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结构力学 第二章 结构的几何组成分析

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结构力学 第二章 结构的几何组成分析 结构 力学 第二 几何 组成 分析
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第二章第二章 结构的几何组成分析结构的几何组成分析 李亚智 航空学院·航空结构工程系 2.1 概述 结构要能承受各种可能的载荷,其几何组成要稳固 。即受力结构各元件之间不发生相对刚体移动,以维持 原来的几何形状。 在任意载荷作用下,若不考虑元件变形,结构保 持其原有几何形状不变的特性称为几何不变性。 在载荷作用下的系统可分为三类。 2.1.1 几何可变系统 特点: 不能承载,只能称作“机构”。 2 1 3 4 P 2 ’ 3’ 2.1.2 几何不变系统 特点:能承载,元件变形引 起几何形状的微小变化,可 以称为结构。 2.1.3 瞬时几何可变系统 特点:先发生明显的几何变形, 而后几何不变。 P 2 1 3 4 2’ 3’ 2 ’ 3’ P 2 1 3 4 5 1 2 3 P 内力巨大,不能作为结构。 N21 N23 P 2 由以上分析可见,只有几何不变的系统才能承力和传 力,作为“结构”。 系统几何组成分析的目的: (1)判断系统是否几何不变,以决定是否能作为结构 使用; (2)掌握几何不变结构的组成规律,便于设计出合理 的结构; (3)区分静定结构和静不定结构,以确定不同的计算 方法。 2.2 几何不变性的判断 2.2.1 运动学方法 将结构中的某些元件看成自由体,拥有一定数量的 自由度; 将结构中的另一些元件看成约束。 如果没有足够多的约束去消除自由度,系统就无法 保持原有形状。 所谓运动学方法,就是指这种引用“约束”和“自由度” 的概念来判断系统几何不变性的方法。 1 1、自由度与约束、自由度与约束 (1)自由度的定义 决定一物体在某一坐标系中的位置所需要的独立变量 的数目称为自由度,用n表示。 平面一个点有2个独立坐标, 故 n=2 空间一个点有3个独立坐标, 故n=3 空间一根杆有5个自由度, 一个平面刚体(刚片、刚盘) 或一根杆有3个自由度,n=3 一个空间刚体有6个自由度,n=6 ( ), n=5 (2)约束的定义 约束定义为减少自由度的装置,用c来表示。 (a)杆的约束 平面内一点被一根两端带铰的 杆子(链杆)铰接在原点。 A的轨迹 只需要一个角度α就可以决定A 点的位置,或者说xA和yA中只有一 个独立,A点原有两个自由度变成了 一个。 平面内一根两端有铰链的杆子是一个约束,c=1。 空间一点A原有3个自由度 ,被一根两端带铰的杆子铰接 在原点后,只需要两个独立变 量α和θ就可确定其位置。 空间内一根两端有铰链的杆 子也是一个约束,c=1。 (b)支座的约束 平面中的可动铰支座能消去1个自由度,但不能消除转动, 因此对应1个约束,c=1 结构系统结构系统结构系统 平面中的固定铰支座能消去2个自由度(2个线位移), 但不能消除转动,因此对应2个约束,c=2 空间中的固定铰支座能消去3个自由度, 因此对应3个约束,c=3 平面固支, c=3空间固支, c=6 结构系统结构系统结构系统 (c)铰链 平面两个刚片的自由度: 平面单铰相当于2个约束 单铰 用单铰连接后只剩下4个自由度: 连接两个平面刚片的单铰 复铰 m个刚片 原m个刚片的总自由度: 连接m个刚片的复铰 用复铰连接后自由度为2个线位移加m个角度: 故约束数 连接m个刚片的复铰相当于 个约束。 m个铰的总自由度数: 系统中元件(刚体、杆、刚片)和铰既可以看作自由体,也可以看作约束。系统中元件(刚体、杆、刚片)和铰既可以看作自由体,也可以看作约束。 1 2 3 4 5 6 m-1 m 连接m个铰的平面刚片 和刚片连接后只剩下3个自由度 连接m个铰的平面刚片具有 个约束。 小结:小结: 当把元件看成自由体时,铰和支座就看成约束;当把元件看成自由体时,铰和支座就看成约束; 当把铰看成自由体时,元件和支座可看成约束。当把铰看成自由体时,元件和支座可看成约束。 要保证系统的几何不变性,就要求系统内自由体的 约束数足以控制其自由度数。 例2-1 分析图示桁架的几何不变性 方法一:结点(铰)视为自由体, 杆件视为约束 分析:分析: 这3个自由度对应于系统整体刚体位移,不影响几何不变性, 故判断时可不考虑,即满足几何不变的最小约束数cmin=n-3。 PP PP 1 2 3 4 5 5个结点 7根杆 ,多出3个自由度。 如果将1、5两个结点固定铰支,则 所以,对系统被固定的情况, PP 1 2 3 4 5 5个结点 7根杆,2个固定铰支座 约束比自由度多1。 方法二:杆件视为自由体 结点视为约束 1个4杆复铰 ,多出的3个自由度为刚体位移。 显然第二种方法比第一种方法麻烦一些,故可尽量采用第一种方 法,即将结点视为自由体,杆件视为约束。 PP PP 1 2 3 4 5 7根杆 2个单铰 2个3杆复铰 评论:评论: 满足系统几何不变的最小约束数为cmin,f 称为多余约束数。 系统几何不变的充分条件是元件布置合理。 总结:总结: 为保证系统几何不变的必要条件。 f =0时(无多余约束),称为静定结构; 在平面系统几何构造分析中,最基本的几何不变系统 是三杆(三刚片)铰接系统,没有多余约束。这就是三角 形规律。 1 2 3 1 2 3 f 0时,有多余约束,称为静不定(超静定)结构, f 就是静不定的次数。 如果元件安排合理,则 布置不合理 f =0 f =1 布置合理,1次超静定 f =0 布置合理,静定 2 2、、几何不变体的组成规律几何不变体的组成规律 实铰与虚铰的概念: 平面一个单铰相当于两个约束,而一根连杆相当于一 个约束,因而两根杆子的作用相当于一个单铰。 实铰定义为两杆的交点铰; 平面上一个刚片原有3个 自由度,当用两根不平行的 链杆1和2把它和基础相连, 则此刚片只有一个自由度。 实铰 刚片 12 单铰是实铰; 虚铰 刚片 1 2 当两杆不相交时构成虚铰; 虚铰是两杆延长线的交点, 是刚片的瞬时转动中心; 虚铰的位置在刚片运动过程 中不断改变,所以虚铰也被 称为“瞬铰”。 刚片 12 相交于∝ 虚铰的特例: 两杆平行,延长线交于无穷远。 瞬时转动中心无穷远,刚片开始 瞬间的运动为平动。 几何不变系统的组成规则(三刚片规则)几何不变系统的组成规则(三刚片规则): : 三个刚片之间用不在同一直线上的铰(实铰或虚铰) 两两相连,组成无多余约束的几何不变体系。 三刚片规则的推论推论: (1)一个刚片与一个点用两根 不在同一直线上的连杆相连, 则组成无多余约束的几何不变 体; (2)两个刚片用一个铰和一根不通过此铰的连杆相连, 或两个刚片用三根不全平行也不交于一点的连杆相连, 则组成无多余约束的几何不变体系。 A B C 3 3、瞬变系统的判断、瞬变系统的判断 判断方法: 三个刚片用共线的三 个实(虚)铰相连,则系 统瞬变。 几何可变 几何瞬变 几何瞬变 几何瞬变 ⅠⅡ 例2-2 分析图示桁架系统 的几何不变性并计算多余 约束数 两个无多余约束的“刚片”Ⅰ和Ⅱ,用三根不全平行也 不交于一点的杆相连,构成无多余约束的几何不变系统。 解: 例2-3 分析图示桁架系统的几何不 变性并计算多余约束。 解: 3个无多余约束的“刚片”,通过2 个实铰4、6和一个虚铰(杆7-8和 杆9-l0相交于无穷远处)两两相连 , 。 3铰共线,为瞬变系统。 12 3 4 5 6 78 910 12 3 4 5 6 78 910 例2-4 分析图示体系的几何组成 解: 三个虚铰不共线,所以为无多余约束的几何不变体系。 ABC D E F O1O2 O3 将AD、BE和CF三杆视为 三个刚片。 三刚片两两之间通过三个 虚铰O1、O2和O3相连。 例2-5 对图示体系作几何组成分析 ABC DE 折杆AD和BE可看 成链杆,则该体系可看 成两个刚片通过三根杆 AD、CF和BE相连,但 三根杆延长线可交于一 点O,系统瞬变。 ABC DE O F 解: ,满足几何不变的必要条件。 例2-6 对图示体系作几何组成分析 解: A BC DE F 若进行运动学分析 可将结点视为自由体,杆和 支承视为约束。 10个结点,6个链杆(折杆DF和EF分别相当于直杆), 2个带3铰刚片,4个固定铰支座。 自由度: 约束: 可以将系统看成3个刚片,通过一个实铰B和两个虚 铰(H和G)两两相连。 A B C DE F HG 三个铰不共线,构成无多余约束的几何不变系统。 4 4、空间桁架的几何构造分析、空间桁架的几何构造分析 (1)空间桁架系统,每增加一个结点,须用3根不在同 一平面中的杆连接; 无多余约束的基本空间桁架结构 (2)一个刚体和另一个刚体相连需要6根杆(消除6个自 由度),则 a)如果有3根杆交于一点而不在同一平面,当6根杆不 交于同一直线时,组成无多余约束的几何不变体; b)如果有3根杆位于同一平面而不交于一点,当6根杆 不交于同一直线时,组成无多余约束的几何不变体; 例2-4 书上例2-4。图示空间系统,用6根杆子固定一个机翼 ,试判断其几何不变性。 将机翼视为刚体,具有6 个自由度,用6根杆子来 固定,满足最小约束数。 o z y x 4 5 1 2 3 6 解: o z y x A A 4 5 1 2 3 6 1、2、3杆共面,2、4、6 杆共面; 两个面的交线为A-A; 杆5与A-A平行,相当于 和A-A交于无穷远。 机翼可以绕A-A转动,系 统几何可变。 所有杆交于一条线A-A; o z y x A A 4 5 1 2 3 6 4’ 如果将杆4改成4’,则6根 杆仍然相交于A-A; 仍可以瞬时绕A-A转动; 系统几何瞬变。 随后4’杆起作用; o z y x A1 A1 A A 5 1 2 3 6 4’ 4’’ 如果将杆4’ 改成4’’ ,则1 、4’’、6杆共面,1、2、3 杆共面,两个面的交线为 A1-A1 ; 杆5与A1-A1线既不平行, 也不相交; 绕A1-A1轴的转动受到杆5 制约,系统几何不变。 a)1、2、6杆交于一点而 不在同一平面,6根杆不 交于同一直线,组成无多 余约束几何不变体; o z y x A1 A1 5 1 2 3 6 4’’ 用前述方法判断: a a)如果有)如果有3 3根杆交于一点而不在同一平面,当根杆交于一点而不在同一平面,当6 6根杆不交于同一直线时根杆不交于同一直线时 ,组成无多余约束的几何不变体;,组成无多余约束的几何不变体; b b)如果有)如果有3 3根杆位于同一平面而不交于一点,当根杆位于同一平面而不交于一点,当6 6根杆不交于同一直线根杆不交于同一直线 时,组成无多余约束的几何不变体;时,组成无多余约束的几何不变体; b)1、2、3(或1、4’’、 6杆)位于同一平面而不 交于一点,6根杆不交于 同一直线,组成无多余约 束几何不变体。 例2-8 判断几何不变性。 4 5 1 2 3 6 4 5 1 2 3 6 (a) 4 5 1 2 3 6 (b) (c) 4 5 1 2 3 6 (a) 解(a) : 1、2、3杆位于同一平面但不交 于一点,6根杆不交于同一直线 ,无多余约束,几何不变。 4 5 1 2 3 6 (b) 1、3、5、6杆四杆平行,相当于 交于无穷远; 6根杆都与AA线相交,刚体能绕 AA转动; 几何瞬变? Why? A A 解(b): 几何可变? 4 5 1 2 3 6 解(c) : 有四根杆(2、4、5、6)位于 同一平面; 所有杆都与BB线相交,刚体能 绕BB转动; 几何瞬变? Why? B B 几何可变? (1)以一杆为基础依次用固接结点连接各杆,组成无铰简 单刚架,是静定的; 5、刚架的几何构造分析 规律: (2)平面刚架每闭合一次增加3次静不定,空间刚架每闭 合一次增加6次静不定; (3)在闭合刚架中每增加一个单铰降低一次静不定,每 增加一个连接m根杆子的复铰,降低m-1次静不定。 封闭4次 f=4×3=12 封闭3次 f=3×3=9 Why? 先视为全封闭,3×3=9次静不定 增加2个单铰,降低2次静不定 增加2个复铰,m=3,降低(m-1) ×2=4次静不定 f=9-2-4=3 6 书上例2-5 分析图2-24所示刚架系统的几何不变性并计算 多余约束数 f 。 1 2 34 567 解: 1)分析几何不变性。 杆1-7几何不变,加上杆1-6 后仍几何不变。 杆7-1-6可视为几何不变的刚 片。 1,3,4结点共线,局部瞬 时可变,但加上杆2-5后几 何不变。 34 2 5 1 7 铰1为一连接3根杆的复杂 铰,降低m-1=2次静不定, 铰2、3、4均为单铰,各降 低1次静不定; 1 2 34 567 2)计算多余约束数。 如果所有铰处刚接,则系统 变为一封闭3次的刚架; 原系统静不定度: 2.2.2 静力学方法 几何不变的结构才能承力和传力,所以静力学方法的 原理就是检查系统是否能够提供有限大的内力来平衡给定 的外载荷,以间接地检查系统是否几何不变。 NN P P 图示系统,由y向平衡: 解得: 当 时, β很小时时,系统统不能提供足够够的内力来平衡外力,在加力 瞬间间将产产生很大的几何变变形,这这就是瞬变变系统统。 静定结构 f=0 (必要条件) 平衡方程线性无关 (充分条件) 内力有唯一解 静不定结构 f0 ,未知力数平衡方程数, 无穷多解 变形几何条件 内力有唯一解 上例中,β=0时时, N可以是任意值值,和P无关。因此: 对静定结构,当外载荷为零时,结构所有元件内力必须为零; 如在零载荷下,系统元件的内力不全为零,则为瞬变系统。 12 3 4 5 6 78 910 例2-11 用零载荷法分析几何不变性 N1 N2 H4 H4 V4 V6V4V6 H6 H6 解: 由桁架下部平衡: 由桁架左上部平衡: 可见在零载荷下,H4和H6可以 是任意值,因此系统是瞬变的 。
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