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2016-2017学年苏教版必修5高二数学3.3.3《简单的线性规划问题》(一)

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简单的线性规划问题
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第3章 不等式 3 3 3 3 二元一次不等式组与二元一次不等式组与 简单的线性规划问题简单的线性规划问题 3 3 33 3 3 简单的线性规划问题 简单的线性规划问题 一一 明目标 知重点 Contents Page 明目标 知重点 填要点 记疑点 探要点 究所然 内容 索引 01 02 03 当堂测 查疑缺 04 明目标 知重点 1 了解线性规划的意义 2 了解线性规划问题的图解法 并能应用它解决一些简单 的实际问题 明目标 知重点 明目标 知重点 填要点 记疑点 1 线性规划中的基本概念 1 约束条件 变量x y满足的一组条件 2 线性约束条件 由x y的二元 不等式 或方程 组成 的不等式组 3 目标函数 欲求最大值或最小值所涉及的变量x y的解 析式 一次 明目标 知重点 4 线性目标函数 目标函数是关于x y的解析式 5 可行域 作出约束条件所表示的平面区域 这一区域称为 可行域 6 线性规划问题 求线性目标函数在线性约束条件下的最大 值或最小值问题 二元一次 明目标 知重点 互相平行 当b 0 截距最大时 z取得最 值 截距最小时 z取得最 值 当b 0 截距最大时 z取得最 值 截距最小时 z取得最 值 大小 小大 明目标 知重点 探要点 究所然 情境导学 已知1 x y 5 1 x y 3 求2x 3y的取值范围 解 答时容易错误的利用不等式中的加法法则 由原不等式组 得到x y的范围 再分别求出2x及 3y的范围 然后相加 得2x 3y的取值范围 由于不等式中的加法法则不具有可逆 明目标 知重点 性 从而使x y的取值范围扩大 得出错误的2x 3y的取值 范围 如果把1 x y 5 1 x y 3看作变量x y满足 的条件 把求2x 3y的取值范围看作在满足上述不等式的情 况下 求z 2x 3y的取值范围 就成了本节要研究的一个 线性规划问题 明目标 知重点 探究点一 求目标函数的最大值或最小值 思考1 经过这几节的学习 你认为本章第3 3节开始提出 的问题实质上是什么问题 明目标 知重点 思考2 目标函数P 2x y的几何意义是什么 答 将目标函数P 2x y变形为y 2x P 它表示斜率 为 2 在y轴上的截距为P的一条直线 明目标 知重点 思考3 怎样求目标函数P 2x y的最大值 答 如图所示 平移直线y 2x P 当它经过两直线4x y 10与4x 3y 20的交点A 1 25 5 时 直线在y轴上的 截距P最大 因此 当x 1 25 y 5时 目标函数取得最 大值2 1 25 5 7 5 即甲 乙两种产品分 别生产1 25 t和5 t时 可获得最大利润7 5万元 明目标 知重点 小结 1 作出约束条件所表示的平面区域 这一区域称为 可行域 2 线性规划问题 求线性目标函数在线性约束条件下的最 大值或最小值问题 明目标 知重点 探究点二 生活中的线性规划问题 例1 投资生产A产品时 每生产一百吨需要资金200万元 需场地200 m2 可获利润300万元 投资生产B产品时 每生 产一百米需要资金300万元 需场地100 m2 可获利润200万 元 现某单位可使用资金1 400万元 场地900 m2 问 应作怎 样的组合投资 可使获利最大 明目标 知重点 解 设生产A产品x百吨 生产B产品y百吨 利润为S百万元 则约束条件为 目标函数为S 3x 2y 作出可行域如图所示 明目标 知重点 由图可知 使3x 2y取得最大值 x y 是两直线2x y 9与2x 3y 14的交点 3 25 2 5 此时S 3 3 25 2 2 5 14 75 答 生产A产品325 t 生产B产品250 t时 获利最大 且最大 利润为1 475万元 明目标 知重点 反思与感悟 解线性规划问题的关键是准确地作出可行域 正确理解z的几何意义 对一个封闭图形而言 目标函数 的最值一般在可行域的边界上取得 在解题中也可由此快 速找到最大值点或最小值点 明目标 知重点 跟踪训练1 若变量x y满足约束条件则z x 2y的最大值为 解析 作出可行域如图所示 明目标 知重点 得A点坐标为 1 1 所以zmax 1 2 1 3 答案 3 明目标 知重点 例2 某运输公司向某地区运送物资 每天至少运送180 t 该公司有8辆载重为6 t的A型卡车与4辆载重为10 t的B型卡 车 有10名驾驶员 每辆卡车每天往返次数为A型车4次 B 型车3次 每辆卡车每天往返的成本费A型车为320元 B型 车为504元 试为该公司设计调配车辆方案 使公司花费的 成本最低 明目标 知重点 解 设每天调出A型车x辆 B型车y辆 公司花费成本z元 则约束条件为 明目标 知重点 目标函数为z 320 x 504y 明目标 知重点 作出可行域如图所示 当直线320 x 504y z经过直线4x 5y 30 与x轴的交点 7 5 0 时 z有最小值 由于 7 5 0 不是整点 故不是最优解 由图可知 经过可行域内的整点 且与原点距离最近的直线 是320 x 504y 2 560 经过的整点是 8 0 它是最优解 答 公司每天调出A型车8辆时 花费的成本最低 明目标 知重点 反思与感悟 图解法是解决线性规划问题的有效方法 其 关键在于平移目标函数对应的直线ax by 0 看它经过 哪个点 或哪些点 时最先接触可行域和最后离开可行域 则这样的点即为最优解 再注意到它的几何意义 从而 确定是取得最大值还是最小值 明目标 知重点 跟踪训练2 营养学家指出 成人良好的日常饮食应该至少 提供0 075 kg的碳水化合物 0 06 kg的蛋白质 0 06 kg的脂 肪 1 kg食物A含有0 105 kg碳水化合物 0 07 kg蛋白质 0 14 kg脂肪 花费28元 而1 kg食物B含有0 105 kg碳水化合 物 0 14 kg蛋白质 0 07 kg脂肪 花费21元 为了满足营养 专家指出的日常饮食要求 同时使花费最低 需要同时食 用食物A和食物B多少kg 明目标 知重点 将已知数据列成下表 食物 kg碳水化合物 kg蛋白质 kg脂肪 kg A0 1050 070 14 B0 1050 140 07 明目标 知重点 解 设每天食用x kg食物A y kg食物B 总成本为z 那么 目标函数为z 28x 21y 明目标 知重点 作出二元一次不等式组所表示的平面区域 明目标 知重点 如图可见 当直线z 28x 21y经过可行域上的点M时 截 距最小 即z最小 明目标 知重点 所以zmin 28x 21y 16 答 每天食用食物A约143 g 食物B约571 g 能够满足日常 饮食要求 又使花费最低 最低成本为16元 明目标 知重点 当堂测 查疑缺 1 2 3 1 若变量x y满足约束条件 则x 2y的最大值 是 解析 画出可行域如图 4 明目标 知重点 当堂测 查疑缺 1 2 3 4 明目标 知重点 1 2 3 4 2 设变量x y满足约束条件 则目标函数z 2x 3y的最小值为 解析 作出可行域如图所示 由图可知 z 2x 3y经过点A 2 1 时 z有最小值 z的最小值为7 7 明目标 知重点 1 2 3 4 3 若x 0 y 0 且x y 1 则目标函数z x 2y的最大 值是 解析 可行域如图所示 2 明目标 知重点 1 2 3 4 4 在如图所示的坐标平面的可行域内 阴影 部分且包括边界 目标函数z x ay取得 最小值的最优解有无数个 则a的一个可能 值为 填序号 3 3 1 1 明目标 知重点 呈重点 现规律 1 用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤 1 寻找线性约束条件 线性目标函数 2 作图 画出约束条件 不等式组 所确定的平面区域和目标 函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l 3 平移 将直线l平行移动 以确定最优解所对应的点的位置 4 求值 解有关的方程组求出最优解的坐标 再代入目标函 数 求出目标函数的最值 明目标 知重点 呈重点 现规律 2 作不等式组表示的可行域时 注意标出相应的直线方程 还要给可行域的各顶点标上字母 平移直线时 要注意线 性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较 确定最优解 3 在解决与线性规划相关的问题时 首先考虑目标函数的几 何意义 利用数形结合方法可迅速解决相关问题
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