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小波变换课件ch4mallat算法及二维小波

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小波变换课件ch4 Mallat算法及二维小波 小波变换课件ch4Mallat算法及二维小波 Mallat算法 及二维小波 ch4 Mallat算法及二维小波 mallat算法 二维小波变换
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第四章 Mallat算法 及二维小波 小波变换应用于信号处理的一般过程 4 1 基于正交小波的分解算法 n由已知序列 分别求出 级的近似序 列 和 级细节序列 n分解目标 n如何分解 n结论 序列 和 可分别由序列 通过数字滤波器 和 并对输 出作偶数点抽样得到 n推导 近似序列 细节序列 n 多级分解 无需尺度函数和小波函数的具体表达式 离散小波变换的数据量不变性质 n从j 0开始经J级分解后最后得到 j 0 j 1近似序列细节序列 塔式数据 塔式算法 初始化问题 n n按照定义 实际上 原始数据就是j 0的近似序列 DWT的相图 DWT分解树 8点的DWT相图 4 2重构算法 n由已知近似序列 和细节序列 求出 序列 考虑到 以及同级尺度函数的平移正交性 有 令 则 则 原数据每两个 之间补0所得 2l s k 1 重构算法 多级重构算法 4 3边界处理 n以下两式的前提式信号为双向无限长序列 n实际信号是有限长序列 矛盾 n解决方法 将信号以某种方式延拓为双向 无限长序列 边界处理问题 n一般的 数据 的下标范围是0 N 滤波器记为 其长度 那么分解过程就是 四种延拓方法 n补零延拓 n简单周期延拓 n以边界点为对称中心的对称延拓 n边界值重复的对称周期延拓 补零延拓 n简单 n保留多于N 2的 信息才能重构 长度为N的序列 n如果信号的边 界点的值与0差 别很大 则会 在边界处产生 阶跃变化 简单周期延拓 n数据总量保持不变 n当信号序列的两端 边界值相差很大时 延拓后的信号将 存在周期性的剧烈 突变 以边界点为对称中心的对称周期延拓 step1 从 到 N 2N 2 step2 作N 周期延 拓 n主周期内以n 0和 n N 1为对称中心 n延拓后的信号不存 在周期性的剧烈突 变 不重复S 0 S N 1 n当 不对称时 数据总量几乎增大一倍 n当 对称时 数据总量保持不变 1 L 2K 1 c n c n 输出序列是2N 2的周期序列 且在一个周期内有两个对称中心 只需 保留 0 N 1 的数据 然后进行下采样得到N 2点的序列 和 并采用同样的延拓方式实现重构 滤波器的对称中心为0 2 L 2K 2 c n c 1 n 输出序列是2N 2的周期序列 且在一个周期内有两个对称中心 只需 保留 0 N 1 的数据 然后进行下采样得到N 2点的序列 和 并采用同样的延拓方式实现重构 滤波器的对称中心为 0 5 边界值重复的对称周期延拓 n作对称延拓时重复 原信号的边界值 n主周期内以n 0 5 和n N 0 5为对称 中心 n延拓后的信号不存 在周期性的剧烈突 变 重复S 0 S N 1 1 L 2K 1 c n c n 2 L 2K c n c 1 n 输出序列是 2N 的周期序列 且在一个周期内有两个对称中心 只需 保留 0 N 1 的数据 然后进行下采样得到N 2点的序列 和 并采用同样的延拓方式实现重构 采用偶数长的对称 反对称 滤波 器的对称中心为 0 5 奇数长的对称滤波器的对称中心为0 一维小波分解 重构实例 nclc clear n 1 正弦波定义 nf1 50 频率1 nf2 100 频率2 nfs 2 f1 f2 采样频率 nTs 1 fs 采样间隔 nN 120 采样点数 nn 1 N ny sin 2 pi f1 n Ts sin 2 pi f2 n Ts 正弦波混合 nfigure 1 nsubplot 2 1 1 nplot y ntitle Signal nsubplot 2 1 2 nstem abs fft y ntitle Amplitude Spectrum n 2 小波滤波器谱分析 nh wfilters db30 l 低通 ng wfilters db30 h 高通 nh h zeros 1 N length h 补零 圆周卷积 且增大分辨率变于观察 ng g zeros 1 N length g 补零 圆周卷积 且增大分辨率变于观察 nfigure 2 nsubplot 2 1 1 nstem abs fft h stem函数用于绘制火柴梗图 ntitle Low pass Filter V 0 nsubplot 2 1 2 nstem abs fft g ntitle High pass Filter W 0 n 3 MALLAT分解算法 圆周卷积的快速傅里叶变换实现 nsig1 ifft fft y fft h 低通 低频分量 nsig2 ifft fft y fft g 高通 高频分量 nfigure 3 信号图 nsubplot 2 1 1 nplot real sig1 ntitle Low frequency Component nsubplot 2 1 2 nplot real sig2 ntitle High frequency Component nfigure 4 频谱图 nsubplot 2 1 1 nstem abs fft sig1 ntitle Amplitude Spectrum of Low frequency Component nsubplot 2 1 2 nstem abs fft sig2 ntitle Amplitude Spectrum of High frequency Component n 4 MALLAT重构算法 nsig1 dyaddown sig1 2抽取 nsig2 dyaddown sig2 2抽取 nsig1 dyadup sig1 2插值 nsig2 dyadup sig2 2插值 nsig1 sig1 1 1 N 去掉最后一个零 nsig2 sig2 1 1 N 去掉最后一个零 nhr h end 1 1 重构低通 ngr g end 1 1 重构高通 nhr circshift hr 1 位置调整圆周右移一位 ngr circshift gr 1 位置调整圆周右移一位 nsig1 ifft fft hr fft sig1 低频 nsig2 ifft fft gr fft sig2 高频 nsig sig1 sig2 源信号 n 5 比较 nfigure 5 nsubplot 2 1 1 nplot real sig1 ntitle Reconstructed Low frequency Signal nsubplot 2 1 2 nplot real sig2 ntitle Reconstructed High frequency Signal nfigure 6 nsubplot 2 1 1 nstem abs fft sig1 ntitle Spectra of the Reconstructed Low frequency Signal nsubplot 2 1 2 nstem abs fft sig2 ntitle Spectra of the Reconstructed High frequency Signal nfigure 7 nplot real sig r linewidth 2 nhold on nplot y nlegend Reconstructed Signal Original Signal ntitle Comparisons between Original Signal and Reconstructed Signal figure1 figure2 figure3 figure4 figure5 figure6 figure7 4 4 二维正交小波 n由一维小波到高维小波 空间由 到 n小波变换应用于图像处理 需要有二维小波 函数和二维尺度函数 n构造二维小波的MRA方法 的多分辨率分析是 的子空间序列 存在唯一的尺度函数 其伸缩和平移 构成每个 的正交基 特殊情况下 如果 是 的 MRA 则 是 的MRA 分离变量方法 二维小波分解算法 n行处理 将 的每一行 n 取定值 看成是 一个一维信号 分别通过低通滤波器 和高通 滤波器 n列处理 将上述结果的每一列当成一维信号 再 次通过低通滤波器 和高通滤波器 二维小波分解数据总量保持不变 是 均为低频的信号分量 是 为低频 为高频的信号分量 是 均为高频的信号分量 是 为高频 为低频的信号分量 2D DWT 二维小波分解算法 n在可分离变量的情况下 二维重构算法也 可通过行处理和列处理的两个步骤进行 4 5 小波变换在图像去噪中的应用 n数据在采集 传输的过程中可能受到噪声 污染 n噪声可用平稳Gaussian随机过程 来描述 n当噪声功率谱为常数时 称为Gaussian白 噪声 n噪声的数学模型 加性噪声和乘性噪声 图象去噪问题的特殊性 n最佳线性滤波理论是在平稳随机过程的前 提下推导的 而实际的自然图象往往偏离 这一假设甚远 nWiener滤波器的最优化准则是MSE 而人 类视觉系统 Humman Visual System HVS 对图象质量的评价并不与MSE准则相一致 特别是对于图象边缘的保真度非常敏感 图象去噪的关键问题是既要去除 或减弱 噪声所对应的 高频成分 又要保留 或增强 边缘所对应的高频成分 小波变换应用于图像去噪 Step1 对含噪信号进行小波分解 获取近似 序列 细节序列 Step2 对细节系数进行处理 Step3 利用step1中获取的近似序列 step2中 获取的处理后的细节序列进行重构 获取 去噪后的有用信号 nclc nclear all n X map imread Lena BMP nX0 imnoise X gaussian 0 0 05 n c s wavedec2 X 2 db1 二维小波分解 na1 wrcoef2 a c s db1 1 利用小波分解中的第一层 低频系数进行重构 即实现低通滤波消噪 na2 wrcoef2 a c s db1 2 这相当于把第一层的低频 图像再一次经过低通滤波处理 nsubplot 2 2 1 image X colormap map title 原始图象 fontsize 12 axis square nsubplot 2 2 2 imshow X0 title 加高斯噪声后的图像 fontsize 12 axis square nsubplot 2 2 3 image a1 colormap map title 第一次消 噪图像 fontsize 12 axis square nsubplot 2 2 4 image a2 colormap map title 第二次消 噪图像 fontsize 12 axis square
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