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硕士学位论文答辩会-东北电力大学

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硕士学位 论文 答辩会 东北 电力大学
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第二章 控制系统的模型 一 控制系统的时域数学模型 二 控制系统的复数域数学模型 三 控制系统的结构图与信号流图 四 数学模型的实验测定 2 1 控制系统的时域数学模型 1 线性系统微分方程的建立 步骤 1 确定系统的输入量 给定量和扰 动量 与输出量 被控制量 也称 为系统的响应 2 列写系统各部分的微分方程 3 消去中间变量 求出系统的微 分方程 例2 1 编写如图2 1所示RC电路的微分方程 式 图 2 1 RC电路 解 1 定输入输出量 u1 t 输入量 u2 t 输出量 2 列写微分方程 u1 iR u2 式中 u2 q c i dq dt 3 消去中间变 量 可得电路微分方 程式 例2 2 编写电枢控制的他激直流电动 机的微 分方程式 图 2 2 直流电动 机电枢电路 1 确定输入量和输出量 取输入量为电动机的电枢电压ud xr u 取输出量为电动机的转速 xc n 2 列写微分方程式 电枢回路的微分方程式 电动机的机械运动方程式 3 消去中间变量 得电动机的动态微分方程式 以算 子 表示 TdTmp2xc Tmpxc xc x r Ce 2 非线性数学模型线性化 实际的物理元件都存在一定的非线性 例如 弹簧系数 是位移的函数 电阻 电容 电感与工作环境 工作电流有关 电动本身的摩擦 死区 小偏差线性化法 设连续变化的非线性函数 平衡状态A为工作点 在平衡状态点运用台劳级数展开为 l l 具有两个自变变量的非线线性函数的线线性化 增量线线性方程 2 2 控制系统的复数域数学 模型 1 传递传递 函数的定义义和性质质 定义义 设线设线 性定常系统统由n阶线阶线 性定常微分方程描述 在零初始条件下 取拉氏变换变换 得 称为系统或环节的传递函数 可以写成 例 2 3 图 2 1 所示RC电路的微分方程式为 初始条件为零时 拉氏变换为 该电路的传递函数为 式中 RC电路的时间常数 例2 4 求直流他激电动机的传递函数 以电枢电压为输 入量 转速为输出量的微分方程式 在初始条件为零时 上式的拉氏变换为 传递函数为 传递传递 函数的性质质 1 因果系统的传递函数是s 的有理真分式函数 具有 复变函数的性质 2 传递函数取决于系统或元件的结构和参数 与输入信号的形式无关 3 传递函数与微分方程可相互转换 4 传递函数 的Laplace反变换是系统的脉 冲响应 2 典型环节环节 的传递传递 函数及暂态暂态 特性 1 比例环节环节 其输出量和输入量的关系 由下面的代数方程式来表示 式中 环节的放大系数 为一常数 传递函数为 图2 3 比例环节 2 惯惯性环节环节 惯性环节的传递函数可以写成如下表达式 现求输入量为单位跃阶函数时 惯性环节输 出量的函 数关系 求拉氏反变换得 3 积积分环节环节 传递函数为 当输入量为阶跃 函数时 则输出量为 4 微分环节环节 传递函数为 5 振荡环节荡环节 这种环节包括有两个储能元件 当输入量发生 变化时 两种储能元件的能量相互交换 在阶跃函 数作用下 其暂态响应可能作周期性的变化 今以 RLC 电路 图2 4 为例加以说明 电路的电压平衡 方程式为 在零初始条件下取拉氏变换得传递函数为 图2 4 RLC电路 将传递函数转换为 式中 当输入量为阶跃 函数时 输出量的拉氏变换为 当 时 上式特征方程的根为共轭复数 输出量为 6 时时滞环节环节 传递函数为 2 3 控制系统的结构图与信号 流图 控制系统统的结结构图图 描述系统统各元部件之间间的信 号传递传递 关系的一种图图形化表示 特别对别对 于复杂杂控 制系统统的信号传递过传递过 程给给出了一种直观观的描述 系统结统结 构图图的组组成 系统结构图一般有四个基 本单元组成 1 信号线 2 引出点 或测量点 3 比较点 或信号综合点 表示对信号进 行叠加 4 方框 或环节 表示对信号进行变 换 方框中写入元部件或系统的传递函数 1 1 控制系 控制系统统的的结结构构图图 1 首先按照系统的结构和工作原理 分解出 各环节并写出它的传递函数 2 绘出各环节的动态方框图 方框图中标 明它的传递函数 并以箭头和字母符号表明其 输入量和输出量 按 照信号的传递方向把各方 框图依次联接起来 就构成了系统结构图 系统动态结统动态结 构图图的绘绘制步骤骤 例2 5 电压测量装置方框结构图 被测电压 指示的测量电压 电压测量误差 系统组成 比较电路 机械调制器 放大器 两相交流伺服电动机 指针机构 比较电路 调制器 放大器 两相伺服电动机 绳轮传动机构 测量电位器 系统结构图 无源网络的方框结构图 2 系统传递函数和结构图的变换和简化 任何复杂的系统结构图 各方框之间的基本连接方式只 有串联 并联和反馈连接三种 方框结构图的简化是通 过移动引出点 比较点 交换比较点 进行方框运算后 将串联 并联和反馈连接的方框合并 等效变换的原则 变换前后的变量之间关系保持不变 一 典型连接的等效传递函数 1 串联等效 2 并联 3 反馈 二 相加点及分支点的换位运算 原则 移动前后保持信号的等效性 1 相加点从单元的输入端移到输出端 如图2 5 图 2 5 相加点后移变位运算 2 相加点从单元的输出端移到输入端 如图2 6所示 图2 6 相加点前移变位运算 3 分支点从单元的输入端移到输出端 如图2 7所示 图 2 7 分支点后移的变位运算 4 分支点从单元的输出端移到输入端 如图2 8所示 图 2 8 分支点前移的变位运算 三 系统开环传递函数 开环传递函数 反馈引入点断开时 输入端对应比较器 输出 E s 到输入端对应的比较器的反馈 信号 B s 之间 所有传递函数的乘积 记 为GK s GK s G s H s 前向通道传递函数 输入端对应比较器输出 E s 到输出 端输出 C s 所有传递函数的乘积 记为G s 反馈通道传递函数 输出 C s 到 输入端比较器的反馈信 号 B s 之间的所有传递函数之乘积 记 为 H s 四 系统闭环传递函数 在初始条件为零时 系统的输出量与输入量的拉氏变 换之比称为系统的闭环传递函数 闭环传递函数是分 析系统动态性能的主要的数学模型 例2 6 试简化图示系统结构图 并求系统传递函数 五 系统对给定作用和扰动作用的传递 函数 图2 11所示系统中有两个输入量 给定作 用量和扰动作用量 同时作用于系统 对于线 性系统来说 可以对每一个输入量分别求出输 出量 然后再进行叠加 就得到系统的输出量 图 2 11 Xr s 和Xc s 同时作用于系统 1 只有给定作用时的闭环传递函数 和输出量 为 2 只有扰动作用时的闭环传递函数 和输出量 为 因此当两个输入量同时作用于系统时 则输出量 为 3 信号流图 信号流图是一种用图线表示线性系统方程组的方法 一 信号流图中的术语 1 源点 只有输出支路的节点称为源点或称为输入节点 2 汇点 只有输入支路的节点称为汇点或称为输出节点 3 混合节点 既有输入支点也有输出支点的节点称为混 合节点 4 通路 从某一节点开始沿支路箭头方向经过各相连支 路到另一节点 或同一节点 构成的路径称为通路 5 开通路 与任一节点相交不多于一次的通路称为开通 路 6 闭通路 如果通路的终点就是通路的起点 并且与 任何其他节点相交不多于一次的称为闭通路或称为 回环 7 回环增益 回环中各支路传输的乘积称为回环增益 或传输 8 前向通路 是指从源头开始并终止于汇点且与其他 节点相交不多于一次的通路 该通路的各传输乘积 称为前向通路增益 9 不接触回环 如果一信号流图有多个回环 各回环 之间没有任何公共节点 就称为不接触回环 反之 称为接触回环 二 信号流图的绘制 例说明绘制信号流图的过程 一系统的方程组为 首先按照节点的次序绘出各节点 然后根 据各方程式绘制各支路 当所有方程式的信 号流图绘制完毕后 即得系统的信号流图 如图2 12 a 该系统相应的结构图如图2 12 b 所示 图2 12 系统信号流图和结构图 三 梅逊增益公式 从源点到阱点的传递函数 或总增益 从源点到阱点的前向通路总数 从源点到阱点的第k条前向通路总增益 流图特征式 所有单独回路之和 两 两不接触回路增益的乘积之和 三 三不接触回路增益的乘积之和 流图余因子 例 2 18 求如图2 13所示系统的传递 函数 该系统的前向通路及其传输为 系统的回环及其传输为 上述各环互相接触 因此 由此得系统的特征式 上述各回环都与前向通路T1和T2 相接触 有共同环节或 公共节点 因此得 图 2 13 系统结构图 根据梅逊公式求得系统传递函数为 小 结 l数学模型的基本概念 数学模型是 描述系统暂态过程的数学表达式 是对系统进行理论分析研究的主要 依据 l通过解析法对实际系统建立数学模 型 在本章中 根据系统各环节的 工作原理 建立其微分方程式 反 映其动态本质 l非线性元件的线性化 针对非线性 元件的非线性微分方程分析的难度 本章介绍采用小偏差线性化方法 对非线性系统的线性化描述 l传递函数 通过拉氏变换求解微分 方程是一种简捷的微分方程求解方 法 本章介绍了如何将线性微分方 程转换为复数s域的数学模型 传递函数以及典型环节的传递函数 l动态结构图 动态结构图是传递函 数的图解化 能够直观形象地表示 出系统中信号的传递变换特性 有 助于求解系统的各种传递函数 分 析研究系统 l信号流图 信号流图是一种用图线 表示系统中信号流向的数学模型 完全包括了描述系统的所有信息及 相互关系 通过运用梅逊公式能够 简便 快捷地求出系统的传递函数
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