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高考数学简易逻辑

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高考 数学 简易 逻辑
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第2课时 简易逻辑 逻辑联结词和四种命题 1 命题 可以判断真假的语句 知识点归纳 2 逻辑联接词 或 且 非 3 简单命题 不含逻辑联结词的命题 4 复合命题 由简单命题和逻辑联结词构成的命题 5 三种形式 p或q p且q 非p 6 真假判断 p或q 同假为假 否则为真 p且q 同真为真 否则为假 非p 真假相反 7 四种命题 原命题 若p则q 逆命题 若q则p 否命题 若 p则 q 逆否命题 若 q则 p 互为逆否的两个命题是等价的 8 反证法步骤 假设结论不成立 矛盾 假设不成立 9 充要条件 条件p成立 结论q成立 则称条件p是结论q的充分条件 结论q成立 条件p成立 则称条件p是结论 q的必要条件 条件p成立 结论 q成立 则称条件p是结论q 的充要条件 例1 分别写出由下列命题构成的 p或q p且q p 形成的复合命题 1 p 是无理数 q 是实数 2 p 5是15的约数 q 5是20的约数 解 1 p或q 是无理数或实数 p且q 是无理数且为实数 p 不是无理数 2 p或q 5是15或20的约数 p且q 5是15也是20的约数 p 5 不是15的约数 例2 指出下列复合命题的形式及构成 1 若 是一个三角形的最小内角 则 不大于60O 2 一个内角为90o 另一个内角为45o的三角形是等 腰直角三角形 3 有一个内角为60o的三角形是正三角形或直角三 角形 解 1 是非p形式的复合命题 其中p 若 是一个三角形的最小内角 则 60o 2 是p且q形式的复合命题 其中p 一个内角为90o 另一个内角是45o 的三角形是等 腰三角形 q 一个内角为90o 另一个内角是45o 的三角 形是直角三角形 例2 指出下列复合命题的形式及构成 1 若 是一个三角形的最小内角 则 不大于60O 2 一个内角为90o 另一个内角为45o的三角形是等 腰直角三角形 3 有一个内角为60o的三角形是正三角形或直角三 角形 3 是p或q形式的复合命题 其中p 有一个内角为60o 的三角形是正三角形 q 有一个内角为60o 的三角形是直角三角形 例3 写出命题 当 abc 0 时 a 0或b 0或c 0 的逆 命题 否命题 逆否命题 并判断它们的真假 分析 把原命题改写成 若p则q 的形式 再分别写 出其相应的逆命题 否命题 逆否命题 解 原命题 若abc 0 则a 0或b 0或c 0 是真命题 逆命题 若a 0或b 0或c 0 则abc 0 则 是真命题 否命题 若abc 0 则a 0且b 0且c 0 是真命题 逆否命题 若a 0且b 0且c 0 则abc 0 是真命题 例4 用反证法证明 如果 a b 0 那么 证明 假设 或 分析 注意反设时两种情况 由于 a b 0 则由 有 均与a b 0矛盾 例5 设集合M x x 2 P x x2 x x 3 R x M P 即 x x 2 x 3 显然 x M P p成立 而 p q 不成立 设 的解是x1 x2 由x1 x2是整数 x1 x2 a x1x2 b 得a b是整数 2 充分条件 即 而 q p 不成立 例7 如果x y是实数 那么 xy 0 是 x y x y 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解 xy 0 x y同正或同负 xy 0 但反之不能推出 如当 x 0 y 2时 有 成立 却没有xy 0成立 所以选A 例8 ax2 2x 1 0至少有一个负的实根的充要条件是 A 0 a 1 B a 1 C a 1 D 0 a 1 或a 0 解一 当a 0时 原方程变形为一元一次方程2x 1 0 有一个负的实根 当a 0时 原方程为一元二次方程 有实根的充要条件 是 即a 1 设两根为x1 x2 则有一负实根 有两个负实根 综上 a 1 解二 排除法 当a 0时 原方程有一个负的实根 可排出A D 例8 ax2 2x 1 0至少有一个负的实根的充要条件是 A 0 a 1 B a 1 C a 1 D 0 a 1 或a 0 当a 1时 原方程有两个相等的负实根 可排出B 所以选 C 例9 在 ABC中 A B 是 sinA sinB 的什么条件 解 在 ABC中 a b分别是角A B的对边 R是 ABC外接圆的半径 一方面 因为A B 所以a b 即2RsinA 2RsinB 亦即 sinA sinB 从而 ABC中 A sinA sinB 另一方面 因为sinA sinB 所以2RsinA 2RsinB 即a b 得A B 从而 ABC中 sinA A B 故 ABC中 A B 是 sinA ax2 bx c 0有一个根为 1 证必要性就是证由ax2 bx c 0有一个根为 1 a b c 0 证明 先证充分性 若a b c 0 此时把x 1代入所给方程的左边得 a 1 2 b 1 c a b c 0 所以x 1是方程ax2 bx c 0的根 再证必要性 若x 1方程 ax2 bx c 0的根 则 a 1 2 b 1 c 0 即a b c 0 综上可知 a b c 0是方程ax2 bx c 0有一个根为 1 的充要条件 解题题回顾顾 充要条件的证证明一般分两步 证证充分性 即证证A B 证证必要性即证证B A 一定要使题题目与证证明 中的叙述一致 2 若a b c R 写出命题 若ac 0 则ax2 bx c 0有两 个不相等的实数根 的逆命题 否命题 逆否命题 并判 断这三个命题的真假 解题分析 认清命题的条件 p 和结论 q 然后按定义写出逆 否 逆否命题 最后判断真假 解 逆命题 若ax2 bx c 0 a b c R 有两个不相等的实 数根 则ac0 否命题 若ac 0 则方程ax2 bx c 0 a b c R 没有两个 不相等的实数根 是假命题 因为它和逆命题互为逆否命题 而逆命题是假命 题 逆否命题 若方程ax2 bx c 0 a b c R 没有两个不相等 的实数根 则ac 0 是真命题 因为原命题是真命题 它与原命题等价 3 判断命题题 若c 0 则则y x2 x c的图图象与x轴轴有两个交 点 的逆否命题题的真假 解题分析 因为一个命题和它的逆否命题是等价命题 所以 只要判断原命题的真假即可 当然也可先写出它的逆否命题 然后判断真假 解法一 c 0 4c 0 1 4c 0 y x2 x c 的判别式 1 4c 0 y x2 x c 的图像与 x 轴有两个交点 原命题为真 而原命题与它的逆否命题等价 从而其逆否 命题为真 解法二 原命题题 若c 0 则则y x2 x c的图图象与x轴轴有两个交 点 的逆否命题题是 若y x2 x c的图象与x轴没有两个交点 则 c 0 y x2 x c 的图像与 x 轴没有两个交点 1 4c 0 若y x2 x c 的图像与 x 轴没有两个交点 则c 0为真 3 判断命题题 若c 0 则则y x2 x c的图图象与x轴轴有两个交 点 的逆否命题题的真假 解法三 记p c 0 则 p 的真值集合为A c R c 0 记q y x2 x c 的图像与 x 轴有两个交点 则 q 的真值集合 为B c R y x2 x c 的图像与x轴有两个交点 c R c 1 4 p q 原命题为真 其逆否命题也为真 准确地作出反设设 即否定结论结论 是非常重要的 下面是一 些常见见的结论结论 的否定形式 误解分析误解分析 原结论结论 反设词设词 原结论结论 反设词设词 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n个 至多有 n 1 个 小于 大于或等于 至多有n个 至少有 n 1 个 对对所有 x 成立 存在某x 不成立 p或q p且 q 对对任何x 不成 立 存在某x 成立 p且q p或 q
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