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高考数学函数1.

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高考 数学 函数
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李洪岩 高级教师 名师课堂辅导讲座 高中部分 学习内容 1 映射 函数 反函数 2 函数的定义域 值域 3 函数的奇偶性与单调性 4 指数函数与对数函数 学习要求 1 了解映射概念 理解函数概念 2 了解函数奇偶性与单调性概念 掌握 判断一些简单函数 单调性 奇偶性的 方法 并能利用函数的性质简化函数图 象的绘制过程 3 了解反函数的概念及互为反函数图象 间的关系 会求一些简单函数的反函数 4 理解分数指数幂的概念 掌握有理指 数幂的运算性质 掌握指数函数的概念 图象与性质 5 理解对数的概念 掌握对数运算性质 掌握对数函数的概念 图象 性质 6 能运用函数的性质解决某些简单实际 问题 学习指导 1 把握本章的复习重点 1 理解函数的有关概念 函数的定义 函数 的三要素 函数的表示方法中特别是函数的解析 式 都是重点复习内容 2 掌握函数的单调性和奇偶性的概念 并掌 握基本的判定方法和步骤 并会运用 加强对函 数单调性 奇偶性的应用训练也是复习的重点 也就是在已知函数已具有奇偶性或单调性的性质 条件下 在解题中如何合理地运用这些性质解题 为此应熟练掌握二次函数 反比例函数 指数 函数 对数函数 以及形如y x 的函数等一些 常见函数的性质 归纳提练函数性质的应用规律 3 理解掌握反函数的概念 明确反 函数的意义 一些常见符号的意义 求反函数的方法步骤 反函数与原函 数的关系等 4 理解掌握指数函数 对数函数的 概念 图象及性质 能运用性质熟练 地进行大小比较 方程求解等 会用 基本的函数性质研究复合函数的单调 性 奇偶性等 2 以函数知识为依托 强化思想方 法的训练 由于近年高考试题中加强了数形结合思想 的考查 加强了对图象的考查 对函数图 象的复习显得更加重要 首先应掌握一 二次函数图象及反比例函数和指数 对数 函数的图象和性质 分析掌握基本函数图 象间的关系 在此基础上 理解掌握常见 的平移 对称变换方法 以基本函数为基 础 强化由式到图和由图到式的转化训练 加强函数思想 转化思想的训练是 本章复习的另一个重点 善于转化 命题 引进变量建立函数 运用变 动的方法 观点解决数学试题以提 高数学意识 发展能力 3 准确 深刻地理解函数概念 加强与各 章知识的联系 强化应用意识 对函数有关概念 只有做到准确 深刻地理 解 才能正确 灵活地加以运用 函数是数学中 最重要的概念之一 它贯穿中学代数的始终 数 式 方程 不等式 数列等 是以函数为中心 的代数 高考考查的内容 几乎覆盖了中学阶段 的所有函数 如一次函数 二次函数 反比例函 数 指数对数函数 还有三角函数等 也涉及到 函数的所有主要的性质 且以考查三基为主 通 性通法为主 因此更应加强函数与三角函数 不 等式 数列等各章间知识的联系 养成自觉运用 函数观点处理问题的习惯和培养自身的能力 所谓函数观点 实质是将问题放 到动态背景上去考虑 利用函数 观点可以从较高的角度处理 方 程 不等式 数列等问题 典型例题分析 例1 已知a 0 且a 1 f logax 1 求f x 的表达式 2 判定f x 的奇偶性及单调性 3 对f x 当x 1 1 时 有f 1 m f 1 m2 0 求m范围 分析 从复合函数中求出f x 常用换元 法 用性质转化为m的不等式组求m 解 1 令f logax 则x at f t 即f x 2 f x f x f x 为奇函数 设x10 当0 a 1时 ax2 f x1 1时 0 ax1 ax2 f x1 f x2 f x 为增函数 3 1 m 1且 1 m2 1 1 m 1 1 m2 1 1 m 1 m20 f x 是R上偶函数 1 求a的值 2 证明函数f x 在 0 上是增函数 解 x R f x f x a 1 a 0 a 1 2 设0 x10 x2 0 x1 x2 0 x1 x2 0 ex2 x1 1 0 1 ex2 x1 0 f x1 f x2 0 即f x1 1 1 求f x 定义域 2 判断f x 的单调性 并证明 3 解不等式f 1 x2 2 f x 分析 本题综合考查了多个知识点 只要 基础扎实不难解出此题 解 1 a ax 0 ax a x 1 定义域为 1 loga a ax logaa 1 值域为 1 2 设x1 x2loga1 0 f x1 f x2 f x 为减函数 3 设y loga a ax ay a ax ax a ay x loga a ay f 1 x loga a ax xf x loga a ax2 2 loga a ax ax2 2 ax x2 2 x x2 x 2 0 1 x 2 又 x 1 1 x 1 不等式解为 x 1 x1 02上海 1 证明 函数f x 在 1 上为增函数 2 用反证法证明方程f x 0没有负数根 解 1 证明x1 x2 1 x10 f x 在 1 上为增函数 x2 x1 0 ax2 x1 1 0 ax1 0 x1 1 0 x2 1 0 2 设存在x0 0 x0 1 满足f x0 0则 ax0 且0 ax0 1 0 1 x0 2 与x0 0矛盾 故方程f x 0没有负数解 例5 f x 是定义在R上的奇函数当x 0 1 时f x 1 求f x 在 1 0 上解析式 2 证明f x 在 0 1 上为减函数 3 当 a 时 求关于x不等式 f x a在 0 1 内解集 解 1 设 1 x 0 则0 x 1 x 0 1 时 f x f x 又 f x 是奇函数 f x f x 当 1 x 0时 f x f x 2 设0 x1 x2 1 则f x1 f x2 f x2 f x1 0 x1 x2 1 2x1 2x2 故2x1 2x20 4x2 1 0 2x1 x2 1 0 f x2 f x1 0 从而f x2 f 1 f 0 f 1 f x 当 a0 a 22x 2x a 0 又 x 0 1 2x 1 2 0 x log2 例6 设关于x的函数 y x2 2a a2 6a 13 1 求函数y的最大值M a 2 是存在正常数b 使a在 1 上变化 时 y logbM a 的最大值是 分析 有1 x2 0 x 1 用三角换元法最好 1 设x sin 则y sin2 2acos a2 6a 13 cos2 2acos a2 6a 14 cos a 2 2a2 6a 14 a2 6a 14 a1 2 a在 1 上变化时 M a a2 4a 13 a 2 2 9 当a 2时 M a 小 9 而y logbM a 在区间 1 内取最大值为 故0 b 1 logb9 b 当b 时 使a在 1 上变化时 y logbM a 在 1 内取最大值为 反思 此题 2 由M a 取最小值9而 y logbM a 在区间 1 内取最大值是 判断出对数函数为减函数 推出 0 b 1是本题的关健点 例7 设函数f x 的定义域为R 且在 定义域R上总有 f x f x 2 又当 1 x 1时 f x x2 2x 1 当3 x 5时 求f x 的解析式 2 试判断函数f x 在 3 5 上单调性 并给予证明 分析 证明函数单调性用单调性定义 解 1 f x 4 f x 2 2 f x 2 f x 当3 x 5时 1 x 4 1依题意知 f x f x 4 x 4 2 2 x 4 x2 6x 8 3 x 5 2 证明任取x1 x2 3 x1 x2 5 f x1 f x2 x12 6x1 8 x22 16x2 8 x1 x2 x1 x2 6 0 x1 x20 f x1 f x2 f x 在 3 5 上增 反思 本题由条件f x f x 2 比较隐 蔽 注意挖掘 例8 已知函数f x log2 1 x alog2 1 x 为奇函数 1 求f x 解析式 2 解关于x的不等式f 1 x 0 1 x 0 f x 为奇函数 f x f x 即log2 1 x alog2 1 x log2 1 x alog2 1 x 得 1 a log2 1 x2 0 1 a 0 a 1 f x log2 f x 定义域为 1 1 2 由f x log2 得f 1 x x R 由f 1 x m得 1 m 2x 1 m 当m 1时 x R 当 1 m 1时 x log2 当m 1时 x 例9 设a为实数 函数f x x2 x a 1 x R 1 讨论f x 的奇偶性 2 求f x 的最小值 解 1 当a 0函数f x x 2 x 1 f x 此时f x 为偶函数 当a 0时 f a a2 1 f a a2 2 a 1 f a f a f a f a 此时f x 既不是 奇函数也不是偶函数 2 当x 则f x 在 a 上最小值为 f a 当x a时 f x x2 x a 1 x 2 a 若a 则f x 在 a 上的具小值为 f a 若a 则f x 在 a 上单调递增 从而f x 在 a 最小值为f a a2 1 综上 当a 时函数f x 的最小值为 a当 时f x 最小值为 a 例10 已知二次函数f x ax2 bx c a b c均为实数 且同时满足下列条 件 f 1 0 对于任意实数x 都有 f x x 0 当x 0 2 时有f x 1 求f 1 2 求a b c的值 3 当 x 1 1 函数g x f x mx m是实 数 是单调函数 求m取值范围 解 1 由f 1 0得a b c 0 令x 1有f 1 1 0和f 1 所以 f 1 1 2 由 1 得a b c 1 联立 可得b a c 由题意知 对于任意实数x 都有f x x 0 即ax2 x c 对任意实数x恒成立 于是a 0且 0 即ac 故c 0 由 得a c 2 则a c 故a c b 3 由 2 得 g x f x mx x2 m x x2 2 4m x 1 又x 1 1 时 函数g x 是单调的 所以 解得 m 0或m 1 故m的取值范围是m 0或m 1
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