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北师大版初中数学九年级上册《2.1花边有多宽》

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你知道黄金比为什么是0.618吗? 你能为一个矩形花园提供多种设计方案吗? 你能根据商品的销售利润作出一定决策吗 ? 与一次方程和分式方程一样,一元二次 方程也是刻画现实的有效数学模型 创设情境引入新课 情景一:情景一: 10月1日就要 到了,举办什 么活动好呢? 情景一:情景一:10月1日就要到了,举办什么活动好呢 ? 情景一:情景一: 开个舞会 吧! 用彩灯装扮一个长为16米,宽 为10米的长方形舞台,在舞台四 周做上相同宽度的彩灯花边,若要 使得舞台中央长方形空地的面积为 112平方米,那么花边的宽度该如 何确定呢?同学们,你能帮我回答吗 ? 面积112 m2 16m 10m 解:如果设花边的宽为xm ,那么舞台中央长方形 空地的长为 (16-2x)m , 宽为 (10-2x)m 根据题意,可得方程 (16 - 2x) (10 - 2x) = 112 花边有多宽 w一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图, 它的长为8m,宽为5m.如果地毯中央长方形 图案的面积为18m2 ,则花边多宽? 你怎么 解决这 个问题? 情景二:情景二: w解:如果设花边的宽为xm ,那么地毯中央长方 形图案的长为 m,宽为 m,根据题 意,可得方程: w你能化简这个方程吗? (8-2x)(5-2x) (8 - 2x) (5 - 2x) = 18. 5 x x x x (8-2x) (5-2x) 8 18m2 数学化 w观察下面等式: w102+112+122=132+142 w你还能找到其他的五个连续整数,使前三个数的平方和等于 后两个数的平方和吗? w如果设五个连续整数中的第一个数为x,那么后面四个数依 次可表示为: , , , . 想一想 ☞☞ w你能化简这个方程吗? X+1X+2X+3X+4 w根据题意,可得方程: w . (X+1)2(X+ 2)2 + (X+3)2(X+4)2 =+ X2+ 一般化 w如图,一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的 垂直距离为8m.如果梯子的顶端下滑1m,那么梯子的底端滑 动多少米? w解:由勾股定理可知 ,滑动前梯子底端距 墙 m. w如果设梯子底端滑动 X m,那么滑动后梯子 底端距墙 m; w根据题意,可得方程 : w你能化简这个方程吗? 6 x+6 72+(x+6)2=102 xm 8m 10m 7m 6m 数学化 1m 由上面三个问题,我们可以得到三个方程: (8-2 X )(5-2 X)=18 X2 +(X+1)2+(X+2)2= (X+3)2+( X+4)2 ( X+6)2+72=102 这三个方程有什么共同特点? 定义:上面的方程都是只含有 的 , 并且都可以化为 的形式,这样的方程叫做一元二次方程.其中ax2 , bx , c 分别称为二次项、一次项和常数项,a, b分别称为二次项系数和一 次项系数. 即 2x2 - 13x + 11 = 0 即 x2 - 8x - 20=0 即 X2 +12 X -15 =0 一个未知数X整式方程 ax2+bx+c=0(a,b,c为常数a≠0 ) 建立模型,探索新知 整式方程;只含一个未数;未知数的最高次数是2且其系数不为0。 附: 例1.下列方程哪些是一元二次方程? 并说明理由。 ①5x2=6x ②5x2 -8=0 ③x(3x+1)=2 ④7x2=0 ⑤x2+2x-3=1+x2 ⑥1/x2+x+1=0 想一想:一元二次方程有几种不同的表示形式? 。 例2.把方程(3x+2)2=4(x-3)2化成一元二次 方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次 项系数 和常数项. 1.判一判 下列方程哪些是一元二次方程? (1)7x2-6x=0(2)2x2-5xy+6y=0 (3)2x2- -1 =0 (4) =0 (5)x2+2x-3=1+x2 - 1 3x - y2 2 解: (1)、 (4) 巩固应用,形成技能 (6) ax2+bx+c=0 1.关于x的方程(k-3)x2 + 2x-1=0,当k 时, 是一元二次方程. ≠3 2.关于x的方程(k2-1)x2 + 2 (k-1) x + 2k + 2=0,当 k 时,是一元二次方程.,当k 时,是一元一 次方程. ≠±1=-1 2.想一想: 把下列方程化为一元二次方程的形式,并写出它的二次项 系数、一次项系数和常数项: 方 程一般形式 二次项 系 数 一次项 系 数 常数 项 3x2=5x-1 (x+2)(x -1)=6 4-7x2=0 3x2-5x+1=0 x2 +x-8=0 -7x2 +0 x+4=0 3 1 -7 -5 1 0 1 -8 4 3 -5 +1 11 -8 -70 4 + 3.练一练 -7x2 +4=0 7x2 - 4=0 1、从前有一天,一个醉汉拿着竹竿进屋,横拿竖拿都进 不去,横着比门框宽4尺,竖着比门框高2尺,另一个醉 汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿,这个醉汉一试,不多 不少刚好进去了.你知道竹竿有多长吗?请根据这一问题 列出方程. 4尺 2尺 x x-4 x-2 数学化 拓展延伸,层层攀高 2.把方程(3x+2)2=4(x-3)2化成一元二次方程的一 般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项. 解:将原方程化简为:9x2+12x+4=4(x2-6x+9) 9x2+12x+4= 9x2 5x2 + 36 x - 32=0 二次项系数为 5+ 36- 32 一次项系数为 ,常数项为 . 536- 32 4 x2 -24x +36 - 4 x2+ 24x- 36+ 12x+ 4=0 , 3、关于x的方程 是一元二次方 程吗?请说明原因。 解: (a+1)2+1 a2+2a+2=≥1 4.编拟一道与自己身边生活有关的应用题 ,使列出来的方程是一元二次方程,并与同 伴交流。 小结: 本节课你又学会了哪些新知识呢? 2.会用一元二次方程表示实际生活中的 数量关系. 1.学习了什么是一元二次方程,以及它 的一般形式ax2+bx+c=0(a,b,c为常 数,a≠0)和有关概念,如二次项、一次 项、常数项、二次项系数、一次项系数. 课后作业: 1. 作业本习题2.1 第1、2题.(必做题) 2. 用试验的方法探索情景一中花边的宽度. (选做题) 课堂检测 1. 下列方程哪些是一元二次方程? A.x2-2+x3=0 B.-+ x2 =2 C. 2(x+1)2=3(x-1) D2x2+3x=2x2-1. 2. 关于x的(a-1)x2+3x-5=0方程是一元二次方程, A. a≠ 0 B. a≠ 1 C .a≠ 3 D. a≠-5 3. 2(x+2)2+8=3x(x-1)的一般形式是 它 的二次项为 一次项系数为 ;常数项 . 4. m为何值时,关于x的方程(m-1)xm2+1+3mx-2=0是 一元二次方程? 再 见再 见再 见再 见再 见
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