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自适应天线第二章21

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自适应 天线 第二 21
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1 第二章 自适应阵的反馈概念 2.1 LMS自适应阵 2.3 肖(Shor)阵 2.2 阿普尔鲍姆阵 2.4 离散的LMS阵 2.5 离散的阿普尔鲍姆阵 2 2.1 LMS自适应阵 图2.1 LMS自适应阵 3 其中:误差信号为 反馈系统调节(WI1,WQ1,····WIN,WQN)使得最小. • 表示期望值(均值) ——LMS准则 注 : 2.1.1 选定LMS准则的依据 设天线阵用于通信系统,且阵的输出包括需要信号、干扰和 热噪音,即: (2.1) 式中 分别为需要信号,干扰信号,热噪声。 假设参考信号是需要信号的复制信号 : (2.2) 4 则 : (2.3) 而均方误差为: (2.4) 当时, 最小 ; 反之,若 最小, 则对应于阵列输出端需要信号功率 固定,干扰和热噪声功率最小。 2.1.2 最佳加权 先来确定为了得到最小 应设置的加权. 对于任意一组加权,阵列输出为 : (2.5) 所以,误差信号为: (2.6) 5 均方误差为: (2.7) 写成矩阵形式得到下式: (2.8) 式中和分别为下列矩阵: (2.9) (2.10) 6 的二次函数(呈碗形曲面). 那么 而 为2N×2N 矩阵: (2.11 ) 可以看出 : 是关于 该碗形曲面有且只有一个极小值. 得到 极小值的加权矢量用表示, 它可由下式确定: (2.12 ) 7 由于: (2.13) 从而可得: (2.15) 此时可以得到其极小值: (2.16) 代入式(2.15),可以得到: (2.18) 对于任意加权的均方误差可改写成更为有用的形式: (2.19) 因为 对称矩阵,可以由下式代替 (2.20) 8 从上式可看出 的二次型性质. 整理式(2.19)的各项可以得出: (2.21) Ø 当 时: Ø 当时: 因为 的非对角线一般不为零,碗形的主轴不与加权平行. 利用以下变换可得到轴平行于碗型的主轴的坐标系统: (2.22) 式中 为 的坐标旋转矩阵,为 元列矩阵. (2.23) 将式(2.22)代入式(2.21)之中得到: (2.24) 9 因 的极值为极小值,所以特征值 非负,而 且 为非负正定的(半正定). 则 便是碗形的正规坐标。 若选择 使 为对角阵, 亦即: 式中为的特征值, (2.25) 10 因为 曲面上的梯度是指向最陡上坡方向,且 k 0, 这个方程便迫使加权最陡下坡,或最陡下降方向移动.并且,这个 方程使 的时间变化率正比于 曲面的斜率.因为二次 型曲面的斜率随离开其极小点的距离而线性增加,所以当加权 远离碗底时,式(2.26)使加权迅速变化,仅当加权接近碗底时变化 才缓慢. 2.1.3 LMS算法 对于任何给定的阵元排列, 曲面的形状,位置和取向 与入射到阵列的信号有关.若这些信号的个数,到达角或功率电平 随时间变化,则碗形曲面及相应的 将在加权平面上移动.自 适应阵的任务就是在于控制加权矢量 使之对碗形底进行跟踪. 在LMS阵中,加权是根据梯度算法进行调整的, 控制方程为: (2.26) 11 利用求导公式可得: (2.27) 可选: (2.28 ) 这样, 就有: (2.29 ) 因为 : (2.31) 所以,对于给定的 , 若 , 很明显: 将取得最小的负值. 12 利用 的表达式,即式(2.7), 可以得到: (2.33 ) 所以式(2.26)式可以写为: (2.34 ) 但是上式实现困难,因为其右边有期望运算.在实时处理器 中无法得到求解。因此有必要用某种估计来代替它。最简 单形式如下: (2.35) 这个方程被称为威德罗等人的LMS算法. 13 上式等效于图2.3所示的反馈环.因为 仅是自适应阵 的正交双道加权中的一个,所以每个天线单元阵元后面需 要两个这样的环路,一个是同相通道,一个是正交通道,如图 2.4所示.该反馈环常称为相关环,采用这个术语是由于该环 内形成了 和 的乘积,并将乘积积分, 即 : 图2.3 LMS反馈环图2.4 一个阵元的LMS反馈 (2.36) 14 2.1.4 省略E[·]的影响 采用近似 的影响.此时 曲面为瞬 时随机变化的曲面.若 为平稳随机过程,则 曲面不 随时间变化,相应地, 将在其平均值 周围 变化,因此阵的每个加权也变成随机过程. 对于用瞬时 曲面的梯度代替 曲面的梯度的算法, 加权绕其平均值起伏,故仅能通过选择足够小的增益k来尽可 能平均掉随机变化,从而使加权的方差尽可能小.反之,若采用 E[·],则可以采用任意大的k值. 例:假设环路输入信号为连续信号x(t), 参考信号为r(t): 分析:(1)若包含E[·], 则图2.5的加权满足方程: (2.37) (2.40) 15 图2.5 单LMS环路 输出信号为 : (2.41) 所以误差信号为 : (2.42) 因此 :(2.43) 所以,w满足右式 : (2.45) 16 这个微分方程的解为: (2.46) ( 注: 式中w(0)为w(t)在t =0时的初值. ) (2)若省略E[·], 此时,w 满足下式: (2.49) 采用数值求解法, 对于k = A = R = 1,w(0)=0和θ= 0, 可得到 如图2.6的解的形式. 17 • 采用E[.]形式时, 加权随时间呈简单指数形式变化; • 省略E[.]形式时, 加权围绕着指数形式振荡, 且增加时, 加权逼近指数形式. 18 其中 就称作解析信号. 2.1.5 复数表示法 研究一种简化自适应阵分析的方法, 即复数加权的解析 信号表示法.首先回顾一下希尔伯特变换的定义: 而 图2.7 处理一个阵元的正交混合器 19 图2.7表示正交混合器和一对加权,这是自适应阵的一 个阵元后所接的电路. 采用解析信号表示法, P.273图 B.5说明了如何利用解析信号表示法表示正交混合器. 图B.5 简化的正交混合器模型 假设正交混合器是宽带的,所以: (2.51) 我们可以定义复信号 为: (2.52) 20 再定义复加权 : (2.53) 定义相应的解析信号为 : (2.54) (2.55) (2.56) (2.57) 现在讨论图2.7所示的第 j 阵元的输出和其希尔伯特变换: (2.58) 式中: 因此有 : (2.60), (2.61) 所以,解析信号 为: (2.59) (2.62) 21 定义复加权矢量 和复信号矢量 分别为: (2.63) 但是,根据 和 的定义可见,这恰恰就是: (2.64) 对于整个阵,其解析的输出信号为: (2.65) (2.66) (2.67) 所以可以得到: (2.68) 22 2.1.6 复数LMS算法 所以可得: (2.69) (2.71) 实数形式的LMS算法为: (2.70) 利用希尔伯特变换关系: (2.72) (2.73) 23 可以得到 : (2.74) (2.75) 因此式(2.71)可以写为: (2.76) 现在研究反馈方程: (2.78) 经过演算和推导可以得到复数的LMS算法: (2.79) 上式可用图2.8的方块图来表示: 24 图2.8 复数的LMS环路 式(2.79)可以写为下面的矢量形式: (2.80) 然而, 可以写为 : (2.81) 因此式(2.80)为: (2.82) 25 或:(2.83) 定义协方差矩阵 和参考相关矢量 分别为: (2. 84) (2.85) 则 的微分方程变为: (2.86) ------Hermite 矩阵 26 只要 是非奇异的,稳态的加权矢量便为: (2.87) 为了得到瞬态解,将标准型式的加权坐标旋转,令: (2.88) 式中R为 N×N 的酉矩阵: (2.89) 为列矢量,其元素为新加权值 , 即: (2.90) 27 将式(2.88)代入式(2.86),并左乘 (‘+’表示转置共 轭) 得到: (2.91) 若选择R使 为对角线阵: (2.92) 式中 为 的特征值,则 的微分方程相互无关.对 的解为: (2.93) 因此 将有下列形式: 28 考虑如图2.8所示的由两个各向同 性阵元组成的LMS阵.一个频率为 的连续波信号以相对于侧射方向为 的角度传到阵上.设阵元间距为在频 率 时的半波长. 经过矩阵运算,可以得到关于 的较为简练的表达式: (2.94) 式中 由 t=0 时 的初值决定. 2.1.7 例子 图2.9 二元LMS 阵 ①. 假设信号 包含需要信号和热 噪声: (2.95) (2.96) 例 1. 29 上式中 和 分别为需要信号和热噪音分量. ②. 对于连续波的需要信号, 和 为: (2.97) (2.98) 上式中 为需要信号的幅度, 为阵元1处的载波相位角, 而 为阵元之间的相位移.假设 为均匀分布的随机变量, 其概率密度为: (2.99) 因为阵元间距是半波长,则有:(2.100) ③. 假设热噪音功率密度为 , 且为零均值的随机过程,并且 彼此以及和需要信号统计无关.则有: (2.101) (2.103) 30 ⑤. 每一个阵元混合为两路信号,即同相和正交信号分 别为: (2.104) ④. 假设参考信号为与需要信号相关的连续波信号: (2.105) (2.106) 于是,平均的输入功率为: 因此,正交混合器的输入信号为: (2.107) (2.108) 而输入噪声功率为: (2.109) 所以每个阵元上的输入信噪比(SNR)为: (2.110) 31 ⑥. 现在计算阵列的稳态加权,并研究阵的性能. 将信号 矢量写为: 式中: (2.111) (2.112) (2.114) 先考虑协方差矩阵, 可写为: (2.115 ) 而由(2.112)有: (2.116 ) 32 而且: (2.117 ) 式中I为单位矩阵,所以 为: (2.118 ) 因为 是统计无关的,所以: (2.119 ) 加权矢量 满足: (2.120 ) 其稳态部分为: (2.121 ) 根据式(2.118), 为: (2.122 ) 33 (2.123 ) 的表达式为: (2.125 ) 式中变量 是阵中每个阵元的输入信噪比. 我们注意到,两个复加权 和 的幅度相同: (2.126 ) 但相位相差 .正是这个适当数量的相位差使得加 权信号 和 能够实现同相相加. 的逆为: 34 ⑦. 计算方向图: 为了计算方向图,假设单位幅度的信号以 角传到 阵, 因此, 该信号在阵上产生一个信号矢量: (2.127 ) 阵的输出信号为: (2.129 ) 该信号的幅度为: (2.130 ) 该阵的电压方向图为: (2.131 ) 35 值得注意的是 的最大值总是在 方向(即 时).因此,LMS加权矢量自动地操纵方向图的最大 值到需要信号的方向上. 下图给出了两种情况的方 向图: 图2.10 二元自适应 阵的电压方向图 36 ⑧. 下面研究输出端的信号和噪音功率. 首先,实信号s(t)的平均功率为: (2.132 ) 利用相应的解析信号 , P 可表示为: (2.133 ) 因为: (2.134 ) 现在来看阵输出端的需要信号功率和热噪声功率. 由式(2.111)可知阵的输出信号可以写作: (2.135 ) 式中: (2.136 ) (2.137 ) 37 因此输出的需要信号为: (2.138 ) 阵输出需要信号的功率为: (2.139 ) 式中 为参考信号的功率. 当输入信号比 很高时,输出的需要信号功率等于参 考信号的功率. 通常, LMS 反馈实际上并不能使输出 端的需要信号与参考信号匹配. 比较式(2.104)和式 (2.138)可以看出: (2.141 ) 式中:(2.142 ) 38 比值 与输入SNR有关. 如下图所示, 输入的SNR高时, 基本上等于 ,但是对于较低的SNR, 则小于 . 图2.11 比值 与输入SNR 的关系 下面研究噪声信号.输出的噪声信号为: (2.143 ) 输出的噪声信号功率为: (2.144 ) 39 (2.145 ) 噪音功率 与 有关,如图2.12所示: 图2.12 与输入SNR 的关系 而阵的输出信噪比 为: (2.146 ) 40 二元自适应阵在无干扰下的特点: ⅰ. 输出信噪比(SNR)为输入信噪比的2倍,且为最大输出SNR; ⅱ. 参考信号幅度不影响LMS 加权的最佳值; ⅲ. 对于任何 , 阵也可得到最大输出SNR. ⑨. 的瞬态特性. 通常,加权是从 t = 0 的任意初值开始,并按式(2.94)的 形态经历瞬态过程. 由式(2.124)有: (2.147 ) (2.148 ) 式中 和 为 的特征值,这些特征值可通过求解下 式得到: 41 其解为: (2.149 ) (注意:因为热就噪音项 存在, 和 均为正,所以 是正定的). (2.150 ) 这是关于未知量 和 的一个方程.为了得到另一个方 程,可以采用加权的微分方程: (2.151 ) 用 来表示 t = 0时的 : (2.152 ) 而:(2.153 ) 合并式(2.152)和式(2.153),并消去因子k 得到: (2.154 ) 为了确定具体的加权瞬态过程,必须计算出与 的初值 有关的矢量常数 和 . 在t=0时, 应用式(2.147)得到: 42 用 和 分别乘以式(2.150),并与式(2.154)相加可以得到: (2.155 ) (2.156 ) 将任意的 值代入这两个方程,并计算出 和 ,即 可得到 . 图2.13示出了一组用这种方法算出的典型 的加权瞬态过程, 所假设的参量为: (2.157 ) (2.158) 另外,所用的初始条件为: (2.159) (即:正交加权的初始值为 ) 43 图2.13 二元阵的加权瞬态过程 可以看出, 的瞬态过程中有两个指数项.对于式 (2.157)所假设的数值,有: (2.160) (2.162),(2.163) 相应的时间指数为: (2.161) 44 通常,我们发现,当信号功率 大时, 基本上由信 号功率确定,而 由噪音功率确定.所以,对于高的信 噪比,两时间常数之比将为SNR的两倍. (2.164) 这个比称为时间常数分散度(或特征值分散度). 同前,书中22页中图2.14给出了根据图2.13的瞬态过 程,对不同时刻算出的一组方向图. 45 例2. 假设二元阵与例1相同,阵列接收到连续波的干扰 信号和需要信号,令干扰信号以相对于侧射方向为 的 角度到达,如图2.15所示: 图2.15 具有需要信号和干扰的二元阵 46 ①. 上图所示的阵元信号为: (2.165) (2.166) 假设干扰信号 和 为: (2.167) (2.168) 式中 为幅度, 为阵元间的相位移: (2.169) 参考信号仍由式(2.104)表示,它与需要信号相关,且与干 扰不相关. 在例1中,输入信噪比为: (2.171) 47 同样,对于干扰信号来说,其输入干扰噪音比为 . 定义 为输入干扰噪音比: = 输入INR (2.172) 信号矢量可写为: (2.173) 式中 与例1中相同. 干扰信号矢量 为: (2.175) 式中: (2.176) 最后,与例1一样有 : (2.177) 48 现在协方差矩阵变为: (2.178) 需要信号与噪音项已在例1中求得,对于干扰项,可类似推 出:(2.181) 因此: (2.183) 的行列式为: (2.184) 而 的逆为: (2.185) 49 参考相关矢量 : (2.187) 该稳态加权为: (2.189) 另外由(2.184)有: (2.190) 50 ②. 稳态方向图: 现在计算具有这些加权的阵的方向图.以角 传到 阵上的单位幅度测试信号将产生下面的信号矢量: 该测试信号将产生一个阵的输出信号: (2.191) 其电压方向图为: 图2.16示出用这种方向图计算出的一组方向图.其参数为: 而输入的INR为: 51 图2.16 带有干扰的二元阵的电压方向图 可见: 方向图零点深度是干扰功率 (或 ) 的函数, 这种 特性正是LMS阵的特点。 52 ③. 输出端参量: 输出的需要信号为: (2.192) 则输出的需要信号功率为: (2.193) 与此类似,输出的干扰信号为: 则输出的干扰信号功率为: (2.194) (2.195) 53 输出的热噪音电压为: (2.196) 则输出的热噪音功率为: (2.197) 最后,定义输出的需要信号与干扰加热噪音的比SINR 为: (2.198) 功率 和SINR与 的关系绘于图2.17~图2.20 中. 54 图2.17 与 的关系 图2.18 与 的关系 图2.19 与 的关系图2.20 SINR与 的关系 55 ⅰ. 首先,研究图2.18所示的 与 的关系.由图可以看出 : 随输 入的干扰功率增加, 先是增加,然后降低.这种现 象出现的原因是:当干扰弱时,它不会对控制加权的反馈 环产生任何影响;当干扰很强时,阵的自由度用于抑制干 扰( 增加10dB将使 降低10dB)。 ⅱ. 输出需要信号功率随着 上升而下降,因为二元阵 仅有一个自由度,且用于抑制干扰. ⅲ. 与 几乎无关,其原因是,加进干扰时, 变化很小,干扰的影响仅在于改变 和 的相位,以 便在 方向产生一个零点. ⅳ.SINR 随 的增加而下降,这个下降主要是由需要 信号功率随 的增加而降低引起的,因为阵中只有一 个自由度. 56 2.1.8 某些典型的实验结果 图2.21给出了安装在方形接地平面上的二元单极子阵 .单极天线长四分之一波长,间距半波长,每一阵元的输 出连接到混频器,混频器将信号频率转换成65MHz, 然后送入两个LMS处理器.如图2.22所示: 图2.21 接地平面上的两个单极子 图2.22 二元阵的实验测试方案 57 图2.23(a)说明 了需要信号从侧射方向入射在阵上时 得到的典型方向图。实验中,允许进行自适应加权 ,当加权达到稳态后将其固定, 2.23(a)是用固定的 加权得到的测量结果。 图2.23(a) 只有需要 信号时采用固定加权 值得到的方向图 58 图2.23(b)显示了加权对信号进行跟踪时需要信号的 系统响应与到达角之间的关系。此时,方向图记录 仪转动时仍然允许阵的自适应加权,加权随记录仪 的转动而变化,该图不是天线的方向图,是天线波 束跟踪需要信号时波束峰值的变化图。 图2.23(b) 加权对信号进 行跟踪时接收信号的幅度 与角度的关系 59 图2.24示出了不同需要信号和干扰信号同时入射到阵 上时的典型方向图。在该实验中,允许进行自适应 加权,并在测量这些方向图前固定加权。 图2.24 不同需要信号和干扰信号到达角的 最终阵列方向图 60 图2.24 (续)不同需要信号和干扰 信号到达角的最终阵列方向图 图中显示了对需要信号和干扰信号的三组入射角的 三个不同方向图,由此可以清楚地看出,自适应反 馈是如何迫使阵列在干扰方向形成零点的。 从图2.23,2.24可以看出,实 验图形不如图2.14和2.16中所 示的方向图那么平滑对称,其 原因是单极子阵元的孤立方向 图实际上不是各向同性的,实 验中所用的方形接地平面将改 变阵元方向图,此外,阵元间 互耦的存在将使各个单元的方 向图受到影响。 61 图2.25 干扰的零点深度与干扰到达 角的关系 图2.25示出的是需要信号在侧射时,干扰信号方向的 零点深度与干扰信号到达角的关系,该零点深度图( 不是方向图)实际上示出了二元阵的分辨力。
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