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高考数学平面向量复习1

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高考 数学 平面 向量 复习
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周鹏家 高级教师 名师课堂辅导讲座 高中部分 考试内容 向量 向量的加法与减法 实数与向 量的积 平面向量的坐标表示 线段的定比分 点 平面向量的数量积 平面两点间 的距离平移 考试要求 1 理解向量的概念 掌握向量的几何表 示 了解共线向量的概念 2 掌握向量的加法和减法 3 掌握实数与向量的积 理解两个向量 共线的充要条件 4 了解平面向量的基本定理 理解平面 向量的坐标的概念 掌握平面向量的坐 标运算 5 掌握平面向量的数量积及其几何 意义 了解平面向量的数量积可以 处理有关长度 角度和垂直的问题 掌握向量垂直的条件 6 掌握平面两点间的距离公式 以 及线段的定比分点和中点坐标公式 并且能熟练运用 掌握平移公式 学习指导 1 本讲重点 向量的概念 加法和减法 共线的充要条件 向量的坐标运算 数量 积 垂直的充要条件 定比分点和中点坐 标公式 平移公式 2 本讲难点 将重要的概念 公式 条件 方法与几何 解析几何 三角函数 复 数等知识的综合运用 3 剖析 向量这部分内容为必修教材中的 新增知识 由于其应用的广泛性 如相关 学科中的物理等 故引进高中学习 并 成为考试的重点 热点之一 尤其是运用 向量知识分析解决问题更为人们一致看好 下面着重对应用向量知识 分析解决问 题举例如下 典型例题分析 例1 已知平面内两点A B的坐标分别为 a 0 0 a 其中常数a 0 线段AB上有 一动点P 满足AP tAB 其中 0 t 1 求OP OA的最大值 B 0 a P x a x A a 0 x y O 解 如图 设0为坐标原点 A a 0 B 0 a 由AB y x a 设P点坐标为 x a x AB a a AP x a a x 由AP tAB得 x a t a a x ta OA a 0 OP x a x 则OA OP ax 0 a x ax 1 t a2 0 t 1 当t 0时 OA OP最大 a2 说明 本题主要考查直线方程 向量的数 量积 向量的坐标运算 函数的最值 例2 已知两点M 1 0 N 1 0 且点p使 MP MN PM PN NM NP成公差小于零 的等差数列 I 点P的轨迹是什么曲线 II 若点P的坐标为 x0 y0 为PM与PN 的夹角 求tan 解 I 记P x y 由M 1 0 N 1 0 得 PM MP 1 x y PN NP 1 x y MN NM 2 0 所以 MP MN 2 1 x PM PN x2 y2 1 NM NP 2 1 x 于是 MP MN PM PN NM NP是公差小于零 的等差数列等价于 x2 y2 1 2 1 x 2 1 x x2 y2 3 2 1 x 2 1 x 0 所以 点P的轨迹是以原点为圆心 为半 径的右半圆 即 II 点P的坐标为 x0 y0 PM PN x02 y02 1 2 说明 本题主要考查向量的数量积 二次 曲线和等差数列等基础知识 以及综合分 析和解决问题的能力 其中向量与解析几 何的综合是目前复习中不可忽视的一类题 型 向量作为工具性知识与立几 解几的 综合体现了现代数学思想 其作用是重大 的 例3 在ABC中 A 0 0 B c 0 C a b 则 ABC三条高的交点坐标为 解 设交点M的坐标为M x y 依题意 AM BC 0 x y a c b 0 CM AB 0 x a y b c 0 0 a c x by 0 解得 x a c x a 0 y 故填答案 a x y 0 AB C M 说明 如果AB边不在x轴上 用传统方法 求解运算相当繁杂且要考虑斜率不存在的 情况 而用向量求解避开了讨论斜率存在 与不存在的两种情况 且运算简单 切入 点低 例4 椭圆 的焦点为F1 F2 点P为其上动点 当 F1PF2为钝角时 点P横坐标的取值范围是 解 易知F1 0 F2 0 设点P的坐标为 x y 则 F1PF2为钝角的充要条件是 PF1 PF2 0 PF1 x 0 y PF2 x 0 y x x 0 y 0 y 0 即x2 5 y2 0 又因为 故由 得 说明 本题若用传统方法 可以有几种解 法 用向量来解 切入点低 且避免了直 线斜率不存在的讨论 今后应注意 向量 这一工具性知识在解题过程中的应用 例5 设a 1 cos sin b 1 cos sin c 1 0 0 2 a与c的夹角为 1 b与c的夹 角为 2 且 1 2 求sin 的值 解 a 2cos cos sin b 2sin sin cos 0 2 0 故 a 2cos b 2sin 说明 计算两个向量的夹角问题 与三角 函数有关 故向量可与三角函数的运算自 然结合 使试题简洁优美
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