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傅里叶变换__经典ppt

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积分变换 Fourier变换 Recall: 周期函数在一定条件下可以展开为Fourier级数; 但全直线上的非周期函数不能用Fourier表示; 引进类似于Fourier级数的Fourier积分 (周期趋于无穷时的极限形式) 1 §1 Fourier积分公式 1.1 Recall: 在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要和随时间 变化的周期函数fT(t)打交道. 例如: 具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表 单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复 多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz). t 2 最常用的一种周期函数是三角函数。人们发现, 所有 的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的 线性组合来逼近.—— Fourier级数 方波 4个正弦波的逼近 100个正弦波的逼近 3 研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内的 情况即可, 通常研究在闭区间[-T/2,T/2]内函数变化的 情况. 是以T为周期的函数,在 上满足 Dirichlet条件: 连续或只有有限个第一类间断点; 只有有限个极值点; 可展开成Fourier级数,且在连续点t处成立: 4 引进复数形式: 5 级数化为: 6 合并为: 级数化为: 若以 描述某种信号, 则 可以刻画 的特征频率。 7 对任何一个非周期函数f (t)都可以看成是由某个周期 函数fT(t)当T时转化而来的. 作周期为T的函数fT(t), 使其在[-T/2,T/2]之内等于 f (t), 在[-T/2,T/2]之外按周期T延拓到整个数轴上, 则T 越大, fT(t)与f (t)相等的范围也越大, 这就说明当T 时,周期函数fT(t)便可转化为f (t), 即有 8 例 矩形脉冲函数为 如图所示: 1-1 O t f (t) 1 9 1-13 T=4 f4(t) t 现以f (t)为基础构造一周期为T的周期函数fT(t), 令T=4, 则 10 则 11 sinc(x) x sinc函数介绍 12 前面计算出  可将 以竖线标在频率图上 13 1-17 T=8 f8(t) t 现在将周期扩大一倍, 令T=8, 以f (t)为基础构造 一周期为8的周期函数f8(t) 14 则 15 则在T=8时,  再将 以竖线标在频率图上 16 如果再将周期增加一倍, 令T=16, 可计算出  再将 以竖线标在频率图上 17 一般地, 对于周期T 18 当周期T越来越大时, 各个频率的正弦波的频率间 隔越来越小, 而它们的强度在各个频率的轮廓则总是 sinc函数的形状, 因此, 如果将方波函数f (t)看作是周 期无穷大的周期函数, 则它也可以看作是由无穷多个无 穷小的正弦波构成, 将那个频率上的轮廓即sinc函数的 形状看作是方波函数f (t)的各个频率成份上的分布, 称 作方波函数f (t)的傅里叶变换. 19 1.2 Fourier积分公式与Fourier积分存在定理 20 { O 1 2 3 n-1n {  21 22 23 付氏积分公式也可以转化为三角形式 24 又考虑到积分 25 §2 Fourier变换 2.1 Fourier变换的定义 26 Fourier积分存在定理的条件是Fourier变换存在的 一种充分条件. 27 在频谱分析中, 傅氏变换F()又称为f(t)的频谱函 数, 而它的模|F()|称为f (t)的振幅频谱(亦简称为频谱). 由于是连续变化的, 我们称之为连续频谱, 对一个时间 函数f (t)作傅氏变换, 就是求这个时间函数f (t)的频谱. 28 例 1 求矩形脉冲函数 的付氏变换及其 积分表达式。 29 30 t f (t) 31 2.2 单位脉冲函数及其傅氏变换 在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲函数. 因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如在电学中, 要 研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电 流; 在力学中, 要研究机械系统受冲击力作用后的运 动情况等. 研究此类问题就会产生我们要介绍的单位 脉冲函数. 32 在原来电流为零的电路中, 某一瞬时(设为t=0)进入 一单位电量的脉冲, 现在要确定电路上的电流i(t). 以q(t) 表示上述电路中的电荷函数, 则 当t0时, i(t)=0, 由于q(t)是不连续的, 从而在普通 导数意义下, q(t)在这一点是不能求导数的. 33 如果我们形式地计算这个导数, 则得 这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能 够表示这样的电流强度. 为了确定这样的电流强度, 引进 一个称为狄拉克(Dirac)函数, 简单记成d-函数: 有了这种函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量, 例 如点电荷, 点热源, 集中于一点的质量及脉冲技术中的 非常窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布的量那样, 以 统一的方式加以解决. 34 de(t) 1/e eO (在极限与积分可交换意义下) 工程上将d-函数称为单位脉冲函数。 35 可将d-函数用一个长度等于1的有向线段表示, 这个 线段的长度表示d-函数的积分值, 称为d-函数的强度. t O d (t) 1 d-函数有性质: 可见d-函数和任何连续函数的乘积在实轴上的积分 都有明确意义。 36 d-函数的傅氏变换为: 于是d (t)与常数1构成了一傅氏变换对. 证法2:若F()=2pd (), 由傅氏逆变换可得 例1 证明:1和2pd ()构成傅氏变换对. 证法1: 37 由上面两个函数的变换可得 38 例如常数, 符号函数, 单位阶跃函数以及正, 余弦函数 等, 然而它们的广义傅氏变换也是存在的, 利用单位脉 冲函数及其傅氏变换就可以求出它们的傅氏变换. 所谓 广义是相对于古典意义而言的, 在广义意义下, 同样可 以说,象原函数f(t)和象函数F()构成一个傅氏变换对. 在物理学和工程技术中, 有许多重要函数不满足傅 氏积分定理中的绝对可积条件, 即不满足条件 39 例4 求正弦函数f (t)=sin0t的傅氏变换。 pp -00O  |F()| t 40 例 5 证明: 证: 41 42 §3 Fourier变换与逆变换的性质 这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质, 为了叙述方 便起见, 假定在这些性质中, 凡是需要求傅氏变换的函 数都满足傅氏积分定理中的条件, 在证明这些性质时, 不再重述这些条件. 1.线性性质: 43 2. 位移性质: 证明: 为实常数,则 44 3. 相似性质: 证明: 45 例1 计算 。 方法1:(先用相似性质,再用平移性质) 46 方法2:(先用平移性质,再用相似性质) 47 4.微分性质: 像原函数的微分性质: 则 48 5.积分性质: 6. 帕塞瓦尔(Parserval)等式 49 实际上, 只要记住下面五个傅里叶变换, 则所有的 傅里叶变换都无须用公式直接计算而可由傅里叶变换的 性质导出. 50 例2 利用傅氏变换的性质求d (t-t0),性质 性质 51 例3 若 f (t)=cos0t  u(t), 求其傅氏变换。 52 7.卷积与卷积定理 卷积定义: 卷积的简单性质: 53 例1 求下列函数的卷积: 由卷积的定义有 54 卷积定理: 55 例2 求 的傅氏变换。 性质 56 利用卷积公式来证明积分公式: 证明: 设 则 57
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