• / 67
  • 下载费用:30 金币  

第二章线性系统的数学描述1

关 键 词:
第二章线性系统的数学描述1 线性系统的数学描述1 第二章 线性系统的数学描述 第二章 线性系统的数学 第二章线性系统的 第二章 线性系统的 第二章线性系统的数学描述 线性系统的数学 第二章第二章
资源描述:
自动控制原理 杭州电子科技大学 “自动控制原理”精品课程课题组 2009. 10 2006年度浙江省精品课程 第二章 线性系统的数学描述 Ø引言 Ø2.1 线性系统的时域数学模型 Ø2.2 传递函数 ——复数域数学模型 Ø2.3 结构图 ¬2.4 信号流图 引言 Ø数学模型的含义 l数学模型:用数学的方法和形式表示和描 述系统中各变量间的关系。 l分析和设计控制系统,首先要建立它的数 学模型。 Ø静态模型和动态模型 l静态关系或静态特性:系统中各变量随时间变化缓慢,其 对时间的变化率(导数)可忽略不计时,这些变量间的关 系称为静态关系或静态特性,系统称为静态系统。相应的 数学模型称为静态模型。 p静态模型中不含有变量对时间的导数。 l动态关系或动态特性:系统中变量对时间的变化率不可忽 略,这时各变量之间的关系称为动态关系或动态特性,系 统称为动态系统,相应的数学模型称为动态模型 。 p控制系统中的数学模型绝大部分都指的是动态系统的数学 模型。 l 控制系统中常见的三类数学模型 Ø输入输出描述,或外部描述 •用数学方式把系统的输入量和输出量 之间的关系表达出来。 p微分方程、传递函数、频率特性和差 分方程 。 Ø状态空间描述或内部描述 l不仅可以描述系统输入、输出之间的关系,而 且还可以描述系统的内部特性。 l它特别适用于多输入、多输出系统, l也适用于时变系统、非线性系统和随机控制系 统 Ø图形化表示:用比较直观的结构图(方块图)和 信号流图进行描述。 n注:同一系统的数学模型可以表示为不同的形式 ,需要根据不同的情况对这些模型进行选择使用 。 Ø建立数学模型的两种基本方法 l机理分析法: 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化 学 规律列写出相应的数学关系式,建立模型。 n适用于比较简单的系统 l实验辨识法: 人为地对系统施加某种测试信号,记录其输出 响应,并用适当的数学模型进行逼近。这种方法 也称为系统辨识。 n适用于复杂系统 Ø数学模型的概括性 • 许多表面上完全不同的系统(如机械系统、电 气系统、液压系统和经济学系统)有时却可能 具有完全相同的数学模型。 • 数学模型表达了这些系统的共性。 • 数学模型建立以后,研究系统主要是以数学模 型为基础分析并综合系统的各项性能,而不再 涉及实际系统的物理性质和具体特点。 Ø由数学模型确定系统性能的主要途径 求解观察 线性微分方程性能指标 传递函数 时间响应 频率响应 拉氏变换 拉氏反变换 估算估算 计算 傅 氏 变 换 S=jω 频率特性 Ø本章将重点讨论以下几类控制系统模型 l微分方程 ¬单位脉冲响应 l传递函数 l方块图(结构图) l信号流图 2.1 线性系统的时域数学模型 Ø目的:从时间域角度,建立系统输入量( 给定值)和系统输出量(被控变量)之间 的关系。 Ø两种描述:微分方程描述、单位脉冲响应 描述。 Ø线性系统的微分方程描述(机理建模法) ØSISO线性定常系统的输入输出关系微分方程描 述的标准形式 (2- 1) 式中式中 r r( (t t) ):系统的输入信号;:系统的输入信号; c c( (t t) ):输出信号;:输出信号; a a i i ( (i i=1,2,…=1,2,…n n) )和和b b j j ( (j j=0,1,…=0,1,…mm) )是是由系统的结构由系统的结构 参数决定参数决定的系数。的系数。 几点说明: Ø控制系统中输出量和输入量通常都是时间的函数 ; Ø很多常见的元件或系统的输出量和输入量之间的 关系都可以用一个微分方程表示,方程中含有输 出量、输入量及它们各自对时间的导数或积分; Ø控制系统的微分方程又称为动态方程或运动方程 ; Ø微分方程的阶数一般是指方程中最高导数项的阶 数,又称为系统的阶数。 Ø列写系统微分方程的步骤 Ø划分不同环节,确定系统输入量和输出量; Ø写出各环节(元件)的运动方程; Ø消去中间变量,求取只含有系统输入和输出变 量及其各阶导数的方程; Ø化为标准形式。 Ø例2-1:图2-1是由电阻R、电感L和电容C组成的无源网络, 试列写以 为输入量,以 为输出量的网络微分方程。 解 设回路电流为i(t),由基尔霍夫电压定律可写出回路方程 为 消去中间变量i(t),可得描述该无源网络输入输出 关系的微分方程 (2-2)式也可以写为 其中: , 。 p这是一个典型的二阶线性常系数微分方程,对应 的系统称为二阶线性定常系统。 (2-3) (2-2) Ø例2-2: 图2-2是一个由理想运算放大器组成的电容 负反馈电路 。电压 和 分别表示输入量和输 出量,试确定这个电路的微分方程式。 解 理想运算放大器正、反相输入端电位相同,且 输入电流为零。根据基尔霍夫电流定律有 整理后得 或者为 式中T=RC为时间常数。方程(2-4)和(2-5)就是该系 统的微分方程,这是一个一阶系统。 (2-4) (2-5) Ø例2-3: 图2-3表示一个含有弹簧、运动部件、阻尼 器的机械位移装置。外力 f(t) 是系统的输入量,位 移 y(t) 是系统的输出量。试确定系统的微分方程。 解 根据牛顿运动定律,系统的运动方程为 或写成 思考:比较表达式(2-3)和(2-7)可以得到什么结论 (2-6) (2-7) Ø例2-4:图2-4表示一个单摆系统,输入量为零(不 加外力),输出量为摆幅θ(t)。试建立系统的的运 动方程。 解 对于图2-4所示的单摆系统,根据牛顿运 动定律可以直接推出如下系统运动方程 显然方程(2-8)是一个二阶的非线性微分方程 ,但是在摆幅较小的情况下,单摆运动方程 可以认为是线性的 (2- 8) (2- 9) ¬相似系统和相似变量 l数学模型相同的各种物理系统称为相似系统; l在相似系统的数学模型中,作用相同的变量称 为相似变量。 l根据相似系统的概念,一种物理系统研究的结 论可以推广到其相似系统中。 l可以用一种比较容易实现的系统模拟其他较难 实现的系统。 弹簧阻尼系统机械旋转系统RLC串联网络 力F转矩T电压u 质量m转动惯量J电感L 粘滞摩擦系数f粘滞摩擦系数f电阻R 弹簧系数k扭转系数k电容的倒数1/C 线位移y角位移电荷q 速度v角速度电流i *非线性微分方程的线性化 Ø为什么要研究非线性方程的线性化问题? l系统、元件非线性特性的普遍存在性; l精确描述系统的动态方程通常为非线性微分 方程; l高阶非线性微分方程除计算机求解外,无一 般形式的解,这给研究系统带来理论上的困 难; l线性微分方程理论比较成熟。 输出 输入 O (a) 饱和 输出 输入 O (b) 死区 输出 输入 O (d) 继电 输出 输入 O (c) 间隙 图2-5 非线性特性 1、对弱非线性的线性化 l对于2-5(a),当输入信号很小时,忽略非 线性影响,近似为放大特性; l对于2-5(b)、(c),当死区或间隙很小时, 也可近似为放大特性。 2、平衡位置的小偏差线性化 考虑输入、输出变量之间的非线性关系y=f(x),系统 经常工作在平衡点A(x0,y0)处,则A点附近的输入、 输出关系可用Talor级数展开的方法得到,即 当Δx很小时,可得 上式是A点处的切线方程。 Ø采用平衡点A处的切线方程代替非线性方程y=f(x), 这就是小偏差线性化的几何意义。 Ø若非线性函数具有两个自变量,如z=f(x,y),则在 平衡点展成Talor级数后的线性方程为 Ø经上述处理,有些非线性关系可以近似用线性关 系表示,简化问题研究。 p对于强非线性情况(图2-5(d)),不可能对其进行 线性化处理,只能采用非线性理论来分析。(第 八章详细讨论) 复习回顾 Ø控制系统的工程要求 Ø控制系统的建模 Ø机理分析法建立微分方程 l输入输出 l中间变量及机理分析 Ø弱非线性方程的线性化处理 Ø作业点评 l1-4(6)线性时变 二、*实验辨识法建模——单位脉冲响应描述 l实验辨识法:利用输入、输出的实验数据 建立系统数学模型的方法 l辨识前提:系统是线性定常、零初始条件 (t=0时刻系统的响应及其各阶导数均为 零)。则有 其中,c(t)和 r(t)是系统的输出和输入(已 知)。 l辨识任务:确定算子 H (由系统本身的特 性决定)。 l辨识方法:通过已知输入信号作用下系统 的响应,来确定任意输入信号作用下系统 的响应 。 l优点:零初始条件下,内部结构未知的LTI 系统,可以通过测量系统的输入及响应的 实验数据,经过一定的处理求得其数学模 型。 1、单位脉冲响应建模 Ø脉冲函数的概念 Ø单位脉冲响应:零初始条件下的LTI在δ(t)作用下的输出; 即g(t)=H[δ(t)]。 Ø如果输入信号为Aδ(t-τ) ,则系统脉冲响应为Ag(t-τ) ; Ø进一步将作用在系统上的任一分段连续函数用一系列长 方形常值脉冲信号叠加,即 Ø则零初始条件下LTI系统在任一输入r(t)作用下的响应可近似 表示如下 Ø如果脉冲宽度足够小,即ε=dτ,并将和式取为积分式,则有 如下卷积公式 其中,τ是输入作用时刻,t是观测系统响应的时刻。 Ø对于 t τ,根据因果系统和零初始条件的约定有g(t-τ)=0, (t τ), 所以有 Ø作变量代换,可得到卷积公式的另一种形式 n结论:(2-1)和(2-10)、(2-11)均为LTI系统的时域模型,且等 价。 (2-10)(2-10) (2-11)(2-11) 2.2 传递函数-复数域数学模型 Ø为什么要研究LTI系统的传函表示? ØLaplace变换的回顾 Ø传递函数的定义 Ø建立LTI系统传递函数模型的两种途径:微 分方程、卷积公式 Ø传递函数特点和有关概念 一、为什么要研究LTI系统的传函表示? l微分方程是系统的时域数学模型,给定外部作 用和初始条件下,求解微分方程可以得到系统 的输出响应。 l方法直观,借助计算机可快速、准确求出方程 的解。 l但是如果系统的结构改变或某个参数变化时, 就要重新列写并求解微分方程,不便于对系统 进行分析和设计。 l拉普拉斯(Laplace)变换(简称拉氏变换)是 求解线性常微分方程的有力工具,它可以将时域 的微分方程转化为复频域中的代数方程,并且可 以得到控制系统在复数域的数学模型——传递函 数。 l传递函数不但可以反映系统的输入、输出动态特 性,而且可以间接反映结构和参数变化对系统输 出的影响。 l从卷积公式建立系统的数学模型首先要确定系 统单位脉冲响应的解析函数描述——g(t)。 l实验中得到的只是单位脉冲响应的曲线或各采 样时刻的值,将这个曲线或采样序列转化为连 续时间函数是很复杂的。 l经典控制理论中广泛采用的频域法和根轨迹法 ,就是以传递函数为基础建立起来的。 p传递函数是经典控制理论中最基本和最重要的 概念。 二、Laplace变换的回顾 1、拉氏变换的定义 若将实变量 t 的函数 f(t) 乘上指数函数e-st(其中 是一个复数),并且在 上对 t 积分, 就可以得到一个新的函数F(s),称F(s)为 f(t) 的拉 氏变换,并用符号L[f(t)]表示。 通常将F(s)称作的 f(t) 象函数,将 f(t) 称作F(s)的 原函数。 2、拉氏变换的基本定理 Ø线性定理 Ø微分定理 如果初始条件 成立,则有 Ø积分定理 Ø初值定理 Ø终值定理 三、传递函数的定义 l线性定常系统的传递函数,定义为零初始条件下,系统 输出拉氏变换与输入拉氏变换之比 。 四、建立LTI系统传递函数模型的两种途径 l从卷积公式角度建立TF模型 l从微分方程角度建立TF模型 •电气网络运算阻抗法直接建立TF模型 1、从卷积公式角度建立TF模型 对卷积公式(2-10)进行拉氏变换有 即 Ø称G(s)为系统的传递函数。 结论: Ø传递函数是单位脉冲响应函数g(t) 的拉氏变换。 Ø零初始条件下线性定常系统输出拉氏变换和输入 拉氏变换的比。 2、从微分方程角度建立TF模型 设线性定常系统由下面的n阶线性常微分方程描述 : 如果系统满足如下零初始条件 则根据拉氏变换的定义和性质,对微分方程进行拉 氏变换,并令 、 ,从而可得 由传递函数的定义可得 M(s)和N(s)分别称为传递函数G(s)的分子多项式和 分母多项式。 五、传递函数的特点和有关概念 l传递函数的概念适用于线性定常系统 l传递函数是在零初始条件下定义的 l传递函数概念主要适用于单输入、单输出的情 况 l传递函数是复变量s的有理真分式函数 l传递函数与线性常微分方程一一对应 l传递函数的特征方程、零点和极点 l传递函数的三种形式 l传递函数不能反映系统或元件的学科属性和物 理性质(物理性质和学科类别截然不同的系统 可能具有完全相同的传递函数 )。 六、 典型环节(基本环节、基本单元)的数学模 型 Ø为什么要研究典型环节的数学模型? l任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组 合而成的。 l从数学角度讲,一切有理分式传递函数都是 由这些基本单元组成的。 Ø典型环节通常分为以下八种。 比例环节比例环节一阶微分环节一阶微分环节二阶微分环节二阶微分环节 积分环节积分环节惯性环节惯性环节振荡环节 振荡环节 延迟环节延迟环节 纯微分环节纯微分环节 一般形式传递函数的典型化分解 注意:注意: ØØ 典型环节是根据微分方程划分的,不是具体的物典型环节是根据微分方程划分的,不是具体的物 理装置或元件。理装置或元件。 ØØ 一个典型环节往往由几个元件之间的运动特性共一个典型环节往往由几个元件之间的运动特性共 同组成。同组成。 ØØ 同一元件在不同系统中作用不同,输入输出的物同一元件在不同系统中作用不同,输入输出的物 理量不同,可起到不同环节的作用。理量不同,可起到不同环节的作用。 比如:振荡环节由电位计比如:振荡环节由电位计 、电容、电感三个元件构、电容、电感三个元件构 成成 Ø比例环节/放大环节 比例环节又称放大环节,该环节的运动方程和 相对应的传递函数分别为 式中K为增益。 特点:输入输出量成比例,无失真和时间延迟 。 实例:电子放大器,齿轮,电阻(电位器), 感应式变送器等。 Ø惯性环节 惯性环节又称非周期环节,该环节的运动方程和 相对应的传递函数分别为 式中为T 时间常数,K为比例系数。 特点:含一个独立的储能元件,对突变的输入, 其输出不能立即复现,输出无振荡。 实例:直流伺服电动机的励磁回路、RC电路。 Ø纯微分环节 纯微分环节常简称为微分环节,其运动方程和传 递函数为 特点:输出量正比输入量变化的速度,能预示输 入信号的变化趋势。 实例:实际中没有纯粹的微分环节,它总是与其 他环节并存的。 实际中可实现的微分环节都具有一定的惯性,其 传递函数如下 Ø积分环节 积分环节的动态方程和传递函数分别为 特点:输出量与输入量的积分成正比例,当输入 消失,输出具有记忆功能;具有明显的滞后作用 ;可以改善稳态性能。 实例:电动机角速度与角度间的传递函数、电容 充电、模拟计算机中的积分器等。 Ø二阶振荡环节 振荡环节的运动方程和传递函数分别为 式中ζ称为振荡环节的阻尼比,T为时间常数,ωn为系统 的自然振荡角频率(无阻尼自振角频率),并且有 。 特点:环节中有两个独立的储能元件,并可进行能量交换 ,其输出出现振荡。 实例:RLC电路的输出与输入电压间的传递函数,机械弹 簧阻尼系统的传递函数。 Ø纯时间延时环节 延时环节的动态方程和传递函数分别为 式中τ称为该环节的延迟时间。 特点:输出量能准确复现输入量,但要延迟一固 定的时间间隔τ 。 实例:管道压力、流量等物理量的控制,其数学 模型就包含有延迟环节。 ØØ 惯性环节从输入开始时刻起就已有输出,仅由于惯性环节从输入开始时刻起就已有输出,仅由于 惯性,输出要滞后一段时间才接近所要求的输出惯性,输出要滞后一段时间才接近所要求的输出 值。值。 ØØ 延迟环节从输入开始之初,在延迟环节从输入开始之初,在0 0 ~ ~τ τ时间内没有输时间内没有输 出,但出,但 t t = =τ τ之后,输出完全等于输入。之后,输出完全等于输入。 延迟环节与惯性环节的区别 ØØ 超越函数的近似处理超越函数的近似处理 注意: Ø一阶微分和二阶微分环节的特性基本上与 惯性环节和振荡环节相反,而且不会单独 出现,因此略讲。 Any Question Homework#Chapter2(1) ØP31: 2-1、2-2(b)、2-5、2-6、2-7(a)、2- 8、2-9 Ø传递函数的结构和各项系数(包括常数项) 完全取决于系统本身; Ø与输入信号的具体形式和大小无关; Ø只反映了输入和输出之间的因果关系; Ø不反映系统的任何内部信息。 Ø控制系统的零初始条件有两层含义: l一是指输入量在 时才起作用;在 时输入量及其各阶导数均为0。 l二是指输入量加于系统之前,系统处于稳 定的工作状态,输出及其各阶导数均为零 。 Ø对于多个输入、一个输出的LTI系统 l在求传递函数时,除了指定的输入量以外,其 它输入量(包括常值输入量)一概视为零。 Ø对于多输入、多输出LTI系统 l求取不同输入和输出之间的传递函数将得到系 统的传递函数矩阵。 Ø具有复变函数的所有性质; Ø理论分析和实验都指出:对于实际的物理系统和 元件而言,输入量和它所引起的响应(输出量) 之间的传递函数,分子多项式M(s)的阶次m总是小 于分母多项式N(s)的阶次n。 Ø这个结论可以看作是客观物理世界的基本属性。 Ø它反映了一个基本事实:一个物理系统的输出不 可能立即复现输入信号,只有经过一段时间后, 输出量才能达到输入量所要求的数值。即一个实 际的物理系统其能量是有限的,并且都有惯性。 Ø传递函数分子多项式系数和分母多项式系数,分别与相应微 分方程的右端及左端微分算符多项式系数相对应 Ø将微分方程的算符 d/dt 用复数 s 置换便可以得到传递函数; Ø将传递函数中的复数 s 用算符d/dt 置换便可以得到微分方程 。 可得s的代数方程 例如,由传递函数 用算符d/dt置换复数s,便得到相应的微分方程 N N( (s s)=0 )=0 系统的系统的特征方程特征方程,,特征根特征根 特征方程(根)决定着系统的动态特性。特征方程(根)决定着系统的动态特性。 N N( (s s) )中中s s的最高阶次等于系统的阶次。的最高阶次等于系统的阶次。 特征方程 MM( (s s)=)=b b 0 0 ( (s-zs-z 1 1 )( )(s-zs-z 2 2 )…()…(s-zs-zm m)=0 )=0的根的根 s s= =z z i i ( (i i=1, 2, …, =1, 2, …, mm) ),,称为传递函数的零点。称为传递函数的零点。 N N( (s s)=)=a a 0 0 ( (s s- -p p 1 1 )( )(s-ps-p 2 2 )…()…(s-ps-p n n )=0)=0的根的根 s s= =p p j j ( (j j=1, 2, …, =1, 2, …, n n) ),,称为传递函数的极点。称为传递函数的极点。 !系统传递函数的极点就是系统的特征根。!系统传递函数的极点就是系统的特征根。 !零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数。!零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数。 零点和极点 Ø分子、分母多项式形式 Ø零极点增益形式(常见于根轨迹法) Ø时间常数形式(常见于频域法)
展开阅读全文
  麦档网所有资源均是用户自行上传分享,仅供网友学习交流,未经上传用户书面授权,请勿作他用。
0条评论

还可以输入200字符

暂无评论,赶快抢占沙发吧。

关于本文
本文标题:第二章线性系统的数学描述1
链接地址:https://www.maidoc.com/p-15699581.html

当前资源信息

天马****3

编号: 20180822204744802585

类型: 共享资源

格式: PPT

大小: 571.50KB

上传时间: 2019-11-09

关于我们 - 网站声明 - 网站地图 - 资源地图 - 友情链接 - 网站客服 - 联系我们

[email protected] 2018-2020 maidoc.com版权所有  文库上传用户QQ群:3303921 

麦档网为“文档C2C模式”,即用户上传的文档所得金币直接给(下载)用户,本站只是中间服务平台,本站所有文档下载所得的金币归上传人(含作者)所有。
备案号:蜀ICP备17040478号-3  
川公网安备:51019002001290号 

本站提供办公文档学习资料考试资料文档下载


收起
展开