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同济大学材料力学第六章--弯曲内力

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同济大学 材料力学 第六 弯曲 内力
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材 料 力 学 讲授 顾志荣 同济大学航空航天与力学学院 顾志荣 第六章第六章 弯曲内力弯曲内力 材料力学 第六章 弯曲内力 一 平面弯曲的概念及梁的种类 二 梁的内力及其求法 三 剪力方程与弯矩方程 剪力图与弯矩图 四 弯矩 剪力和分布荷载之间的关系 五 平面刚架与曲杆的内力图 六 关于内力图的进一步讨论 第六章 弯曲内力 一 平面弯曲的概念及梁的种类 1 平面弯曲的概念 讨论杆的弯曲暂时限制在如下的范围 1 杆的横截面至少有一根对称轴 一个对称面 对称轴 对称轴 对称轴对称轴 第六章 弯曲内力 一 平面弯曲的概念及梁的种类 2 载荷作用在对称平面内 所有外力都作用在通过杆件轴线的纵向对称平面内 受力特点 轴线 纵向对称面 FqM 弯曲后梁的轴线 挠曲线 3 杆件轴线在载荷作用平面内弯成一条曲线 变形特点 1 平面弯曲的概念 第六章 弯曲内力 一 平面弯曲的概念及梁的种类 2 凡是以弯曲为主要变形的杆件 通常称为梁 第六章 弯曲内力 一 平面弯曲的概念及梁的种类第六章 弯曲内力 一 平面弯曲的概念及梁的种类 P a A B 阳台梁 栏杆 P AB q 第六章 弯曲内力 一 平面弯曲的概念及梁的种类 第六章 弯曲内力 一 平面弯曲的概念及梁的种类 第六章 弯曲内力 一 平面弯曲的概念及梁的种类 上海长江大桥第53号至54号桥墩间 将架起 百米长梁 这一箱梁长105米 宽16米 高5米 重2300吨 为世界第一 百米长梁 超越东海大桥 梁式大桥 70米的跨度 实现了桥梁史上的一大突破 上海长江大桥跨江段长10公里 全桥长16 5公里 双向6车道 设计时速100 公里 整个隧桥工程将在2010年完工 上海长江大桥架起 世界第一梁 3 梁的种类 静定梁 支座反力可由静力平衡方程确定的梁 a 简支梁 b 悬臂梁 c 外伸梁 d 静定组合梁 中间铰 第六章 弯曲内力 一 平面弯曲的概念及梁的种类 超静定梁 支座反力不能由静力平衡方程完全 确定的梁 第六章 弯曲内力 一 平面弯曲的概念及梁的种类 第六章 弯曲内力 二 梁的内力及其求法 x 解 1 根据平衡条件求支座反力 2 截取m m截面左段 A x m m M 剪力 使截面不产生移动 弯矩M 使截面不产生转动 得到 o A L B F a b m m 1 梁的内力 剪力与弯矩 得到 第六章 弯曲内力 二 梁的内力及其求法 2 剪力 弯矩的正 负号规定 Q Q M M 符号规定符号规定 左上右左上右下 剪力为正下 剪力为正 左顺右左顺右逆 弯矩为正逆 弯矩为正 第六章 弯曲内力 二 梁的内力及其求法第六章 弯曲内力 二 梁的内力及其求法 例题 一简支梁受力如图所示 试求C截面 跨中截面 上的内力 解 1 根据平衡条件求支座反力 q A B 4a a a C 3 求指定截面上的剪力和弯矩 第六章 弯曲内力 二 梁的内力及其求法 2 求C截面 跨中截面 上的内力 q A a C 得到 剪力 的实际方向与假设方 向相反 为负剪力 得到 弯矩M的实际方向与假设方向相同 为正弯矩 第六章 弯曲内力 二 梁的内力及其求法 如以右侧梁作为研究对象 则 为了计算方便 通常取外力比较简单的一段梁作为研究对象 q B a C 第六章 弯曲内力 二 梁的内力及其求法 q A B 4a a a C 取左段梁为研究对象 取右段梁为研究对象 截面左侧 或右侧 梁上的所有外力 向截面形心简化所得到的主矢 第六章 弯曲内力 二 梁的内力及其求法 截面左侧 或右侧 梁上的所有外力 力和 力偶 向截面形心简化所得到的主矩 q A B 4a a a C 取左段梁为研究对象 取右段梁为研究对象 第六章 弯曲内力 二 梁的内力及其求法 截面左侧 或右侧 梁上的所有外力 向截面形心简化所得到的主矢 截面左侧 或右侧 梁上的所有外力 力和力偶 向截面形心简化所得 到的主矩 第六章 弯曲内力 二 梁的内力及其求法 解 1 根据平衡条件求支座反力 例题 一外伸梁受力如图所示 试求D B截面上的内力 A B 1m1m 1m1m 2m q 2KN m P 2KN D C 2 求B D截面上的内力 第六章 弯曲内力 二 梁的内力及其求法 解 1 根据平衡条件已求出支座反力 例题 一外伸梁受力如图所示 试求D左 D右 B左 B右截面 上的内力 A B 1m1m 1m1m 2m q 2KN m P 2KN D C 2 求D左 D右 B左 B右截面上的内力 第六章 弯曲内力 二 梁的内力及其求法 A B 1m1m 1m1m 2m q 2KN m P 2KN DC 截面 第六章 弯曲内力 二 梁的内力及其求法 A B 1m1m 1m1m 2m q 2KN m P 2KN DC 截面 第六章 弯曲内力 二 梁的内力及其求法 截面 A B 1m1m 1m1m 2m q 2KN m P 2KN DC 第六章 弯曲内力 二 梁的内力及其求法 截面 与 截面相比 该截面的内力只增加了约束反力 故有 亦可取梁的右侧的外力简化 但必须注意外力的符号变化 A B 1m1m 1m1m 2m q 2KN m P 2KN DC 第六章 弯曲内力 二 梁的内力及其求法 4 小结 基本规律 1 求指定截面上的内力时 既可取梁的左段 为脱离体 也可取右段为脱离体 两者计算结果 一致 方向 转向相反 一般取外力比较简单 的一段进行分析 2 在解题时 一般在需要内力的截面上把内 力 FQ M 假设为正号 最后计算结果是正 则 表示假设的内力方向 转向 是正确的 解得的 FQ M即为正的剪力和弯矩 若计算结果为负 则 表示该截面上的剪力和弯矩均是负的 其方向 转向 应与所假设的相反 但不必再把脱离体图 上假设的内力方向改过来 第六章 弯曲内力 二 梁的内力及其求法 3 梁内任一截面上的剪力FQ的大小 等于这截面左边 或右边 所有与截面平行的各外力的代数和 若考虑左段为脱离体时 在此段梁上所有向上的外力会使该截面上产生正号的剪力 而所有向下的外力会使该截面上产生负号的剪力 4 梁内任一截面上的弯矩的大小 等于这截面左边 或右边 所有外力 包括力偶 对于这个截面形心的力矩的代数和 第六章 弯曲内力 二 梁的内力及其求法 若考虑左段为脱离体时 在此段梁上所有向 上的力使该截面上产生正号的弯矩 而所有向下 的力会使该截面上产生负号的弯矩 在此段梁上所 有顺时针转向的外力偶会使该截面上产生正号的 弯矩 而所有逆时针转向的外力偶会使该截面上 产生负号的弯矩 5 集中力作用的截面上剪力有 跳跃 突 变 其跳跃的值就是这个集中力的大小 集中 力偶作用的截面上弯矩有 跳跃 其跳跃的值 就是这个集中力偶的大小 第六章 弯曲内力 二 梁的内力及其求法 第六章 弯曲内力 三 剪力方程与弯矩方程 剪力图与弯矩图 在一般情况下 梁横截面上的剪力和弯矩随截面的位置而变化 因此 剪力和弯矩均可表示为截面位置x的函数 即 称为剪力方程和弯矩方程 A B 1m1m 1m1m 2m q 2KN m P 2KN ECD F 1 剪力方程与弯矩方程 第六章 弯曲内力 三 剪力方程与弯矩方程 剪力图与弯矩图 2 内力与外力的相依关系 某一截面上的内力与作用在该截面一侧局部杆件上的外某一截面上的内力与作用在该截面一侧局部杆件上的外 力相平衡 力相平衡 在载荷无突变的一段杆的各截面上内力按相同的规律变在载荷无突变的一段杆的各截面上内力按相同的规律变 化 化 第六章 弯曲内力 三 剪力方程与弯矩方程 剪力图与弯矩图 A B 1m1m 1m1m 2m q 2KN m P 2KN ED F 因此 必须分段列出梁的剪力方程和弯矩方程 各段的分界 点为各段梁的控制截面 所谓控制截面 即外力规律发生变化的截面 集中力 集中 力偶作用点 分布载荷的起点和终点处的横截面 3 控制截面的概念 第六章 弯曲内力 三 剪力方程与弯矩方程 剪力图与弯矩图 x x 剪力图和弯矩图 用图示方法形象地表示剪力和弯矩沿梁 轴线的变化情况 注意 必须标明控制 截面上的内力值 4 剪力图和弯矩图 第六章 弯曲内力 三 剪力方程与弯矩方程 剪力图与弯矩图 例题 悬臂梁受力如图所示 试列出梁的剪力方程和弯矩方程 作出梁的剪力图和弯矩图 并求出梁的 和 及其所 在截面位置 Pm Pa A C B a a 取参考坐标系Axy 解 x y 1 列出梁的剪力方程和弯矩方程 AB段 x 第六章 弯曲内力 三 剪力方程与弯矩方程 剪力图与弯矩图 BC段 Pm Pa A C B a a x x 2 作梁的剪力图和弯矩图 P Pa 3 求 和 在BC段的各截面 在AB段的各截面 第六章 弯曲内力 三 剪力方程与弯矩方程 剪力图与弯矩图 注意 1 在列梁的剪力方程和弯矩方程时 参数x可以从坐标原点算 起 也可从另外的点算起 仅需要写清楚方程的适用范围 x的区间 即可 2 剪力 弯矩方程的适用范围 在集中力 包括支座反力 作 用处 应为开区间 因在该处剪力图有突变 而在集中 力偶作用处 M x 应为开区间 因在该处弯矩图有突变 3 若所得方程为x的二次或二次以上方程时 则在作图时除计 算控制截面的值外 应注意曲线的凹凸向及其极值 第六章 弯曲内力 三 剪力方程与弯矩方程 剪力图与弯矩图 例题 外伸简支梁受力如图所示 试列出梁的剪力方程和弯矩 方程 作出梁的剪力图和弯矩图 A B q F qa C a2a 解 x y 1 取参考坐标系Cxy 根据平衡条件求支座反力 第六章 弯曲内力 三 剪力方程与弯矩方程 剪力图与弯矩图 2 列出梁的剪力方程和弯矩方程 y A B qF qa C a2a x CA段 x AB段 x 第六章 弯曲内力 三 剪力方程与弯矩方程 剪力图与弯矩图 y A B qF qa C a2a x 3 作梁的剪力图和弯矩图 qa E 第六章 弯曲内力 三 剪力方程与弯矩方程 剪力图与弯矩图 例例1 1 简支梁简支梁ABAB受力如图 试作该梁的剪力图和弯矩图 受力如图 试作该梁的剪力图和弯矩图 y x aaa pa p A C BD FAy FBy x x x 解 解 1 1 支座反力支座反力 2 2 剪力方程 弯矩方程剪力方程 弯矩方程 y x aaa pa p A C BD FAy FBy x x x P 3 2P 3 Q x Pa 3 2Pa 3 3 3 剪力图 弯矩图剪力图 弯矩图 M xo Pa 3 例例2 2 简支梁简支梁ABAB受力如图 试作该梁的剪力图和弯矩图 受力如图 试作该梁的剪力图和弯矩图 y x aa qa2 A C B q FAy FBy x x 解 解 1 1 支座反力支座反力 2 2 剪力方程 弯矩方程剪力方程 弯矩方程 q aa x q x a x a 2 y x aa qa2 A C B q FAy FBy x x 3 3 剪力图 弯矩图剪力图 弯矩图 y x aa qa2 A C B q FAy FBy x x Q x 3qa 4 qa 4 M 3qa2 4 qa2 4 qa2 32 x x 7a 4 3 3 剪力图 弯矩图剪力图 弯矩图 例3 复合静定梁 试作剪力图和弯矩图 特点 中间铰不能传递弯矩 只能传递力的作用 求解时先 由中间铰处拆开 化为两个单 跨梁 AD DC和CB三段剪力 方程和弯矩方程如下 1 支座反力 a 2 A CB q a 2a D x x x B A q c c FCy FAy RC由AC跨的平衡条件求得 AD DC CB 2 剪力图和弯矩图 O Q 3qa 3 qa 8 M O 9qa2 128 qa2 16 qa2 18 3a 8 a 2 A CB q a 2a D x x x c B q cA FCy FAy AD段的弯矩图为一条二 次抛物线 作图时须求出弯 矩的极值和所在截面的位置 才能大致绘出其图形 第六章 弯曲内力 四 弯矩 剪力和分布荷载之间的关系 考察受任意载荷作用的梁 建立xy坐标系 规定向上的q x 为正 第六章 弯曲内力 四 弯矩 剪力和分布荷载之间的关系 y x A B q x 考察dx微段的受力与平衡 第六章 弯曲内力 四 弯矩 剪力和分布荷载之间的关系 Q x Q x dQ x M x M x dM x x y xdx o q x 上式的物理意义 梁上任一横截面上的剪力 对x的一阶导数 等于该截面处作用在梁上的分布荷载集度 上式的几何意义 任一横截面上的分布荷载集度 就是剪力 图上相关点处的斜率 第六章 弯曲内力 四 弯矩 剪力和分布荷载之间的关系 FQ x FQ x dFQ x M x M x dM x x y xdx o q x 由此式知 剪力图曲 线上一点处的斜率等于 梁上相应点处的载荷集 度q A B qF qa C a2a qa E 第六章 弯曲内力 四 弯矩 剪力和分布荷载之间的关系 略去二阶微量 得 上式的物理意义 梁上任一横截面上的弯矩 对x的一阶导 数 等于该截面上的剪力 上式的几何意义 任一横截面处的剪力 就是弯矩图上相 关点处的斜率 第六章 弯曲内力 四 弯矩 剪力和分布荷载之间的关系 FQ x FQ x dFQ x M x M x dM x x y xdx o q x c 由此式知 弯矩图曲 线上一点的斜率等于梁 上相应截面处的剪力FQ A B qF qa C a2a qa E 第六章 弯曲内力 四 弯矩 剪力和分布荷载之间的关系 上式的物理意义 梁上任一横截面上的弯矩 对x的二阶导 数 等于同一截面处作用在梁上的分布荷载集度 数学上 二阶导数可用来判定曲线的凹向 因此 上式的几何意义 可以根据 对x的二阶导数的正 负来定出 图的凹向 第六章 弯曲内力 四 弯矩 剪力和分布荷载之间的关系 内力FQ M 的变化规律 归纳如下 载荷 F 水平直线 or or 上斜直线 上凸 抛物线 下凸 抛物线 下斜直线 F 剪力图 无突变 F处有尖角 斜直线 第六章 弯曲内力 四 弯矩 剪力和分布荷载之间的关系 1 当梁上某段q 0时 该段剪力为常数 故剪力图为 水平直线 相应的弯矩为x的一次函数 弯矩图为斜直 线 当FQ 0时 弯矩图为上升斜直线 FQ 0时 弯 矩图为下降斜直线 2 当梁上某段q 常数时 该段剪力为x的一次函数 剪力图为斜直线 相应的弯矩为x的二次函数 弯矩图 为二次抛物线 若q 0 则剪力图为上升斜直线 弯矩图为凹口 向上的曲线 凹孤 若q 0 则剪力图为下降斜直线 弯矩图为凹口 向下的曲线 凸孤 3 在集中力作用处 包括支承处 剪力图将 发生突变 其突变值等于该处集中力之大小 当集中力向上时 剪力图向上突变 沿x正向 反之 向下突变 而弯矩图将因该处两侧斜 率不等出现拐点 在集中力偶作用处 弯矩图将发生突变 突变值等于集中力偶矩的大小 当集中力偶为 顺时针方向作用时 弯矩图向上突变 沿x正 向 反之则向下突变 但剪力图在该处无变 化 例题 一外伸梁受力如图所示 试作梁的剪力图 弯矩图 解 1 根据平衡条件求支座反力 A B 1m 1m 4m F 3KN C D q 2KN m 第六章 弯曲内力 四 弯矩 剪力和分布荷载之间的关系 A B 1m 1m 4m F 3KN C D q 2KN m 2 由微分关系判断各段的 形状 载荷 CADBAD 斜直线斜直线 第六章 弯曲内力 四 弯矩 剪力和分布荷载之间的关系 A B 1m1m4m F 3KN C D q 2KN m 3 作 图 4 作M 图 CA段 DA段 3KN 4 2KN 3 8KN DB段 3KN m E x 2 2KN m 3 8KN m 第六章 弯曲内力 四 弯矩 剪力和分布荷载之间的关系 C AD B RA RB 例题 外伸梁 受力如图 例题 外伸梁 受力如图 试画剪力图和弯矩图 试画剪力图和弯矩图 解 1 求支座反力 20 15 M kNm O x Q KN x o 10 15 5 15 CA段 dQ dx q x 0 A点 RA 35kn 发生跳跃 AB段 B点 RB 15kn 发生跳跃 CA段 AD段 2 作剪力图 弯矩图 D点 MD 20kn m 发生跳跃 DB段 第六章 弯曲内力 四 弯矩 剪力和分布荷载之间的关系 例题 外伸梁 受力如图 例题 外伸梁 受力如图 试画剪力图和弯矩图 试画剪力图和弯矩图 C A DBE RA RB 解 1 求支座反力 2 作剪力图 弯矩图 Q kn ox 20 5 30 M knm xo 20 15 45 60 第六章 弯曲内力 四 弯矩 剪力和分布荷载之间的关系 q x q x 第六章 弯曲内力 四 弯矩 剪力和分布荷载之间的关系 例题 第六章 弯曲内力 四 弯矩 剪力和分布荷载之间的关系 q x q x 例题 第六章 弯曲内力 五 平面刚架与曲杆的内力图 刚架 由两根或两根以上的杆件组成的并在连接处采用刚性连 接的结构 横梁 立柱 当杆件变形时 两杆连接处保持刚性 即角度 一般为直角 保持不变 在平面载荷作用下 组成刚架的杆件横 截面上一般存在轴力 剪力和弯矩三个 内力分量 第六章 弯曲内力 五 平面刚架与曲杆的内力图第六章 弯曲内力 五 平面刚架与曲杆的内力图 求做图示刚架的内力图 q L L A B C qL qL 2 qL 2 求做图示刚架的内力图 2kN m 4m 4m A B C 2kN 2kN 8kN 24kNm 等截面折杆ABC的A端固定在墙上 自由端承受集中 力F 20kN 设L1 2m L2 1m 1 450 2 900 试作折杆的 剪力和弯矩图 A L1 L2 F C 2r r A B F 图示杆ABC由直杆和半圆组成 试作该杆的内力图 AB BC 第六章 弯曲内力 六 关于内力图的进一步讨论 根据给定的剪力图能否确定梁的受力 能根据给定的剪力图能否确定梁的受力 能 否确定梁的支承性质与支承位置 答案是否具否确定梁的支承性质与支承位置 答案是否具 有唯一性 由给定的剪力图能否确定弯矩图 有唯一性 由给定的剪力图能否确定弯矩图 答案是否唯一 答案是否唯一 结论与讨论结论与讨论 第六章 弯曲内力 六 关于内力图的进一步讨论第六章 弯曲内力 六 关于内力图的进一步讨论 例1 图示是一简支梁的剪力图与弯矩图 试根 据此图求出与其相应的荷载图 2m2m 20kn 20kn 20kn 20knm10 20 20 30 20kn q 20kn m q 20kn 第六章 弯曲内力 六 关于内力图的进一步讨论 例2 图示是一梁的剪力图 假设无集中力偶作用 试根据此图求出与其相应的荷载图和弯矩图 1m 1m2m 2m Q 50 KN 50 50 q kn 50 100 50 M knm 50 50 第六章 弯曲内力 六 关于内力图的进一步讨论
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