述光在介质中传播的快慢, 是表征介质光 学性质的一个很重要的参量。 此式称为麦克斯韦关系。对于一般介质,εr 或n都是频率的 函数, 具体的函数关系取决于介质的结构。 为了描述电磁能量的传播,引入能流密度——玻印亭矢量 S,它定义为单位时间内,通过垂直于传播方向上的单位面积 的能量,表达式为 2.2.4 光波的能流密度 对于沿z方向传播的平面光波,光场表示为: E=exE0cos(ωt-kz), H=hyH0cos(ωt-kz) 式中的ex、hy是电场、磁场振动方向上的单位矢量。 利用 光波的能流密度S为 因为平面光波场有: S可写为 平面光波的能量沿z方向以波动形式传播。光的频率很高 ,S的大小随时间的变化很快。光探测器的响应时间较慢,例 如光电二极管仅为10-8~10-9 s,远远跟不上光能量的瞬时变化 ,只能给出S的平均值。所以,在实际应用中都利用能流密度 的时间平均值〈S〉表征光电磁场的能量传播,并称〈S〉为 光强,以I表示。假设光探测器的响应时间为T,则: 将S表达式代入, 进行积分,可得: 由此可见,光强与电场强度振幅的平方成正比。 通过测 量光强,便可计算出光波电场的振幅E0。 相应的光电场强度振幅为 这样强的电场,能够产生极高的温度,足以将目标烧毁。 在有些应用场合,由于只考虑某一种介质中的光强,只关 心光强的相对值,因而往往省略比例系数,把光强写成: I=〈E2〉=E20 如果考虑的是不同介质中的光强, 比例系数不能省略。 例如,一束105 W的激光,用透镜聚焦到1×10-10 m2的面积上 ,则在透镜焦平面上的光强(功率密度)约为 根据光场解的形式的不同,光波可分类为平面光波, 球 面光波,柱面光波或高斯光束。 2.3 光波的表示 2.3.1光波的电磁表示光波的电磁表示 首先说明,光波中包含有电场矢量和磁场矢量,从波的 传播特性来看,它们处于同样的地位,但是从光与介质的相 互作用来看,其作用不同。在通常应用的情况下,磁场的作 用远比电场弱,甚至不起作用。实验证明,使照相底片感光 的是电场,不是磁场;对人眼视网膜起作用的也是电场,不 是磁场。 因此,通常把光波中的电场矢量E称为光矢量,把电场E 的振动称为光振动,在讨论光的波动特性时,只考虑电场矢 量E即可。 (1) 单色平面光波的三角函数表示 可以采取不同的具体函数表示。最简单、最普遍采用的是 三角函数形式,即 E=Acos(ωt-kz)+Bsin(ωt+kz) 若只计沿+z方向传播的平面光波,其电场表示式为 1. 平面光波 或者: 为便于运算,经常把平面简谐光波的波函数写成复数形式 。例如 采用这种形式,可以用简单的指数运算代替比较繁杂的三 角函数运算。要确定光强,只需将复数形式的场乘以它的共 轭复数即可: (2) 单色平面光波的复数表示 任意描述真实存在的物理量的参量都应当是实数,采用复数 形式只是数学上运算方便的需要。 对复数形式的量进行线性 运算,只有取实部后才有物理意义。此外, 由于对复数函数 exp[-i(ωt-kz)]与exp[i(ωt-kz)]两种形式取实部得到相同的 函数,因而对于平面简谐光波,采用exp[-i(ωt-kz)]和exp[ i(ωt-kz)]两种形式完全等效。因此,可以采取其中任意一种 形式。 一个各向同性的点光源,它向外发射的光波是球面光波, 等相位面是以点光源为中心、随着距离的增大而逐渐扩展的同 心球面。 由于球面光波的球对称性,其波动方程仅与r有关,与坐标θ 、φ无关,因而球面光波的振幅只随距离r变化。若忽略场的矢 量性,可将波动方程表示为: 2. 球面光波 球面光波示意图 如果观察点远离光源,且在小范 围内,球面波可视为平面波。 一个各向同性的无限长线光源,向外发射的波是柱面光 波, 其等相位面是以线光源为中心轴、随着距离的增大而逐 渐扩展的同轴圆柱面, 如图所示。 3. 柱面光波 柱面光波示意图 当 r 较大(远大于波长)时, 其单色柱面光波场解的表示式 为 可以看出,柱面光波的振幅与 成反比。式中的A是离开线光源 单位距离处光波的振幅值。 2.3.2 高斯光束 高斯光束是一种非均匀波,在许多方面类似于平面波。但 是它的强度分布不均匀,主要集中在传播轴附近。它的等相 面是弯曲的,等相面上的光场振幅分布是非均匀的高斯分布 。大部分激光器输出是高斯光束。 高斯光束的特点 (旁轴情况下): (1)一种非均匀高斯球面波 (2)传播过程中曲率中心不断改变 (3)振幅分布在横截面内为高斯分布 (4)强度集中在轴线及其附近 (5)等相面保持球面 1. 特点及表达式 表达式 式中,E0为常数,其余符号的意义为: 由激光器的结构和参数所决定, 已知 ,就可以求出所有其它参数。 这里,w0为基模高斯光束的束腰 半径; 为高斯光束的共焦参数或 瑞利长度;R(z) 为与传播轴线相 交于z点的高斯光束等相位面的曲 率半径; w(z)为与传播轴线相交 于z点的高斯光束等相位面上的光 斑半径。 图 2-28 高斯光束的扩展 2. 基模高斯光束基本特征: 1.光强与光功率 2. 任何位置的光强都是径向距离的高斯函数,在轴上光 强最大,随着离轴距离的增加,光强按指数规律下降。 3. 在 处,光强下降到轴上的 。 轴上的光强随着z的增加而减小,即 (2)光束半径与发散角: 光束半径:由中心振幅值下降到1/e点所对应的宽度,定义为 光斑半径 : 可见,基模高斯光束的光斑半径随着坐标z按双曲线的规律 扩展,光斑半径最小处称为光腰。 光束半径 发散角:基模高斯光束既非平面波,又非均匀球面波,它的 发散度采用远场发散角表征。远场发散角定义为z →∞时,强 度为中心的1/e2点所夹角的全宽度, 即 发散角 (3) 基模高斯光束场的相位与波前半径 高斯光束的等相位面近似为以R(z)为半径的球面,R(z)随z 的变化规律为 当z=0时,R(z)→∞,表明束腰所在处的等相位面为平面; 当z→±∞时,|R(z)|≈z→∞,表明离束腰无限远处的等相位面 亦为平面; 显然,高斯光束的发散角由束腰半径w0决定。采用透镜对 光束聚焦,可以得到较小的光斑,但发散角相应增大。 综上所述,基模高斯光束在其传播轴线附近可以看作是一 种非均匀的球面波,其等相位面是曲率中心不断变化的球面 , 振幅和强度在横截面内保持高斯分布。 单色光波:频率为ω的单色平面光波 复色光波:指某光波由若干单色光波组合而成,或者说它包 含有多种频率成分,它在时间上是有限的波列。复色波的电 场是所含各个单色光波电场的叠加,即 2.4 复色光波的时域频率谱 传播速度 2.4.1 复色光波的频率谱 1. 复色光波的表示 2.复色光波的频率谱 光波场在时间域内的变化E(t)可以表示为如下形式: 严格的单色光波不存在,所能得到的各种光波均为复色波。 可将exp(-i2πνt)视为频率为ν的单位振幅简谐振荡。这样 ,上式可理解为:一个随时间变化的光波场振动E(t),可以视 为许多单频成分简谐振荡的叠加。 一般情况下E(ν)为复数,它就是ν频率分量的复振幅,可表 示为 |E(ν)|为光场振幅的大小;j (ν)为相位角。因而,|E(ν)|2表 征了ν频率分量的功率,称|E(ν)|2为光波场的功率谱。 各成分相应的振幅E(ν)称为E(t)的频谱分布,或简称频谱 ,并且按下式计算: (1) 无限长时间的等幅振荡 其表达式为 式中,E0、ν0为常数,且E0可以取复数值。它的频谱为 该式表明,等幅振荡光 场对应的频谱只含有一个 频率成分ν0, 称其为理想 单色振动。其功率谱为 |E(ν)|2,如图所示。 等幅振荡及其频谱图 (2) 持续有限时间的等幅振荡 功率谱: 光场频谱的主要部分集中在 从υ1到υ2的频率范围之内,ν0是 振荡的表观频率, 或称为中心 频率。 定义最靠近ν0的两个强度为 零的点所对应的频率ν2和ν1之差 的一半为这个有限正弦波的频谱 宽度 振荡持续的时间越长,频谱宽度愈窄。 图 有限正弦波及其频谱图 (3) 衰减振荡 相应的E(ν)为 功率谱为 衰减振荡也可视为无限多个振幅不同、频率连续变化的 简谐振荡的叠加,ν0为其中心频率。这时,把最大强度一半 所对应的两个频率υ2和υ2之差Δν,定义为这个衰减振荡的频 谱宽度。 图 衰减振荡及其频谱图 强调指出,在上面的有限正弦振荡 和衰减振荡中,尽管表达式中含有 exp(-i2πν0t)的因子,但E(t)已不再 是单频振荡了。换言之,我们只能 说这种振荡的表观频率为ν0,而不 能简单地说振荡频率为ν0 。只有以 某一频率作无限长时间的等幅振荡 ,才可以说是严格的单色光。 实际上能够得到的只是接近于单色光。持续有限时间的等 幅振荡,如果其振荡持续时间很长,以致于1/Tν0,可认为 接近于单色光。 在光电子技术应用中,经常 运用的调制光波均可认为是准 单色光(或称准单色光波)。 3. 准单色光 这种振荡的频谱就集中于ν0附 近的一个很窄的频段内,可认为 是中心频率为ν0的准单色光, 其 场振动表达式为: 图 高斯型准单色光波及其频谱图 复色光波的光电场是所包含各个单色光波电场的叠加。 以二色波为例进行说明。二色波的光电场为: 例子: 假设E01=E02=E0,且|ω1-ω2| ω1 ,ω2 ,则 式中: 对于上述复色光波,E(z, t)为其光场的振幅(包络), 为其光场相位。 两个单色光波的叠加 复色光波的传播速度包含两种含义:等相位面的传播速 度和等振幅面的传播速度,前者称为相速度,后者称为群速 度或包络速度。 复色波的相速度 某时刻等相位面的位置z对时间的变化率dz/dt即为等相位的 传播速度——复色波的相速度, 且有 复色光波的群速度 复色光波的振幅是时间和空间的余弦函数,在任一时刻, 满足(ωmt-kmz)=常数的z值,代表了某等振幅面的位置,该等 振幅面位置对时间的变化率即为等振幅面的传播速度——复 色光波的群速度, 且有 上式还可表示为 该式表明,在折射率n 随波长变化的色散介质中,复色光波的 相速度不等于群速度:对于正常色散介质(dn/dλ<0),v>vg; 对于反常色散介质(dn/dλ>0),v<vg; 在无色散介质 (dn/dλ=0)中,复色光波的相速度等于群速度,实际上,只有 真空才属于这种情况。
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