• / 45
  • 下载费用:20 金币  

2行列式定义及性质

关 键 词:
2行列式定义及性质 2行列式定义及性 行列式性质2 2行列式及其性质
资源描述:
方阵行列式及其性质 行列式是一种常用的数学工具,也是代数学中必不可 少的基本概念,在数学和其他应用科学以及工程技术中有 着广泛得用应用.本部分主要介绍行列式的概念、性质和计 算方法. 第一章 教学目的:通过本章的教学使学生了解行列式的概念, 掌握行列式的性质,会计算各种类型的行列式. 教学要求:理解行列式的概念,深刻理解方阵与方阵 的行列式的关系,会用行列式的六条性质熟练计算各种类 型的行列式,掌握行列式的展开定理和拉普拉斯定理. 教学重点:方阵行列式的性质及展开定理,计算典型 的行列式的各种方法. 教学难点:n阶行列式的计算,拉普拉斯定理的应用. 用消元法求解用消元法求解,,得:得: 当 时,求得方程组有唯一解: 方阵行列式的定义方阵行列式的定义 二元线性方程组 1 1 n n阶行列式的引出阶行列式的引出 系数矩阵为系数矩阵为 方程组的解可以写成:方程组的解可以写成: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 记记 为为A A的二阶行列式的二阶行列式 例例1 1 解二元线性方程组解二元线性方程组 解解 由于由于 二阶行列式的应用 三元线性方程组三元线性方程组 用消元法可求得,当用消元法可求得,当 时, 三元线性方程组有唯一三元线性方程组有唯一解解:: 其中:其中: 三阶行列式的定义三阶行列式的定义 对角线规则(沙流氏规则) 例例2 2 解解 三元线性方程组三元线性方程组 解 由于 所以,方程组的解为 , , . 三阶行列式的应用 n n元线性方程组元线性方程组 构造构造:: 二、三阶行列式的推广 提出三个问题提出三个问题 l(1)D=?(怎么算)? l(2)当D≠0时,方程组是否有唯一解? l(3)若D≠0时,方程组有唯一解,解的 形式是否是 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 2 全排列及其逆序数全排列及其逆序数 l 2.1、全排列 l 用1,2,3三个数字可以排6个不重复三位数即: 123,231,312,132,213,321. 一般地,把n个不同的元素排成一列(n级排列),共有 几种不同的排法? 这是一个全排列问题.从n个元素中任取一个放在第一 个位置上,有n种取法; 再从剩下的n-1个元素中任取一个元素,放在的第二 个位置上有n-1种取法;依此类推,直到最后剩下一个元素 放在最后位置上,只有一种取法; 于是: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.2 2.2 逆序数逆序数 对于 n 个不同的元素,可规定各元素之间有一个标准 次序(例如,n 个不同的自然数 p1, p2, …, pn ,规定由小 到大为标准次序).于是,在这 n 个元素的任意排列中, 当某两个元素的前后次序与标准次序不同时,就说产生了 一个逆序,一个排列中所有逆序的和叫做这个排列的逆序 数. 记 逆序数是奇数的排列叫做奇排列 逆序数是偶数的排列叫做偶排列 2.3 2.3 逆序数的计算方法逆序数的计算方法 不妨设元素为1至n个自然数,并规定有小到大为标准 次序,设 p1, p2, …, pn 为这n个自然数的一个 n 级排列,考 虑元素pi(i= 1,2, … ,n),如果比 pi 大的,且排在 pi 前 面的元素有ti个,则说这个元素的逆序是ti个,全体 元素逆序之和即是 p1, p2, …, pn 的逆序数,即 例求其逆序数:例求其逆序数: 例例 若若 则则 例如,设排列3 2 5 1 4,其逆序数为: t=1+3+0+1+0=5 . 当我们把上面排列改为 3 1 5 2 4,相当于把3 2 5 1 4 这个排列的第2、4两个数码对换(将一个排列中任 意两个元素对调,其余的元素不动,这种作出新排 列的手续叫做对换). 通过计算可知 3 1 5 2 4 的逆序数为 t=1+2+0+1+0=4. 可见排列 3 2 5 1 4 为奇排列,而 3 1 5 2 4 为偶排列, 由此得一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性 Pro 2 任意一个n级排列与123…n都可经过 一系列对换互变,且所作变换个数与这个排列 有相同的奇偶性。 Pro 1 对换改变排列的奇偶性。 Proof: 1st--对换的两个数在排列中是相邻的 2nd--一般情况 推论:在全部n级排列中,奇、偶排列的个数相 等,各有n!/2. 排列的两个性质 Proof:数学归纳法。 得到行列式值的特点: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3 3. n. n阶行列式的定义阶行列式的定义 矩阵元素乘积的代数和,每一项来自不同行不同列 每一项前面还有符号---确定方式 当 偶排列时,正号 当 奇排列时,负号 定义 设n阶方阵A=(aij),定义n阶行列式|A|的值为 也可记为: 作出n阶方阵A=(aij)中位于不同行不同列的n个数的 乘积,并冠以符号(-1)t,得到形如 的项( 称为行列式的一个均布项) p1, p2, …, pn 为自然数1,2,…,n的一个排列,t 为这个 排列的逆序数.这样的排列共有n!个,所有这些项的代数和 即为n阶行列式的值. 行列式的另一种定义形式为: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 计算下列行列式值 l 同理,也可以定义为: 行和列指标行和列指标 地位平等地位平等 4 行列式的展开式行列式的展开式 由前面的定义可知,每一项都是来自不同行不同列的n个元素乘积 ,故对某一确定行中的n个元素(如 ),每一项都含有 且只含有其中一个元素。故可将n!项分成n组,第j组的项均含有 ,再提公因式 ,得到 其中 代表含有 的项在提出公因式后的代数和,且 中不含有 元素 ,即 与第i行第j列元素无关。 如 三阶行列式可以通过二阶行列式来计算 同理,n 阶行列式可以通过(n-1)阶行列式来计算 定义 在n阶行列式D中去掉元素 所在的第i行和第j列,剩下的(n -1)2个元素按原来顺序排列成一个(n-1)阶行列式. 为 的余子式, 为 的代数余子式 展开式 该定义适合于常规计算,第一种常适用于证明 对角线规则 or 代数余子式 选择含零多的 行或列 6 1 5 5 几种特殊的行列式几种特殊的行列式 l(1) 对角行列式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义或 展开式 l(2) 下(上)三角行列式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中 , 证明 证 记D=det(dij),其中 dij=aij i=1,2,…,m;j=1,2, …,m. d m+i ,m+j=bij i=1,2,…,n;j=1,2, …,n. 在行列式 中任取一个均布项 由于当i≤ m,jm时, dij=0,因此r1,r2, …, rm只有在 1,…,m中选取时,该均布项才可能不为0,而当r1, r2, …, rm 在1,…,m中选取时,rm+1, …, rm+n只能在m+1, …,m+n中选 取. 于是D中可能不为0的均布项可以记为 这里,pi=ri , qi=rm+i-m,设l为排列p1p2 …pm(m+q1) …( m+qn) 的逆序数.以t,s分别表示排列p1p2 …pm及q1q2 … qn的逆序数, 应有l= t + s (pi ≤ m),于是 =D1D2. 小结 1、深刻理解行列式的定义. 2、熟记行列式3个特殊的公式. 方阵行列式的性质方阵行列式的性质 k=0 推论 若行列式中某一行(列)的所 有元素都是m(大于2)个数的和,则 此行列式可写成m个行列式的和 若ri表示第i行,cj 表示第j列,则性质中的变换可以用以 下符号表示: 下面给出展开式的证明 引理 如果n阶行列式中第i行除 aij 外其他元素全为0,即 则 分两步 展开定理的证明展开定理的证明 几个例题几个例题 =9 一般地,可以计算 请牢记这种 方法,这类 题就这种做 法。 若n为奇数,A为反对称矩阵,则n阶行列式 |A|=0 性质 7 设A、B均为n阶方阵,c为常数,则 非奇异矩阵:|A|≠0 奇异矩阵:|A|=0 方 阵 例 设n阶方阵A满足:A2-A-2E=0,证:A为非奇 异方阵 A(A-E)=2E 注意条件 重要 例 其中其中A A为为 三阶方阵三阶方阵 拉普拉斯( Laplace)定理 k级子式:在一个n级行列式D中任选定k行k列(k ≤ n),位 于这些行和列的交点上的k2个元素按照原来的次序组成一个 k 级行列式M,为D的一个k 级子式 k级子式的余子式:当k<n时,在D中划去k行k列 后余下元素按原来次序组成的( n-k)级行列式 M和 是一对互余的子式 例 对矩阵对矩阵 A Amn mn:也 :也 有此概念,个数有此概念,个数 为为 C Cm m k k C C n n k k 引理 行列式D的任一子式M与它的代数余子式A的乘积中 的每一项都是行列式D的展开式中的一项,且符号也一致 拉普拉斯定理 设在行列式D中任意取定了k(1≤k ≤ n-1)个 行.由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子 式的乘积和等于行列式D 是行列式展开式的推广,主是行列式展开式的推广,主 要用于理论证明要用于理论证明 推论 两个n级行列式的乘积仍为一个n级行列式 ,即 则 i.e
展开阅读全文
  麦档网所有资源均是用户自行上传分享,仅供网友学习交流,未经上传用户书面授权,请勿作他用。
0条评论

还可以输入200字符

暂无评论,赶快抢占沙发吧。

关于本文
本文标题:2行列式定义及性质
链接地址:https://www.maidoc.com/p-15698388.html
关于我们 - 网站声明 - 网站地图 - 资源地图 - 友情链接 - 网站客服 - 联系我们

[email protected] 2018-2020 maidoc.com版权所有  文库上传用户QQ群:3303921 

麦档网为“文档C2C模式”,即用户上传的文档所得金币直接给(下载)用户,本站只是中间服务平台,本站所有文档下载所得的金币归上传人(含作者)所有。
备案号:蜀ICP备17040478号-3  
川公网安备:51019002001290号 


收起
展开