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分类计数原理

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分类 计数 原理
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1 1 3分类计数原理 与分步计数原理 三 一 复习回顾 两个计数原理的内容是什么 解决两个计数原理问题需要注意什么问题 有哪些技巧 练习 三个比赛项目 六人报名参加 每人参加一项有多少种不同的方法 每项 人 且每人至多参加一项 有多 少种不同的方法 每项 人 每人参加的项数不限 有多 少种不同的方法 例1 用0 1 2 3 4 5这六个数字 1 可以组成多少个各位数字不允许重复的三位 的奇数 2 可以组成多少个各位数字不重复的小于1000 的自然数 3 可以组成多少个大于3000 小于5421且各位数 字不允许重复的四位数 一 排数字问题 1 将数字1 2 3 4 填入标号为1 2 3 4的四个 方格里 每格填一个数字 则每个格子的标 号与所填的数字均不同的填法有 种 引申 号方格里可填 三个数字 有 种填 法 号方格填好后 再填与 号方格内数字相 同的号的方格 又有 种填法 其余两个方格只 有 种填法 所以共有3 3 1 9种不同的方法 二 映射个数问题 例2 设A a b c d e f B x y z 从A到B共有多 少种不同的映射 三 染色问题 例3 有n种不同颜色为下列两块广告牌着色 要求 在 四个区域中相邻 有公共边界 区域中 不用同一种颜色 1 若n 6 为 1 着色时共有多少种方法 2 若为 2 着色时共有120种不同方法 求n 1 2 如图 要给地图A B C D四个区域分 别涂上3种不同颜色中的某一种 允许同一种颜 色使用多次 但相邻区域必须涂不同的颜色 不 同的涂色方案有多少种 解 按地图A B C D四个区域依次分 四步完成 第一步 m1 3 种 第二步 m2 2 种 第三步 m3 1 种 第四步 m4 1 种 所以根据乘法原理 得到不同的涂色方案 种数共有 N 3 2 1 1 6 种 如图 要给地图A B C D四个区域分 别涂上3种不同颜色中的某一种 允许同一种颜 色使用多次 但相邻区域必须涂不同的颜色 不 同的涂色方案有多少种 若用2色 4色 5色 等 结果又怎样呢 答 它们的涂色方案种数 分别是 0 4 3 2 2 48 5 4 3 3 180种 等 思考 四 子集问题 规律 n元集合 的不 同子集有个 例 集合A a b c d e 它的子集个数 为 真子集个数为 非空子 集个数为 非空真子集个数为 五 综合问题 例4 若直线方程ax by 0中的a b可以 从0 1 2 3 4这五个数字中任取两个不同的 数字 则方程所表示的不同的直线共有多 少条 1 75600有多少个正约数 解 由于 75600 24 33 52 7 1 75600的每个约数都可以写成 的形式 其中 于是 要确定75600的一个约数 可分四步完成 即 i j k l分别在各自的范围内任取一个值 这样i有5 种取法 j有4种取法 k有3种取法 l有2种取法 根据 分步计数原理得约数的个数为5 4 3 2 120个 解 从总体上看 如蚂蚁从顶点A爬到顶点C1 有三类方法 从局部上看每类又需两步完成 所以 第一类 m1 1 2 2 条 第二类 m2 1 2 2 条 第三类 m3 1 2 2 条 所以 根据加法原理 从顶点A到顶点C1最 近路线共有 N 2 2 2 6 条 2 一蚂蚁沿着正方体的棱 从的一个顶 点爬到相对的另一个顶点的最近路线 共有多少条 3 如果把两条异面直线看成 一对 那 么六棱锥的棱所在的12条直线中 异面直 线共有 对 A 12 B 24 C 36 D 48 B 4 如图 从甲地到乙地有2条路可通 从乙地 到丙地有3条路可通 从甲地到丁地有4条 路可通 从丁地到丙地有2条路可通 从 甲地到丙地共有多少种不同的走法 甲地乙地 丙地 丁地 解 从总体上看 由甲到丙有 两类不同的走法 第一类 由甲经乙去丙 又需分两步 所以 m1 2 3 6 种不同的走法 第二类 由甲经丁去丙 也需分两步 所以 m2 4 2 8 种不同的走法 所以从甲地到丙地共有 N 6 8 14 种不同的 走法
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