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苏教版高中数学(选修1-2)1.1《独立性检验》

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独立性检验
资源描述:
某医疗机构为了了解呼吸道疾病与吸 烟是否有关 进行了一次抽样调查 共调 查了515个成年人 其中吸烟者220人 不 吸烟者295人 调查结果是 吸烟的220人 中37人患病 183人不患病 不吸烟的 295人中21人患病 274人不患病 根据这些数据能否断定 患病与 吸烟有关吗 患病不患病总计 吸烟37183220 不吸烟21274295 总计58457515 为了研究这个问题 我们将上述问题用下表表示 2 2列联表 注 什么叫列联表 列联表 列出两个分类变量的频数统计表 分类变量 变量的不同 值 表示个体所属的不同 类别 这样的变量称为分类变量 注 分类变量的取值一定是离散的 而且不同的 取值仅表示个体所属的类别 如性别变量 只取男 女两个值 商品的等级变量只取一级 二级 等等 性别有两种 性别变量 只取男 女两个值 男 女 患病不患病总计 吸烟37183220 不吸烟21274295 总计58457515 为了研究这个问题 我们将上述问题用下表表示 2 2列联表 在不吸烟者中患病的比重是 在吸烟者中患病的比重是 21 295 7 12 37 220 16 82 上述结论能说明吸烟与患病有关吗 能有多大把握 认为吸烟与患病有关呢 患病不患病总计 吸烟 a a b b a ba b 不吸烟 c c d d c dc d 总计a c a cb db da b c da b c d 如果 吸烟与患病没有关系 则在吸烟者中不患病 的比例应该与不吸烟者中相应的比例差不多 即 因此 ad ad bcbc 越小 说明吸烟与患病之间关系越弱 ad ad bcbc 越大 说明吸烟与患病之间关系越强 为便于研究 用字母代替数据 得2 2列联表 患病不患病总计 吸烟 a a b b a ba b 不吸烟 c c d d c dc d 总计 a ca cb db da b c da b c d 列出2 2列联表 我们不妨作出相反的假设 H0 吸烟和患病之间没有关系 即H0 P AB P A P B 其中A为某人吸烟 B为某人患病 设n a b c d 为样本量 则P A P B 故P AB 吸烟且患病人数 吸烟但未患病人数 不吸烟但患病人数 不吸烟且未患病人数 怎样描述实际观测值与预期值的差异呢 统计学中 为度量观测值与预期值的差值 皮尔逊 K Pearson 引进卡方统计量 即 卡尔 皮尔逊 英国著名的应用数学家 生物统计学家 优生学家 和科学哲学家 若H0成立 即 吸烟与患病没有关系 则 2应很小 独立性检验 通过公式计算 H0 吸烟和患病之间没有关系 解 患病患病不患病不患病总计总计 吸烟吸烟3737183183220220 不吸烟不吸烟2121274274295295 总计总计5858457457515515 这个值是不是很大呢 在H0成立的情况下 统计学家估算出如下的概率 H0成立可能性只有1 因此我们有99 的把 握认为H0不成立 即有99 的把握认为 吸烟与患 病有关系 即在H0成立的情况下 的值大于6 635的概率 非常小 近似于0 01 P 2 x0 0 50 0 400 250 150 100 050 025 0 010 0 005 0 001 x00 4550 708 1 323 2 072 2 706 3 841 5 024 6 635 7 879 10 828 这种利用随机变量 来确定在多大程度上 可以认为 两个分类变量有关系 的方法称为两个 分类变量的独立性检验 独立性检验的思想类似于数学上的反证法 要确认 两个分类变量有关系 这一结论成立 首 先假设该结论不成立 即假设结论 两个分类变 量没有关系 成立 在该假设下我们构造的随机变量 应该很 小 如果由观测数据计算得到的 的观测值很 大 则在一定程度上说明假设不合理 独立性检验 第一步 H0 吸烟和患病之间没有关系 通过数据和图表分析 得到 结论是 吸烟与患病有关 结论的可靠 程度如何 患病不患病总计 吸烟aba b 不吸烟cdc d 总计a cb da b c d 第二步 列出2 2列联表 用 2统计量研究 这类问题的方法 步骤 第三步 引入一个随机变量 卡方统计量 第四步 查对临界值表 作出判断 P 2 x0 0 50 0 400 250 150 100 050 025 0 010 0 005 0 001 x00 4550 708 1 323 2 072 2 706 3 841 5 024 6 635 7 879 10 828 P 2 x0 0 50 0 400 250 150 100 050 025 0 010 0 0050 001 x00 4550 708 1 323 2 072 2 706 3 841 5 024 6 635 7 879 10 828 0 1 把握认 为A与B无关 1 把握认为 A与B无关 99 9 把握认 为A与B有关 99 把握认 为A与B有关 90 把握认 为A与B有关 10 把握认为 A与B无关 没有充分的依据显示A与B有关 但也不能显示A与B无关 例如 反证法原理与假设检验原理 反证法原理 在一个已知假设 下 如果推出一 个矛盾 就证明 了这个假设不成 立 假设检验原理 在一个已知假设 下 如果一个与 该假设矛盾的小 概率事件发生 就推断这个假设 不成立
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