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两条直线的夹角

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直线 夹角
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11.3两条直线的夹角(2)教学目标理解直线夹角公式的推导,能正确使用夹角公式求两条直线的夹角.进一步理解运用平行、垂直、夹角等概念求直线方程的一般方法..通过两条直线夹角公式的推导,形成运用数形结合、分类讨论的思想解决问题的能力教学重点理解两条直线夹角公式的推导,会求两条直线的夹角教学难点理解两条直线夹角公式的推导,会求两条直线的夹角教学方法师生互动教学过程设计说明引入1.引例:判断下列各组直线的位置关系,如果相交,则求出交点的坐标(课本p16例1).(1),; (2),; (3),. 解:(参考课本p16~17)[说明]复习判断两直线的平行、重合、相交,以及求相交直线的交点坐标的方法.由此引出新的课题.思考并回答下列问题1.(对于上述(1)、(2)这样),当两条直线相交时,用什么“量”来描述两条直线的相对位置呢? 教具演示:两条直线相交,使其中一条直线绕定点旋转,让学生观察这两条直线的关系.解答:两条直线的夹角.2.回顾旧知:在初中平面几何中“两直线夹角”的定义是什么?解答:角是有公共端点的两条射线所组成的几何图形(如右图).[说明]在复习旧知的基础上引人新课.概念分析关于两直线的夹角1、概念形成两条直线的夹角如右图,两条直线相交,一共构成几个角?它们有什么关系?怎样定义两条直线的夹角呢?平面上两条直线和相交构成四个角,它们是两组互补的对顶角,因为相对而言,锐角比较简单.我们规定两条相交直线所成的锐角或直角为两条直线的夹角.如果两条直线平行或重合,规定它们的夹角为0.因此,两条直线的夹角的取值范围是,而两条相交直线夹角的取值范围是(.现在我们可以用夹角来描述两直线的相对位置关系,当给出两条直线的方程时,它们的相对位置就确定了,它们的夹角也随之确定,那么,如何根据直线方程求两直线的夹角呢?[说明]①为什么规定锐角或直角为两直线的夹角,说明其合理性;②提出问题,给学生造成认知冲突,激发学生探索欲2、夹角公式的推导分析:直线的方向——方向向量——斜率——倾斜角——夹角之间的关系.由于直线的方向是由直线的方向向量或者斜率决定的,下面我们借助于这两条直线的方向向量来求得两直线的夹角.[说明] 引导学生画图分析,寻找夹角、倾斜角、方向向量之间的关系.通过类比,寻求思路.设两条直线的方程分别为:(不全为零):(不全为零).设与的夹角为,与的一方向向量分别为与,其夹角为,且=,=,当时,则如图甲所示;当时,则,如图乙所示.于是得:.即为直线与的夹角公式.特别地,当且仅当时,与的夹角为,即与垂直.也就是说: 垂直垂直(其中,分别为与的一个法向量)而由,易得当时,有,即当两条直线的斜率都存在时,与垂直的充要条件是其中分别为直线与的斜率.[说明]①培养学生周密分析,严格论证的能力.由于直线的夹角与两个向量的夹角有区别,前者的范围是.后者的范围是,因此必须考虑两种情况与;② 允许学生从斜率的角度考虑,但是不作为本课的重点,可留做课后探讨.例题讲解例1:(回到引例)求下列各组直线的夹角:(1),; (2),;解:设与的夹角为,则由两条直线的夹角公式得(1) 即为所求;(2)即为所求.[说明]①解决本课开头提出的问题, 本环节的设计目的是使学生熟悉夹角公式的初步应用;②鼓励学生一题多解,对于小题(2),由于直线的斜率不存在,还可以数形结合(图略),求得的倾斜角,得出与的夹角为).例2:若直线:与:互相垂直,求实数的值.(补充)解:先把直线的方程化为一般形式:.∵两直线垂直,∴,∴为所求.[说明] 通过练习强调两条直线垂直的充要条件,指出公式适合的前提条件是把直线的方程化成一般式方程,以便确定系数.例3:已知直线过点,且与直线的夹角为,求直线的方程.(补充)解:(方法一)设的方程为(其中为的一法向量),则即化简为解方程,得当时,则,此时方程为当时,方程为,即综上,的方程是或.(方法二)设点斜式,按直线的斜率是否存在分两类讨论1 若直线的斜率不存在,则过点直线的方程为,设它与直线的夹角,则,满足题意.②若直线的斜率存在,那么设直线的方程为,即,设它与直线的夹角,则则即,解得, 所以直线的方程为,化简得,由①②可知,的方程是或.[说明] ①启发学生探讨“求过某定点,且与已知直线夹角为的直线方程”这类基本问题的处理方法;②一般地, 求直线方程时,往往采用待定系数法:先设出的直线方程,再利用直线的夹角公式列式,求解;③分析思路,启发学生一题多解.若设点斜式,学生可能只求出一条直线,启发学生从平面几何分析,应有两条直线.但为什么有的学生求到只有一条呢?让学生在矛盾中顿悟:需要按斜率是否存在分两类讨论,而且利用直线的夹角公式时,都必须先化为直线方程的一般形式.④例3类同于教材中的例4,教材中例4给出的夹角为特殊值,本例为,目的让学生熟悉反三角的表示.例4:已知的三个顶点为(1)求中的大小;(2)求的平分线所在直线的方程. (补充)解:(1)方法一:直线的方程为:,直线的方程为:, 设它们的夹角为,又为锐角,所以=,则即为所求;方法二:数形结合,因为即为所求.(2)方法一:设角平分线所在直线方程,即.由角平分线与两边成等角,运用夹角公式得解得,由题意,舍所以角平分线的方程为:.方法二: 数形结合,利用半角公式先求角平分线所在直线的斜率为, 又已知它过点(2,1),所以,角平分线的方程为:[说明]①巩固提高.因为本题中,直线的方程为:,因此采用方法二更简洁些.但是方法一却是解决此类问题的基本方法.②小题(1),求三角形的内角,一般先求过的两条边所在直线方程,由夹角公式可求得.需要注意夹角公式所得的角是三角形内角或其补角;③小题(2),注意结合图形,正确取舍课堂练习练习11.3(2) ----1,3课堂小结1.本节课研究了两条直线的夹角,推导出两条直线的夹角公式的方法,要理解、体会其中的思想方法;2.会用两条直线垂直的充要条件解决与垂直有关的问题;3.熟练运用夹角公式求两条直线的夹角.注意不垂直的两条相交直线的夹角为锐角; 4.进一步讨论了求直线方程的方法:运用待定系数法时,可设直线方程为点法向式、或点斜式方程,而在用点斜式方程时,需要分类讨论.作业1、书面作业:练习11.3(2) ----2,4习题11.3 A组----10,11,122、思考题:光线沿直线1:照射到直线2:上后反射,求反射线所在直线的方程.解 由.设的方程为(其中为一法向量,不同时为零)由反射原理,直线与的夹角等于与的夹角,得,舍去(否则与1重合) ,所以,得的方程为.3.思考题:在y轴的正半轴上给定两点A(0,a),B(0,b),点A在点B上方,试在x轴正半轴上求一点C,使∠ACB取到最大值.答:.[说明] ①作业1是课本习题,通过它来反馈知识掌握效果,巩固所学知识,强化基本技能的训练,培养学生良好的学习习惯和品质;②作业2、3设计成思考题,是为了给学有余力的学生留出自由发展的空间,学生可以根据实际情况选用.本课教育评注(课堂设计理念,实际教学效果及改进设想)
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