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北师大版初中数学九年级上册《1.3线段的垂直平分线》

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3、线段的垂直平分线(1) 性质定理与判定定理 九年级数学(上册) 第一章 证明(二) 如图,A,B表示两个仓库,要在A,B 一侧的河岸边建造一个码头,使它 到两个仓库的距离相等,码头应建 造在什么位置? A● B● 创建现实情景,引入新课 线段的垂直平分线 w我们曾经利用折纸的方法得到: w线段垂直平分线上的点到这条线段 两个端点距离相等. w你能证明这一结论吗? 已知:如图,AC=BC,MN⊥AB ,P是MN上任意一点. 求证:PA=PB. A C B P M N A C B P M N 分析:(1)要证明PA=PB, 而△APC≌△BPC的条 件由已知 故结论可证. AC=BC,MN⊥AB,可推知其能 满足公理(SAS). 就需要证明PA,PB所在的 △APC≌△BPC, 线段的垂直平分线 w定理 线段垂直平分线上的点到这 条线段两个端点距离相等. 老师提示:这个结论是经常用来证明 两条线段相等的根据之一. w如图, w∵AC=BC,MN⊥AB,P是 MN上任意一点(已知), ∴PA=PB(线段垂直平分线上的点 到这条线段两个端点距离相等). A C B P M N w你能写出“定理线段垂直平分线上的 点到这条线段两个端点距离相等”的逆 命题吗? w逆命题: 到一条线段两个端点距离相 等的点,在这条线段的垂直平分线上. w它是真命题吗? AB P 如果是.请你证明它. 原命题的条件是:有一个点 是线段垂直平分线上的点 原命题的结论是: 这个点到线段两个端点的距离相等 已知:如图,PA=PB. 求证:点P在AB的垂直平分线上 分析:要证明点P在线段AB 的垂直平分线上,可以先 作出过点P的AB的垂线(或 AB的中点,),然后证明另 一个结论正确. 想一想:若作出∠P的角平分线 或中线结论是否也可以得证明? AB P 逆定理 w逆定理 到一条线段两个端点距离相等 的点,在这条线段的垂直平分线上. A C B P M N w如图, w∵PA=PB(已知), w∴点P在AB的垂直平分线 上(到一条线段两个端点距 离相等的点,在这条线段的 垂直平分线上). A C B P M N 老师提示:这个结论是经常用 来证明点在直线上(或直线经 过某一点)的根据之一. 从这个结果出发,你还能联想 到什么? 逆定理 w逆定理 到一条线段两个端点距离相等 的点,在这条线段的垂直平分线上. 尺规作图 已知:线段AB,如图. 求作:线段AB的垂直平分线 作法: 用尺规作线段的垂直平分线 . 1.分别以点A和B为圆心,以大 于AB/2长为半径作弧,两弧交 于点C和D. AB C D 2. 作直线CD. 则直线CD就是线段AB 的垂直平分线. 请你说明CD为什么是AB的垂 直平分线,并与同伴进行交流 老师提示: 因为直线CD与线段AB的交点就 是AB的中点,所以我们也用这 种方法作线段的中点. 尺规作图 已知:线段AB,如图. 求作:线段AB的垂直平分线 用尺规作线段的垂直平分线 . AB C D 挑战自我 如图,已知AB是线段CD的垂直平分线,E 是AB上的一点,如果EC=7cm,那么ED= cm;如果∠ECD=600,那么∠EDC= 0. 老师期望: 你能说出填空结果的根据. E D AB C 7 60 1.已知直线和上一点P,利用尺规作 的垂线,使它经过点P. P ● l w定理 w线段垂直平分线上的点到这 条线段两个端点距离相等. w如图, w∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任 意一点(已知), w∴PA=PB(线段垂直平分线上 的点到这条线段两个端点距 离相等). A C B P M N 感悟与反思 w逆定理 到一条线段两个 端点距离相等的点,在这 条线段的垂直平分线上. w如图, w∵PA=PB(已知), w∴点P在AB的垂直平分线 上(到一条线段两个端点 距离相等的点,在这条线 段的垂直平分线上). A C B P M N 感悟与反思 在△ABC中,∠C=90o,∠B=15o,AB的垂 直平分线分别交BC、AB于点M、N. 求证:MB=2AC. ┘ ┓ A B C N M 1 解题反思:连接中垂线上的点与线 段的端点,是常用的辅助线。 知识的升华 P9习题1.5 1,2,3题. 祝你成功! 2、如图,求一点P使得PA=PB,PC=PD . . . . A B C D 习题1.5 w1.利用尺规作出三角形三条边 的垂直平分线. w老师期望: w先分别作出不同形状的三角形,再 按要求去作图. 习题1.4 w3.如图,在△ABC中,已知AC=27,AB 的垂直平分线交AB于点D,交AC于点 E,△BCE的周长等于50,求BC的长. 老师期望: 做完题目后,一定要“悟 ”到点东西,纳入到自己 的认知结构中去. B A E D C
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