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《多边形的内角和》 教学设计【初中数学人教版八年级上册】

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资源描述:
《多边形的内角和》 教学设计◆ 教材分析《多边形的内角和》选自人教版八年级上册的第十一章第三节,《多边形内角和》是本章的一个重点,是三角形有关知识的拓展,是以后学习平面镶嵌的基础,多边形内角和公式的运用还充分体现了图形与客观世界的联系.在内容上,起着承上启下的作用,是在学生学习了一元一次方程、三角形内角和知识和多种平面几何图形的基础上进行的,目的是使学生进一步了解多边形的性质,感受图形世界的现实性和丰富多彩,同时在教学中渗透类比,转化等思想方法培养学生用联系的变换的观点思考问题.◆ 教学目标1. 掌握多边形的内角和与外角和的计算方法,并能用其解决一些简单的问题;通过多边形内角和计算公式的推导,体验转化和类比的数学思想方法.2. 让学生经历猜想、探索、推理、归纳等过程,发展学生的合情推理能力和语言表达能力,掌握复杂问题化为简单问题,化未知为已知的思想方法;通过把多边形转化为三角形,体会转化思想在几何中的运用,让学生体会从特殊到一般的认识问题的方法;通过探索多边形的内角和与外角和,让学生尝试从不同的角度寻求解决问题的方法,并能有效地解决问题.3. 通过动手实践、相互间的交流,进一步激发学习热情和求知欲望.同时,体验猜想得到证实的成就感,在解题中感受生活中数学的存在,体验数学充满探索和创造.◆ 教学重难点◆【教学重点】探索多边形的内角和及外角和公式.【教学难点】多边形内角和公式的推导.◆ 课前准备◆ 多媒体课件、三角板、量角器.◆ 教学过程一、 复习回顾,提出问题1. 在平面内,__________________________________叫做多边形.2. 在多边形中连接___________________________的线段叫做多边形的对角线.3. 三角形的内角和是______度.4. 正方形的内角和是_______度,长方形的内角和是______度.一般的四边形的内角和是多少度呢?思路:把求四边形内角和的问题转化为三角形问题来解决.任意一个四边形的内角和都等于 360.我们已经证明了三角形的内角和为180,在小学我们用量角器量过四边形的内角的度数,知道四边形内角的和为360,现在你能利用三角形的内角和定理证明吗?二、合作交流,探究新知1. 多边形的内角和如图,从四边形的一个顶点出发可以引几条对角线?它们将四边形分成几个三角形?那么四边形的内角和等于多少度?可以引一条对角线;它将四边形分成两个三角形;因此,四边形的内角和等于△ABC的内角和加△ACD的内角和=2180=360.类似地,我们能知道五边形、六边形……n边形的内角和是多少度吗?观察下面的图形,填空:从五边形一个顶点出发可以引______条对角线,它们将五边形分成______个三角形,五边形的内角和等于_____________;从六边形一个顶点出发可以引______条对角线,它们将六边形分成______个三角形,六边形的内角和等于_____________;从n边形一个顶点出发,可以引_____条对角线,它们将n边形分成_______个三角形,n边形的内角和等于____________.于是我们得到多边形内角和公式:n边形的内角和等于(n-2)180.多边形边数34567n从一个顶点引对角线的条数01234分成的三角形个数12345多边形的内角和180360540720900除了上述我们利用对角线,将一个多边形分割成几个三角形外,还有其它的分割方法吗?1. 在五边形内任取一点 O,连接 OA,OB,OC,OD,OE.内角和 = 5 180 –360= 3 180.2. 在 CD 上取一点 O,连接 OB,OA,OE.内角和= 4 180–180=3 180.三、 应用新知例1:如果一个四边形的一组对角互补,那么另一组对角有什么关系?已知四边形ABCD中,∠A+∠C=180,求∠B与∠D的关系.分析:∠A,∠B,∠C,∠D有什么关系?解:∵∠A+∠B+∠C+∠D=(4-2)180=360,又∠A+∠C=180,∴∠B+∠D=360-(∠A+∠C)=180.这就是说,如果四边形一组对角互补,那么另一组对角也互补.例2:如图,在六边形的每个顶点处各取一个外角,这些外角的和叫做六边形的外角和.六边形的外角和等于多少?解:六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于180.因此六边形的6个外角加上与他们相邻的内角,所得总和等于6180.这个总和就是六边形的外角和加上内角和.所以外角和等于总和减去内角和,即外角和等于360.如果把六边形换成其他多边形可以得到同样的结果:多边形的外角和等于360.对此,我们也可以这样来理解.如图,从多边形的一个顶点A出发,沿多边形各边走过各顶点,再回到A点,然后转向出发时的方向,在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和,由于走了一周,所得的各个角的和等于一个周角,所以多边形的外角和等于360.例3:四边形ABCD的内角∠A∶∠B∶∠C∶∠D = 1∶2∶3∶4,求各个角的大小.解:设∠A = x,则∠B = 2x,∠C = 3x,∠D = 4x.因为∠A+ ∠B+∠C+∠D = 360,所以x + 2x + 3x + 4x = 360 10x = 360 x = 36 ∠A = 36, ∠B = 72,∠C = 108,∠D = 144.例4:过某个多边形一个顶点的所有对角线,将这个多边形分成 5个三角形.这个多边形是几边形?它的内角和是多少?解:设这个多边形的边数为 n,由题意得: n – 2 = 5 n = 7内角和 = (n - 2)180= (7-2) 180= 900.这个多边形是七边形,它的内角和是 900.四、巩固新知1.在四边形的四个内角中,最多有_3___个钝角,最多能有__3____个锐角. 2. 一个多边形的每个内角都是150,它是___12___边形.3. 已知一个多边形,它的内角和等于五边形的内角和的2倍,这个多边形是___八____边形.4. 已知一个多边形的边数恰好是从一个顶点所画的对角线的条数的2倍,则此多边形是___六__边形.5. 一个多边形的边数增加1,则内角和增加的度数是( C ) A.60 B.90 C.180 D.3606. 如图:某居民小区搞绿化,分别在三角形、四边形、五边形的广场各角修建半径为1米的花坛.小区绿化组长想先求花坛的面积,再根据面积买花苗.你能帮绿化组长求出花坛的面积吗?(结果保留π)五、归纳小结引导学生总结本节课内容.1. n ( n ≥ 3 )边形的的内角和为 ( n – 2 )180.2. 任意多边形的外角和等于 360.3. 多边形的边数与内角和及外角和的关系:内角和与边数成正比,边数增加,内角和增加,边数减少,内角和减少,每增加一条边,内角和增加 180(反过来也成立),边数的内角和是 180的整数倍.多边形的外角和恒等于 360,与边数多少无关.4. 正n(n≥3)边形的每个内角为n-2180n,每个外角都等于360n.◆ 教学反思略.
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